神奇的伪素数

在浩瀚元垠数的天庭 ,有一种神奇的伪素数 ,它像一块磁石 ,紧紧吸引着数论专家的心灵 .1　费马小定理引发出的奇异法国业余数学家费马 (Ｆｅｒｍａｔ) 1 6 4 0年 6月给本国神甫数学家梅森 (Ｍ .Ｍｅｒｓｅｎｎｅ ,1 5 88- 1 6 4 8)的一封信提出一个命题 :若ｎ是素数 ,则 2 ｎ- 2可被 2ｎ除尽 .同年 1 0月 1 8日给本国数学家德贝西(Ｂ .Ｆ .ｄｅＢｅｓｓｉｅ,1 6 0 5 - 1 6 75 )的信中又说 ,他已证明了一个更广的命题 :若ｐ是一个素数 ,且ａ不能被ｐ整除 ,则ａｐ- 1 - 1能被ｐ整除 (等价的说法是ａｐ-ａ能被素数ｐ整除 ) .后人称此为费马小定…     

组合数C_n~m被素数整除的又一种判别法

1问题的提出判断组合数C_n~m:是否被某素数整除这一问题,看似比较简单,但当m,n及素数比较大时,问题就变得较复杂了,文[3]给出了组合数C_n~m被素数整除的一种判别法,本文将给出组合数C_n~m被素数整除的又一种判别法.     

费尔马小定理的一种推广及其应用

费尔马小定理断言 :对任何素数p和与p互素的正整数m ,p必能整除mp- 1 - 1 ,用标准的数论记号 ,可以记作p｜mp- 1 - 1或mp- 1 =1 (modp) ,后一种表示读作mp- 1 被p除余 1 .欧拉曾把它推广到p不必是素数的情形 ,称为欧拉定理 .由于需要用到数论函数 φ ,不拟在此讨论 .有兴趣的读者可参考任何一本初等数论教材 .本文所要讨论的是另一种推广 :正整数a应该满足什么条件 ,才能使 (ma- 1 )被素数p整除 ,其中m与p互素 .或者更一般地 ,形如ma- 1的正整数能被p整除多少次 ?换句话说 ,我们要求出这样的非负整数r,使得pr｜ma- 1 ,但pr+1 不能整除ma- 1 …     

关于等差数列在三素数中的分布

基于著名的Hardy-Littlewood猜想,证明了长为3的素数等差数列出现频率最高的公差是素数连乘.另外,举例说明了这种素数等差数列并不一定是三素数最喜欢的分布形式.     

与4/p = 1/(n1) + 1/(n2) + 1/(n3) 相关的素变量均值估计

如果n是正整数,我们用f（n）表示丢番图方程4/p=1/n_1＋1/n_2＋1/n_3的正整数解（n1,n2,n3）的个数.对于素数p,f（p）可以分解为f1（p）＋f2（p）,这里fi（p）（i=1,2）为分母n1,n2,n3中恰有i个能被p整除的解的个数.本文我们将研究关于均值∑p〈xfi（p）,i=1,2,的估计,其中p表示素数.     

威尔逊定理的一个等价命题

素数的研究一直是初等数论的一个重要内容，而素数的判定又是其中一个较困难而又具有价值的问题．１７７１年数学家拉格朗日证明了著名的威尔逊定理：“ｐ为素数的充要条件是ｐ能整除（ｐ－１）！＋１．”根据威尔逊定理，可以构造出一个人们梦寐以求的只产生素数且能够产...     

组合数Cmn被素数整除的又一种判别法

1 问题的提出 判断组合数Cmn是否被某素数整除这一问题,看似比较简单,但当m,n及素数比较大时,问题就变得较复杂了.[1,2],文[3]给出了组合数Cmn被素数整除的一种判别法,本文将给出组合数Cmn被素数整除的又一种判别法.     

由一个小小的规律引发的联想

"包含2个奇数的自然数区间,其长度不大于5",这是一个显而易见却容易被人忽略的小规律,可是它却给出一种启示:包含2个被前N个素数P1,P2,……PN都不能整除的数的区间,其长度必有一个上限值.     

