比例式(或等积式)问题常用证明方法

比例式和等积式问题 ,内容丰富 ,形式活泼 .其中线段成比例问题是几何证明题中常见的问题之一 ,它在初中升学考试中占有较大的比重 .下面就解决比例式和等积式问题的方法作如下归纳 ,供大家参考 .方法一、利用相似三角形的对应边成比例来证明1 .所证成比例问题的四条线段分布在两个三角形中 ,直接证明所在的两个三角形相似 .例 1　已知 :如图 ,PBA是⊙O的割线 ,PC是⊙O的切线 ,C为切点 ,过点A引AD∥PC ,交⊙O于点D ,连结CD ,BD ,CA .求证 :CD·CA =PA·BD .分析 :要证明CD·CA =PA·BD ,就得找出线段CD ,CA ,PA ,BD在哪两…     

浅谈等积式、比例式的证明思路

等积式转化成比例式是证等积式的一个重要思维过程,转化成比例式后,要证四条线(或三条)成比例,可证两个三角形相似。到底证那两个三角形相似,图形简单的可以直接观察。图形复杂点的,需添设辅助线的,学生往往不知从何下手。为了突破这一难点,在教学中重点帮助学生掌握:“横看、竖看一组三角形相似”的方法。这种方法对等积式、比例式的绝大部份题都适用。特以这几年考试题为例说明这个问题。例1 如图,已知弦AB,CD相交于P,连BD,CA,并延长相交     

证明ab=bc的基本方法

在初中几何中 ,线段的比例式或者等积式的证明是常见的一种形式 .证明这类题一般可先把等积式化成比例式 ,然后选择适当的三角形并证明它们相似 ,有些则可通过有关比例线段定理等直接或间接地证明之 .一、化等积式为比例式 ,寻找可能相似的三角形例 1　如图 1,已知 :AD ,BE是△ABC的高 ,AD ,BE交于点F ,求证 :AF·FD =BF·FE .分析 :AF·FD =BF·FE FEFD= AFBF.从比例式的线段位置找出可能相似的两个三角形△AFE和△BFD ,通过∠FDB =∠FEA =90° ,∠ 1=∠ 2 ,可得△BFD∽△AFE .例 2　如图 2 ,AD是△ABC的高 ,AE…     

“三点定形”寻找相似三角形

证明线段成比例或等积式常用的方法是利用相似三角形.其基本思想是:先找出与所证的比例式中的线段有关的两个三角形,然后设法证明这两个三角形相似.因此正确寻找并证明相关的两个三角形相似是解决这类问题的关键.如何由比例式找出相关的三角形,这是同学们感到比较困难的问题.为了帮助同学们解决这一难点,本文介绍一种常用的方法——“三点定形法”.     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题相似三角形适用年级初中二年级学期2003-2004学年度第二学期训练目的1.掌握证明比例式或等积式的一般方法.2.利用相似三角形的性质解决一些几何问题的证明     

例析等积式证明中“系数”的处理

在证明等积式时,我们通常会把它化成比例式,然后寻求三角形的相似来进行证明·但是在一些等积式中经常会含有“系数”,如何对其进行恰当的处理成为证题的关键,下面仅以等积式中“系数2”的处理为例予以分析,希望对大家的学习有所启发·例1如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,BH⊥AC于H.     

关于比例式(或等积式)的证明

比例式和等积式问题 ,内容丰富 ,形式活泼 ,其中线段成比例问题是几何证明题中常见的问题之一 ,它在初中升学考试中占有较大的比重 .下面就解决比例式和等积式问题的方法作如下归纳 ,供大家参考 .方法一　利用相似三角形的对应边成比例来证明1.所证比例的四条线段分布在两个三角形中 ,直接证明所在的两个三角形相似例 1　已知 :如图 ,在△ＡＢＣ的外接圆中 ,Ｄ ,Ｅ分别是ＡＢ ,ＡＣ的中点 ,弦ＤＥ交ＡＢ ,ＡＣ于Ｆ ,Ｇ .求证 :ＡＦＥＧ=ＤＦＡＧ.分析 :要证 ＡＦＥＧ =ＤＦＡＧ,先观察ＡＦ ,ＥＧ ,ＤＦ ,ＡＧ四条线段是否在两个三角形中 .为…     

相似三角形的比例定形法及其应用

凡证等积式,一般需变等积式为比例式,再看有无相似三角形(现成的或待作的)可以利用.但找出或作出所需相似三角形,有时较为困难.为此,特总结出如何寻找或作出相似三角形的所谓比例定形法(以下简称定形法),以助解题.     

让辅助线添得自然

近日翻阅一本初中几何教材，教材中把勾定理放在相似形中，用相似三角形证明勾定理，所派的辅助线是直角三角形斜边上的高线．怎样想到添这条辅助线的?编者没有写出，教参也没有说明，我觉得有点象“从帽子里跑出一支兔子”．为解决这个问题，我作了一些探索，结果是得到勾股定理的两种新证法．已知：在Rt△ACB中，＜＝90°，求证：BC2＋AC2＝AB2．分析1要利用相似三角形证明BC2＋AC2＝AB2，就要把这个非等积式，转化为等积式，BC2＝AB2－AC2,BC2＝（AB＋AC）（AB－AC），进一步把等积式转化为等比式，由等比式去找对应的相似…     

证明等比式的教学问答

证明等比式(或等积式)方法较多,利用“相似三角形的对应边成比例”证明等比式是应用广泛的一种证法。我们可以引导学生将一系列此类命题进行合理“转化”,再回到这种证法上来。1.问:如何利用相似三角形证明等比式?答:只须观察所证等比式每端所含的三个字母所表示的点能否构成三角形。若能构成三角形,证明其相似即可。例1 在ΔABC中,D为BC上一点,且∠BAC=∠ADC(图1)求证:(AB)/(BC)=(AD)/(AC).     

