让辅助线添得自然

近日翻阅一本初中几何教材，教材中把勾定理放在相似形中，用相似三角形证明勾定理，所派的辅助线是直角三角形斜边上的高线．怎样想到添这条辅助线的?编者没有写出，教参也没有说明，我觉得有点象“从帽子里跑出一支兔子”．为解决这个问题，我作了一些探索，结果是得到勾股定理的两种新证法．已知：在Rt△ACB中，＜＝90°，求证：BC2＋AC2＝AB2．分析1要利用相似三角形证明BC2＋AC2＝AB2，就要把这个非等积式，转化为等积式，BC2＝AB2－AC2,BC2＝（AB＋AC）（AB－AC），进一步把等积式转化为等比式，由等比式去找对应的相似…     

等比定理之应用

在《相似三角形》一章中,有一不显眼的定理——等比定理:“如果那么证明设则故当b d … n=0时,等比定理不能适用．这种证明方法通常称为“归一法”或“比值     

别证一道几何题

<正>《中学生数学》2014年5月下刊登了陈明儒老师的一文《巧用相似三角形解题》,文中利用构造相似三角形证明如下一道几何题:已知:在△ABC中,AB=2BC,∠B=2∠A,求证:△ABC是直角三角形.本文拟给出另一种证法,供同学们参考.     

构造图形证几何题一例

题目已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,且使AE=BD,连结CE、DE.求证:CE=DE. 一、从构造全等三角形证明三角形全等来实现,有证法1～4: 1.延长BD到F,使CF=AE,则BC=DF,BA AE=BC CF,即BE=BF,     

秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

三角形内角平分线定理的推广及应用

大家知道,三角形内角平分线性质定理是:“在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则(BD)/(DC)=(AB)/(AC)”。若点D为BC边上任意一点(如图1),又能得到什么结论呢?请看下面的论证:∵ΔABD和ΔADC同高,     

三角形旁切圆的几个几何恒等式

关于三角形的内切圆有这样一个几何恒等式:引理1[1] 设I是△ABC的内切圆的圆心,则下列等式恒成立:IA2/AB·AC+IB2/BA·BC+IC2/CA·CB(1)该命题的证明见文[1].在文[1]中作者巧妙的运用了面积证法从而得到引理1.试想,将引理1中的“内切圆”推广到“旁切圆”,是否仍有类似相关的几何恒等式成立?于是得到下述命题:     

相似三角形及其应用(上)

<正>定义:如图1,△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且(AB)/(A′B′)=(BC)/(B′C′)=(CA)/(C′A′),则称△ABC与△A′B′C′相似,简记作△ABC∽△A′B′C′.一、相似三角形的判定1.两角对应相等的两三角形相似;2.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;3.三边对应成比例,两三角形相似;4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例;     

“三点定形”寻找相似三角形

证明线段成比例或等积式常用的方法是利用相似三角形.其基本思想是:先找出与所证的比例式中的线段有关的两个三角形,然后设法证明这两个三角形相似.因此正确寻找并证明相关的两个三角形相似是解决这类问题的关键.如何由比例式找出相关的三角形,这是同学们感到比较困难的问题.为了帮助同学们解决这一难点,本文介绍一种常用的方法——“三点定形法”.     

一道竞赛题的证法集锦

一九八六年全国初中数学竞赛题第三题: “设P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点(如图)。当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试证明你的结论”。这是一道源于教材、高于教材、难度适中、证法灵活、既考基础、又考能力的不可多得的好题;也是一道较好的综合训练的范例。本刊编辑部仅在十天之内就先后收到不少本题证法的来稿。现根据湖北洪湖县侯书清、湖南常德地区刘茂林、安徽宿州陈新昌、辽宁锦州张士贞、贵州普安石又栋、广西百色地区叶添蕃、湖北钟祥县贾双喜等同志的来稿综合成如下12种证法,供同行参考。首先不难猜想其为等腰三角形(此题实际上是由《几何》第一册P_(119)习题10演变而来),再看其证明:     

成比例线段与相似形复习研究

复习目标 会根据比例线段的有关概念及性质确定线段的比、比例中项，会利用设值法或等比性质解决线段的求值问题，会证明线段成比例问题及简单的作图问题；既会利用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似，又会借助相似三角形的性质定理解证有关的几何问题；会用相似三角形（多边形）的知识解决某些实际生活中的问题。     

相似三角形开放型题解析

相似三角形开放型问题在全国各地的中考试卷中都能见到,本文选析几例供读者参考.例1 (2006年安徽省)如图1,已知△ABC、△DEF均为正三角形,D、E分别在AB、BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形并证明.     

