用辗转相除法求循环矩阵的逆矩阵

利用两个多项式的最大公因式的求法,给出了用辗转相除法求循环矩阵的逆矩阵的算法,该方法不需要计算循环矩阵的特征值。     

求多项式根的2~n阶劈因子法

求多项式根的劈二次因子法,除熟知的所谓Bairstow法外,近来又提出了辗转相除法及三阶方法.就计算效能而论,辗转相除法稍优于Bairstow法,而三阶方法当多项式的次数m≥34时优于Bairstow法,m≥97时优于辗转相除法.但是,即使m→ ∞,三阶方法的计算效能仅比其他两种方法高约6％,也就是说,三种方法的计算效能是差不多的。     

用"更相减损术"求最大公因式

“更相减损术”是我国古代数学中求二整数最大公因数的方法 .古典名著《九章算术》卷一在谈到分数分子分母约去公因数有“置分母子之数 ,以少减多 ,更相减损求其等也 .以等数约之 .”这里的“等数”就是所说分母分子的最大公因数 .所谓“更相减损求其等”就是置两个整数 ,以少减多 ,反复相减 ,直到二数相等就得到它们的最大公因数 .例如 ,求 91 ,49的最大公因数(91 ,49) .我们有(91 ,49) =(91 -49,49) =(4 2 ,49)=(4 2 ,7) =…… =(7,7) =7刘徽说 :“其所以相减者 ,皆等数之重叠 .”数91 ,49都是等数 7的重叠 .对于初学者来说 ,“更相减损求…     

利用矩阵的初等变换求n个一元多项式的最大公因式

关于求n个一元多项式的最大公因式的方法,在各种高等代数教材中已做了许多介绍。如辗转相除和因式分解等方法。本文讨论利用矩阵的初等变换解决这个问题。     

LCM矩阵的可逆性与不定方程ayz+bzx+cxy=xyz+1的解

设S＝{x1,x2,…xn}是不同正整数的集合。已经知道当n≤7时在最大公因数封闭集S上的LCM矩阵是可逆的；也知道当n≥9时有无限多个包含整数1的最大公因数封闭集它们的LCM矩阵是奇异的；这篇文章的主要结果是证明当n=8且包含整数1时，除了20个最大公因数封闭集外，其余所有最大公因数封闭集上的LCM矩阵都是可逆的，而这归结为解一个不定方程。     

最大公因数矩阵的行列式

设Ｓ＝｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）是含ｎ个不同正整数的集合，（Ｓ）表示定义在Ｓ上的最大公因数矩阵，本文证明了且等号成立当且仅当Ｓ是最大公因数封闭集．     

关于最大公因数的一个定理的推广

本文推广了关于最大公因数的一个定理.     

多项式

多项式严华强（上海市杨浦区教育学院）多项式的很多理论与整数理论十分相似，例如整除性、带余除法，辗转相除法，公团式，因式分解等等，甚至解决问题的方法也差不多．一、多项式的整除性证先看一个整数的整除问题：对一切自然数ｎ，有１３｜４２ｎ＋１＋３ｎ＋２．通常...     

矩阵初等变换的应用研究

以矩阵的初等变换为理论工具,可将其应用于求整数的最大公因数、最小公倍数和求多项式的最大公因式、最小公倍式.     

大系数二元一次不定方程解法探讨

大系数二元一次不定方程解法探讨朱志嘉，周定远（四川乐山市教科所６１４０００）我们知道，求一元一次不定方程ａｘ±ｂｙ＝ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ为非零整数）①的整数解（通解）的关键步骤是先求出其对应方程ａｘ±ｂｙ＝１②的一组特解，求②的特解一般常用辗转相除法或...     

关于"十进位制算法案例"的商榷

1 商榷背景与分析 普通高中课程标准实验教科书数学③(人民教育出版社A版)第一章1.3节"算法案例",这一节依次介绍了以下几个算法案例:辗转相除法与更相减损法、秦九韶算法、排序法和进位制.这一节内容的学习的目的是:使学生进一步体会算法的思想,以有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力.另外,中国古代数学蕴涵着丰富的算法思想,以算法为主要特征,让学生了解、体会中国古代数学优秀的算法思想.     

多项式最大公因式的矩阵求法

设F是一个数域,F(x)为关于文字x的多项式环,多项式d(x)是多项式f(x)、g(x)的一个最大公因式,那么存在F(x)中的多项式u(x)、v(x),使d(x)=u(x)f(x) v(x)g(x) (1)成立。在一般现行《高等代数》教材中,采用辗转相除法求得d(x)后,再利用逐步代入的方法求得u(x),v(x)使(1)式成立,这样做在f(x)、g(x)的次数较高,     

“相除分离法”解题举例

<正>当待解题目为分式或转化后是分式,常对分子凑项使其出现分母的因式,然后相除分离出常数或整式,为解题创造条件的方法,叫做相除分离法.这种解题方法,对于解有关整数的问题十分有用.现举例说明,供同学们参考.例1已知a是整数,且代数式(a²-4a+8)/(a-4)的值也是整数,求a的值.     