相似三角形中形如“a~2/b~2=c/d”的证明

在相似三角形的学习中等积式和比例式的证明我们比较熟悉,但结论形如a~2/b~2=c/d的证明则有一定的难度,通过学习我发现常见的有下列几种证明方法:方法1利用相似三角形先证明a~2=mc,b~2=md,∴a~2/b~2=mc/md=c/d.     

圆中等积式的证明

<正>圆中等积式的证明虽是一个常见题型,但仍有不少同学望而却步,究其原因,多半是由于对该类问题没有一个明确的分析思路造成的.其实这类问题只要抓住相似三角形,灵活应用某些代换是不难解决的.现以近年的中考题为例来说明,望对同学们有所启迪.一、直接证相似结论中的等积式,可直接通过证明三角形相似得到.     

线段比例式的“功效”

<正>同学们知道,若线段a:b=c:d,则称线段a、b、c、d为成比例线段.两个三角形相似可以得到线段的比例式,反之,若证两个三角形相似,常需证明线段成比例.除此之外,线段的比例式还有哪些"功效"呢?同学们往往疏于整理、思考和总结,本文结合具体的题目和同学们谈一谈.     

相似三角形开放型题解析

相似三角形开放型问题在全国各地的中考试卷中都能见到,本文选析几例供读者参考.例1 (2006年安徽省)如图1,已知△ABC、△DEF均为正三角形,D、E分别在AB、BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形并证明.     

触类旁通相似三角形

在解决相似三角形的相关问题中,要特别注意一些重要的考查点,下面来谈谈这方面的问题. 1 相似三角形的判定 例1 如图1,在矩形ABCD中,AB:BC=5:6,点E在BC上,点F在CD上,且EC＝1/6BC, FC点F在CD上,且EC=1/6BC,FC＝3/5CD,求证:△AFD～△FEC. 分析△AFD与△FEC都为直角三角形,其中∠D＝∠C=90°,要证明△AFD～△FEC,可以证明夹两个角的边对应成比例,可通过已知的边长关系来证明对应边成比例.     

内等角线性质定理的简证

<正>(内)等角线性质定理[1]在△ABC中,若AD1,AD2为∠BAC的等角线(点D1,D2在BC边上,且∠BAD1=∠CAD2),则有AB2/AC2=BD1·BD2/CD1·CD2.文献[1]利用平行线及相似三角形给出的证明.本文从求证结论入手,给出如下两种简洁流畅的证明.证明1如图1所示.     

利用三角形三边关系定理证明线段不等

三角形任意两边的和大于第三边是三角形三边关系定理,也是三角形的一条重要性质,在证明线段不等中起着关键作用.例1如图1,已知AC,BD分别是四边形ABCD的对角线,求证:AB+BC+CD+DA>AC+BD.分析:要证结论,可以根据三角形三边关系定理,证出几个适当的线段不等的式子,然后将它们相加,整理得出所要的不等式.证明:由三角形三边关系定理,得AB+BC>AC,①AD+DC>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>BD,④①+②+③+④得2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+DA>AC+BD.例2已知:如图2,D,E是△ABC内的两点,求证:AB+AC>BD+DE+EC.分析:因为…     

等顶角、共顶角顶点的等腰三角形

<正>三角形是平面几何中的基本图形之一,等腰三角形又是特殊的三角形,如果两个等腰三角形顶角相等且共顶点,又能产生什么样的"火花"呢?问题一已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边三角形ACE,等边三角形BCD.如图1,当点C在线段AB上移动时,AD=BE是否总成立?证明你的结论.证明∵△ACE是等边三角形,∴AC=CE,∠ACE=60°.∵△BCD是等边三角形,∴BC=CD,∠BCD=60°.∴∠ACE=∠BCD.     

构造“K型图”速解题

<正>翻开2013年全国各地中考数学试卷,以"K型图"为载体的中考试题频频出现,精彩纷呈.此类问题综合性强,且带有一定的难度.实际解题时,若能把握图形本质,排除图形干扰,在复杂的图形中构造出"K型图",写出图中的一对相似三角形,然后根据相似三角形的有关性质列出所需的比例式,则能化难为易,快速解题.现举几例,供同学们学习时参考.     

例谈线段相等的证明技巧

<正>线段相等的证明灵活多变,在初中几何证明中频频登场．以下举例浅谈解这类问题的多种技巧,供同学们参考．1通过证明三角形全等来证明对应边相等例1如图1,AB∥CD,AB=CD,CE=BF,求证:DF=AE．分析欲证线段DF=AE,只需证明△CFD≌△BEA.证明因为AB∥CD,所以∠B=∠C．又因为CE=BF,所以CE-EF=BF-EF,即CF=BE.