对棱相等三棱锥例说

在三棱锥中 ,如果三组对棱分别相等 ,我们通常把这样的三棱锥称为对棱相等三棱锥 .在长方体中以不相邻四个顶点为顶点所成的三棱锥就是一个对棱相等三棱锥 .受此启发 ,我们常构造长方体来解答与对棱相等三棱锥有关的问题 .例 1　如图 1 ,三棱锥 A - BCD中 ,AB=CD =a,AC =BD =b,AD =BC =c,求异面直线 AB与 CD所成角的大小 .解　如图 2 ,构造长方体 ,使三棱锥 A -BCD的对棱分别为长方体相对面的对角线 .∵　 A′ B′∥ CD,∴　 AB与 A′ B′所成角即为 AB与 CD所成角 .图 1　　　　　　图 2设长方体的三条棱 AC′、AB′、AA…     

巧解一例

<正>如图△ABC是等腰直角三角形,其中∠A=90°,且DB⊥BC,∠BCD=30°,现将△ABC沿边BC折起,使得二面角A—BC—D大小为30°,则异面直线BC与AD所成的角为().(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°拼图解法取两个内角为45°的直角三角板一块,两个内角为60°、30°的直角三角板两块.如图,把三角板30°的顶点放在BC边上,同时让三角板所在平面垂直BC边所在直线,使拼图满足题目条件,取出三角板,再把三角板     

构造分布列 巧解竞赛题

<正>Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差,由关系式Dξ=Eξ²-(Eξ)2-(Eξ)²及Dξ≥0,知Eξ2及Dξ≥0,知Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)².构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ2.构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)²(当且仅当x_1=x_2=…=x_n=Eξ时取等号),可以别具一格地求解一类形式优美、内涵丰富的分式竞赛题.     

四边形的一个性质及其推论

<正>性质如图1,在四边形ABCD中,若∠BAD+∠BCD=α(0°<α≤180°),则(AC·BD)²=(AB·CD)2=(AB·CD)²+(AD·BC)2+(AD·BC)²-2AB·BC·CD·ADcosα.证明如图2,过点A、D分别作射线AE、DE交于点E,且使∠DAE=∠BCD、∠ADE=∠BDC,则△EDA∽△BDC.     

对一道竞赛题的别解与拓展

题目（2014年全国初中数学联赛试题）如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,则AE=（）.（A）6^1/2/2（B）2^1/2（C）3^1/2（D）6^1/2对于这道题,组委会给出的解法是,四点共圆再结合相似从而完成求解.本文从不同的角度给出以下四种解法.     

解法多样 情理之中 意料之外 余味悠长——2012年济南市学考数学第26题赏析

试题如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2(3^1/2),AC、BD相交于点O.（1）求边AB的长;（2）如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板     

一道2021年高三联考圆锥曲线解答题的解法探究

<正>(湖南省天壹名校联盟2022届高三入学摸底考试第22题)椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1 (a> b> 0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,直线AB的斜率为-1/2,△OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆上有两点M,N (异于椭圆顶点,且MN与x轴不垂直),证明:当△OMN的面积最大时,直线OM与ON的斜率之积为定值.     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.在右图的数阵图中,如果每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字和相等,计算(x-y)²+(m-n)²的值.(北京含笑)2.将有理数1/2,1/3分别代入1/(-m+1)(m≠0,m≠1)运算求值,得到的结果记为a₁,b₁,再将a₁,b₁分别代入1/(-m+1)求值,得到的结果记为a₂,b₂,如此重复上述过程,(1) a₁=______,b₁=______;(2)a₁+b₁+a₂+b₂+a₃+b₃+…+a₅₄+b₅₄的值是______.     

利用均值不等式巧解三角问题

<正>均值不等式是中学数学的一个重要不等式,是证明不等式及各类最值问题的一个重要依据和方法.均值不等式的形式有多种,其中最基本和最常用的是:1当a>0且b>0时,a+b≥2(ab)^(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a²     

一道外接球问题的通解

<正>近日,有一朋友与我交流一道外接球问题,做后颇有感悟,特记录下此题与诸位分享.原题三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上,且平面ABC⊥平面BCD,AB=CD=5,AC=8,BD=3,且∠BAC+∠BDC=π,则球O的表面积为_.解析法一(借助双圆模型)令∠BAC=θ,∠BDC=α,由余弦定理知,BC²=AB2=AB²+AC2+AC²-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC2-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC²=BC2=BC²+BD2+BD²-2BC·BD·cosα=34-30cosα;     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

换数趣题一则

<正>题图1是一个透明的长方体高塔,由26个正方形构成.并在24个顶点的圆圈内分别写着"富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善"这24个大字.它们分别代表13³6中24个整数,使这26个正方形顶点处四个数的和都相等,那么     

例说正四面体的伴随正方体

<正>1.正四面体伴随正方体的由来人教版高二(下)教材第52页有这样一道习题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几.     

另解课外练习题两则

<正>题一(《中学生数学》2017年7月下课外练习题初一年级2(2)).证明2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²是一个完全平方数.解由于20162是一个完全平方数.解由于2016²+20172+2017²=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则20162=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²=(2016     

这样的几何体存在吗?

<正>最近,笔者遇到这样一道题目:三棱锥的三条侧棱两两垂直,三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°,底面积为6^1/2,则此三棱锥的体积为_<sub><sub><sub><sub><sub>.     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

利用矩形一性质巧解一类试题

<正>在初中学习平面几何时,有这样一道课本习题:如图1,已知P为矩形ABCD内一点,求证:PA²+PC2+PC²=PB2=PB²+PD2+PD².该题利用勾股定理可以很快予以证明.事实上,点P为平面上任意一点时该结论仍然成立.给出以下两种证法.证明一用解析法.以AB、AD所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系.设A(0,0),     

欢度新年

<正>将下述(1)、(2)中的汉字各换成互不相同、且在30以内的自然数,建立等式(1)二²+零2+零²+一2+一²+四2+四²+新2+新²+年2+年²+来2+来²=2014;欢2=2014;欢¹+度1+度²+春2+春³+节3+节⁴+马4+马⁵+年5+年⁶+到6+到⁷=2014.(2)恭7=2014.(2)恭²+贺2+贺²+编2+编²+辑2+辑²+新2+新²+春2+春²+吉2+吉²+祥2+祥²=2014;祝2=2014;祝²+愿2+愿²+读2+读²+者2+者²+寒2+寒²+假2+假²+快2+快²+乐2+乐²=2014.     

例谈函数性质在解竞赛题中的灵活应用

<正>一、中心对称的应用构造函数,使函数关于某点成中心对称.例1(睿达杯2012年第8题)设x,y是实数,且满足{(x-1)⁵+2012 5(x-1)5+2012 5(x-1)^(1/2)=-1,(y-2)(1/2)=-1,(y-2)⁵+2012 5(y-2)5+2012 5(y-2)^(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x⁵+2012 5x5+2012 5x^(1/2),则f(x)是R上的奇函数,图像关于原点对称,