浅论矩阵初等变换法在数论中的应用

矩阵论是一个应用十分广泛的数学学科 .本文将以矩陈的初等变换法为理论工具 ,谈谈它在数论中的两个应用 .本文约定 :小写拉丁字母表示整数 ,大写拉丁字母表示整数矩阵 ,对矩阵实施初等变换的过程中所用到 (得到 )的数均为整数 .1　一个命题命题 1　设 (ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ) =ｄ ,则存在可逆方阵Ａ =[ａｉｊ]ｎ×ｎ,使得ａ1 ａ2 …ａｎ Ａ =[ｄ 0… 0 ](ｎ≥ 2 ) .证明 (数学归纳法 )(1 )当ｎ =2时 ,不妨设ａ1 >ａ2 >0 (否则可以施以倍法变换或换位变换 ,使得ａ1 >ａ2 >0 ) ,由辗转相除法知 :ａ1 =ｑ1 ａ2 +ｒ1 ,0 <ｒ1 <ａ2ａ2 =ｑ2 ｒ1 +…     

Fibonacci数列的又一重要应用

由初始条件f0=1,f1=1及递推关系fn=fn-1 fn-2(n≥2)所确定的数列{fn}n≥0叫做Fibonacci数列,fn叫做Fi-bonacci数.fn的通项公式为fn=15[(1 2 5)n 1-(1-2 5)n 1],n≥0.(1)下面我们用这一数列来讨论辗转相除法中的一些问题.设a,b是任意两个正整数,由带余数除法,我们有下列等式:a=b     

有趣的“勾股弦数”

“勾三股四弦五”几乎成为学过数学者的一句口头禅,这三个数都是正整数,并且可视为一个直角三角形的三条边(32 42=52),因此,人们称这类数为“勾股弦数”. 我们知道勾股弦数有很多,例如5,12,13;6,8,10等等,但有心人会发现6,8,10这三个数具有公因数2,提取2后,实质上与3、4、5并无本质的不同. 在没有除1以外的公因数的勾股数a、b、c中,看来似乎a与b,b与c,c与a都是互质的;另外c必是奇数,a与b则必为一奇一偶. 这些规律,是否真的体现了勾股弦数一些特征呢?答案是肯定的.那么如何说明呢? (1)若a,b有公因子t(t≠1),则令a=a1t,b=b1t,其中a1,b1互质.则a12 b12=(a2 b2)/t2=     

关于d元广义双素数Sidelnikov序列的伪随机性质

设p与q是两个不同的奇素数,d是p-1和q-1的最大公因数.本文基于乘法特征构造了d元双素数Sidelnikov序列,并利用特征和的性质研究了自相关值与线性复杂度.     

一句话引发的“颠覆”

1 缘由近日,八年级校本课程的一节数学综合实践活动课中,笔者精心选择了一个教学素材《等周长图形的面积》,主要的思路是:让学生经历一系列的纸片的等积变换(如图1所示)的拼图过程,通过操作、观察、交流、归纳等教学活动,试图得出基于数学活动的三个认识:(1)等周长的四边形,当四边形为平行四边形时,其面积最大;(2)等周长的平行四边形,当平行四边形为矩形时,其面积最大;(3)等周长的矩形,当矩形为正方形时,其面积最大.综合“三个认识”,推导出结论:等周长的四边形中,以正方形的面积为最大.     

一些常見的无理数

大家都知道2~(1/2),2~(1/3),…,是无理数,然而严格的証明可能并不是多数人所熟悉的,为此,我們在本文中列举出一些常見的无理数,并証明它們的无理性。 1.設N,n都是正整数,且N~(1/n)不是整数,則它必为无理数。用反証法証之。設N~(1/n)=p/q,其中p>0,q>1,且二者无公因数;将p,q分解成素因数的乘积: 由于p,q无公因数,故pi与qj中无相同者,又由于N~(1/n)=q/p, 由于pi与qj中无共同者,故上式是一不可約分式,从而p~n/q~n不可能为整数,这与假設矛盾。 2.設p,q是无公因数的正整数,且p~(1/N),q~(1/N)不同时为整数,則(p/q)~(1/N)是无理数。     

知其然,究其所以然,悟其必然——对苏教版必修3《算法案例》两个问题的注解

苏教版必修3<算法案例>中有两个案例,一个是辗转相除法,另一个是"韩信点兵-孙子问题".学生在学习这部分内容时,有两点突出的感受:一是惊叹,二是迷惑.两个案例都闪烁着前人卓越智慧的光芒,意义非凡,影响深远,令人叹服!惊叹之余,学生又疑云重生:为什么用辗转相除法能求两个数的最大公约数?韩信用了什么方法能如此之快地知道士兵有2333人? 教学中,一些教师试图以"考试不作要求"为由,"委婉"地将学生的疑问消除于"萌芽状态",但事与愿违,这样做反而更增强了他们的好奇心.笔者在进行这部分内容的教学时,对上述两个案例进行了适当的剖析与注解,既为学生解了惑,更激发了学生学习数学的兴趣.