触类旁通相似三角形

在解决相似三角形的相关问题中,要特别注意一些重要的考查点,下面来谈谈这方面的问题. 1 相似三角形的判定 例1 如图1,在矩形ABCD中,AB:BC=5:6,点E在BC上,点F在CD上,且EC＝1/6BC, FC点F在CD上,且EC=1/6BC,FC＝3/5CD,求证:△AFD～△FEC. 分析△AFD与△FEC都为直角三角形,其中∠D＝∠C=90°,要证明△AFD～△FEC,可以证明夹两个角的边对应成比例,可通过已知的边长关系来证明对应边成比例.     

对一道几何题的讨论

有这样一道几何题“如图1,△ABC中,高AD、CG交于F,E为BC的中点。设AD=BC=2a求证EF+DF=c”。这是一个古老的命题。其实,只当△ABC为锐角三角形时为真,其证明可采用几何法或坐标法(证明略)。当△ABC为钝角三角形时我们有下面的结论: 在钝角三角形ABC中,高AD、GC的延长线交于点F,E为BC的中点,若AD=BC=2a,则EF-DF=a,如图2所示。证明:建立如图2所示坐标系,设点F的坐标为(x,y),则点A、B、c的坐标分别为     

关于两角相等问题的证明

在几何中 ,证明两角相等是我们经常遇见的问题之一 ,它所涉及的知识内容十分广泛 ,是平面几何中一项重要的基本技能 ,因而成为中考的一个热点问题 .解决此类问题的依据很多 ,本文拟给予归类说明 ,供读者参考 ,愿能对读者有所启迪 .一、利用三角形中“等边对等角”来证 .当所要证相等的两个角是一三角形中的角时 ,我们优先考虑的是能否利用“等边对等角”来证 .例 1　已知 :如图 1 ,在四边形ABCD中 ,AD =BC ,P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 .求证 :∠PMN =∠PNM .分析 :欲证∠PMN =∠PNM ,观察图形 ,可以发现∠PMN和∠PNM都是△PMN的内角 ,因此 ,只要证出它们所对的边相等 ,即PN =PM ,然后利用“在同一三角形中 ,等边对等角”即可推出结论 .证明 :∵P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 ,∴PN =12 AD ,　PM =12 BC .又∵AD =BC ,∴PN =PM .∴∠PMN =∠PNM .二、利用“全等三角形的对应角相等” ,或“相似三角形的对应角相等”来证 .当所要证相等的两个角分别是两个三角形的内角时 ,我们首先考虑的是能否...     

对一个几何不等式的探究

文 [1 ]～ [3]先后用复数方法和三角方法证明了如下一个漂亮的几何不等式 :设 a,b,c分别表示△ ABC的三边 BC,CA,AB的长 ,则对△ ABC所在平面上的任意两点 P,Q,恒有a PA.QA+ b PB.QB+ c PC.QC≥ abc ( 1 )文 [2 ]作者特别指出 :不等式 ( 1 )难度较大 ,至今尚未找到其纯几何证法 .而且文 [1 ]～ [3]均未论及 ( 1 )式取等号的条件 .本文首先给出不等式 ( 1 )的两个纯几何证法 ,顺便引出 ( 1 )式取等号的条件 ,然后再由 ( 1 )式导出三角形中的几个新颖的不等式 .为方便叙述 ( 1 )式取等号的条件 ,我们需用到等角共轭点的概念 [4] :…     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想:与椭圆x2a2 y2b2=1内接,且与圆x2 y2=(aba b)2外切的多边形是三角形.随后证明了猜想.美中不足的是运算量过大,现给出另一证法,以供参考.图1椭圆过椭圆上的点B作已知圆的切线BA,BC.交椭圆于点A,C.设A(acosα1,bsinα1),B(acosα2,bsinα2),C(acos     

一道课外练习题的再思考

<正>题目(中学生数学2017年7下P47)如图1,点P是正方形ABCD对角线BD上任意一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别是E、F,求证:AP⊥EF.这里从利用三角形全等、三角形相似、平行线的性质等方面思考解决问题.解法1利用三角形全等.     

再谈“母子三角形”的性质和应用

本刊91年第4期介绍了“母子三角形的性质和应用”,本文就“母子三角形”之间存在的其它重要面积关系再作一介绍。在这里,我们不妨将所有存在于三角形内部的各个小三角形,称为子三角形,而原三角形称为母三角形。一般地,我们有下列重要结论: 命题如图1,在△ABC中,DE∥BC,F为BC边上的任意一点,则有: (1)若记△AOE的面积为S_1,△ABC的面积为S,则S_(△ABE)=S_(△ACD)=S_(四边形ADFE)=(S_1S)~(1/2)     

不等式的多种证明及其推广

<正>2014年安徽省高中数学竞赛有如下一个不等式试题:已知正实数x,y,z满足x+y+z=1,求证:(z-y)/(x+2y)+(x-z)/(y+2z)+(y-x)/(z+2x)≥0.该题除标准答案提供的证法外,本文提供一些另外有趣的证明方式,同时给出不等式的一个推广.1.多种证法.证法一由x+y+z=1,可知原不等式等价于下述不等式