通过做题学命题

认真地多做练习题 ,是学习数学的一个重要环节 .在学习并掌握好数学理论之后 ,再多做些习题 ,能加深对理论的认识 ,领会解题的技巧 ,这一点 ,大多数学生也许都能认识到 .但是 ,如果还能往前深入一步 :在做习题的同时 ,再思考一下 :这些题目有没有进一步推广的可能性 ?即有没有可能命出一些相关的新题目来 ?这比做已有的习题更具有挑战性 ,因为这是一种创新 ,而创新能带来更大的乐趣 .下面用两个例子来说明我们是怎样进行思考的 .例 1　求证 :不等式 ∫10 (1 - x2 ) ndx≥ 23 n (1 )对 n=1 ,2 ,3 ,…成立 .这个问题来源于 Rudin的著名教程《…     

谈谈一个由积分形成的数列的极限

我是一个数学系的三年级学生,很喜欢学数学.学习知识固然重要,但是运用学过的知识以求创新应当说更为重要.国外有些数学家说,数学是人们"瞎折腾"出来的.这话虽然说得太绝对,但是不少时候确实如此.学习数学光看书是不行的.一定要一边看书,一边动脑、动手、动笔.许多数学家说过,"用两种不同的方式表达同一个数量,便得出一个方程式或一个等式."我非常欣赏这一句话,因为执行这一句话的确使我尝到了甜头,体会到创新的乐趣.     

谈谈美国研究生资格考试的一个试题

外国人的东西未必是最好的,起码对某些题目的解答未必最优.在美国一著名大学数学系研究生的资格考试中,有一道题目,分成两问,为行文方便,姑且叫做问题1　设b1≤b2 ≤…≤bn,a1≤a2 ≤…≤an,且a1+ a2 +…+ an=0 .求证:∑ni=1aibi≥0 .问题2　设f ,g在[0 ,1 ]上连续,且f ,g都递增.求证∫10 f ( x) dx∫10 g( x) dx≤∫10 f ( x) g( x) dx.(提示:先考虑条件∫10f ( x) dx =0 ) .通常人们认为,大凡有一问题被分为两个小问题,实际上包含了重要的信息.问题2的提示是命题人给出的,不难想象,应当先做问题1的离散情形,再做问题2的连续情形.有了这两…