关于素数等差数列的一组结论

文[1]讨论了三个素数成等差数列的问题,给出了三个素数a,a+d,a+2d成等差数列的三个猜想.猜想1设三个数a,a+d,a+2d构成一个等差数列,其中a和d都是正整数.当d是奇数时,不论a取何值,a,a+d,a+2d不可能都是素数.猜想2设三个数a,a+d,a+2d构成一个     

素数等差数列问题

1素数的基本知识自然数中2,3,5,7,11,…称为素数,它们除1与自身外,没有其它因数.其它数,1除外,称为合数.每一个合数可以唯一分解为素数之积,这是算术基本定理.这个定理说明,素数像“砖头”,也像原子.素数在整数中分布很不均匀,例如107570463×102250±1是一对孪生素数.给予整数N,不论多大,都有连续N个数中没有素数.例如(N 1)! 2,(N 1)! 3,…,(N 1)! N 1中就没有素数,这构成一个“黑洞”.因此,寻找素数的规律是古今一大挑战,也很有意思.②欧几里得:素数有无穷多个.(反证法)欧拉:引入∑n1ns(s>1),证明了∑p1p发散,从而素数有无穷.切比雪夫:…     

关于孪生素数问题

我们用p,p′代表素数,用P₂代表素因子总数不超过2的殆素数,x是大实数。人们猜想...     

数学王冠上的钻石——哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想,世界近代三大数学难题之一.哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士.1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和.如6=3+3,12=5+7等等.在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫     

利用微机计算古典数论问题

判断一个大的整数是否素数，如果它不是素数的话又如何将它分解为若干个因数的乘积是古典数论的一个重要问题．由于计算机科学和密码学的发展，上述的古典问题又焕发出了新的光亮．因为有一种很简单的密码是用素数模乘法变换来构造的．如果你不知道这个素数，你就无法解开这个密码．有人甚至将这个密码的钥匙半公开：一般是把两个素数乘起来产生一个合数．因为这个数很大，如果你不会分解它你是无法解开这个密码的．而制造这个密码的人就需要记住合数分解的方法，密码随时可以解开。     

素数的判定

一个大于1的整数,如果只能被1和它本身所整除,则这个正整数叫做素数,否则叫做合数。开头的几个素数是2,3,5,7,…。为了进一步找出更多的素数,大约在公元前250年,     

竞赛中的质数题

<正>质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(也称素数);如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数,那么叫a做b被整除,记作b|a,b就叫做a的约数;当几个正整数有公有的约数,叫做这几个正整数的公约数,公约数中最大的一个公约数,称为这几个正整数的最大公约数;正整数a、b的最大公约数可以记作(a、b);当(a、b)=1时,则称这两个正整     

梅森与梅森素数

数论问题中有许多关于素数的问题,在吸引人们去探索的同时又在磨砺着人类的智慧.许多素数问题的妙趣之处在于人们可以轻而易举地理解问题的表述,但是想要真正将问题解决,却需要坚强的意志、高超的技巧和艰苦的计算.如至今尚未完全解决的哥德巴赫猜想,历经几代数学家的苦苦求索直到1994年才得到求证的费尔马猜想(现在应该叫做费尔马大定理了),还有一个似乎不是那么著名的“梅森猜想”.提到“梅森猜想”,就要先从梅森其人谈起.梅森全名马林.梅森(Marin Mersenne,1588—1648),是法国圣弗朗西斯(St.Francis of Paola)所建的托钵僧团体中的修道…     

漫长的寻觅梅森素数的历程

漫长的寻觅梅森素数的历程徐品方（四川西昌师专）数论中有一些猜想，是世界最坚硬的磐石，它能轻而易举地挫去人的智慧的锋芒，耗尽人的才华和心血，甚至幸福．荷兰数学家丹齐格（Ｖ．Ｄ．Ｄａｎｚｉｇ，１９００—１９０９）说：“数论是数学中所有部门最难的一门．不错...     

广义Riemann猜想下的奇数Goldbach问题（Ⅱ）

本文证明了在广义Ｒｉｅｍａｎｎ猜想下每一个奇数Ｎ≥ｅｘＰ（９４）都可以表示成为三个素数之和．     

强伪素数、覆盖同余式组以及广义bent函数

本文考虑三个问题:强伪素数的计算、覆盖同余式组和广义bent函数.本文的创新点包括:(1)编程证明3 825 123 056 546 413 051是通过前9个素数为基的Miller-Rabin测试的最小合数;(2)证明Kim的猜想,即任意代数数域上的恰好覆盖同余式组必有模理想重复出现;(3)证明两类广义bent函数不存在.     

Vandiver猜想与非正则素数分布的一个猜想

本文介绍Vandiver猜想与相关研究结果;我们证明A₂=A₄=…=A₃₂=0,这里A是Q(ζ_p)的理想类群的p-Sylow子群;我们提出一个关于非正则素数分布的猜想,给出数值验算.