基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理

我们都知道证明微积分基本公式 (牛顿—莱布尼兹公式 )和证明积分中值定理的通常的方法 ,也就是先利用积分中值定理推出积分上限的函数的导数公式 ,然后由此再借助原函数的概念证明微积分基本公式 ,以及利用定积分的性质 (即估值定理 )和闭区间上连续函数的介值定理证明积分中值定理 ,其中积分中值定理的中间点 ξ的范围是 a≤ ξ≤ b[1] .本文将根据微分中值定理和定积分定义直接证明微积分基本公式 ,并直接揭示微分学和积分学的密切联系 ;进一步 ,根据微分中值定理和原函数存在定理简洁地证明积分中值定理 ,并阐明它的中间点 ξ的范围是 a…     

谢绪恺编著《高数笔谈》

正谢绪恺编著《高数笔谈》——数学问题工程化,工程问题数学化(东北大学出版社)全书共5章和3个附录,内容包括:第1章.微分学(极限,两个重要极限,中值定理,洛必达法则,泰勒展开式,函数的极值,条件极值);第2章.积分学(原函数,微积分基本定理,不定积分,格林公式,斯托克斯公式,高斯定理与通量);第3章.梯度、散度、旋度(梯度,散度,高斯公式,旋度);第4章.线性方程组(线性     

微积分基本公式和中值定理

微积分基本公式和中值定理陈大均（华南建设学院西院）定理如果函数Ｆ（。）是连续函数ｆ（。）在区间［ａ，ｂ］上的一个原函数，则众所周知，（ｌ）式是微积分基本公式，也叫做牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）一莱布尼兹（Ｌｅｉｂｆｌｉｓ）公式，这个公式揭示定积分与原函数（不...     

微积分基本定理可以这样教

“微积分基本定理”是普通高中实验教科书选修（2—2）中的一个新增内容．作为微积分学的一个重要定理,它不仅仅为计算定积分提供了一种简洁、有效的方式,使得定积分的计算手续大大简化,更为重要的是进一步揭示了定积分与被积函数的原函数（或不定积分）之间的内在联系．按照课程标准的要求,该部分内容的教学不仅要使得学生了解微积分基本定理（即牛顿-莱布尼茨公式）的含义,     

定积分的一些计算方法及技巧

在积分学中,关于定积分的计算,常用的方法有N—L公式,换元法与分部积分法。这些方法一般教材中都有详细的介绍,但对于原函数不是初等函数或不易求得原函数的积分,同     

积分学三大定理的另证及其注记

用不同的思路推证积分中值定理、原函数存在定理和微积分基本定理.     

定积分的概念及其应用——浅谈旋转体体积的教学

一、从微分中值定理认识定积分的概念 定积分的概念,在现行各种教科书中,多是直接给出。然后,回过来证明定积分与不定积分的关系。于是,就有牛顿—莱布尼兹公式。这种方法,实际上是认识过程的一个逆序。由于这种逆序,往往给初学者理解定积分概念带来一定的困难。如能变换方式,从已学的知识中,直接推导出这个定积分概念,确有化难为易的好处。     

利用定积分求分段表示的函数的不定积分

分段表示的函数的不定积分的求法通常采用逐段求其不定积分 ,但这样得出的结果会有几个积分常数 ,由于不定积分的任意常数只有一个 ,为求出最后结果 ,则要利用原函数必连续的条件 ,找出几个积分常数之间的关系 ,确定出不定积分的任意常数 (见 [1 ]) ,由于求函数 f(x)的不定积分∫f (x) dx =F(x) C,关键是求出它的一个原函数 F(x) .若注意到变上限函数 F(x) =∫xaf (t) dt满足 F′(x) =f (x) ,即 F(x)是 f (x)的一个原函数 ,则有∫f (x) dx =∫xaf (t) dt C于是 ,求函数 f(x)的不定积分问题 ,就可以转化为求定积分∫xaf (t) dt的问题 .…     

多种方法巧证概率积分intgral from n=-∞ to +∞(1/(2π)~(1/2)·e~(-(x~2/2))dx=1)

利用变量代换、微分中值定理、积分几何意义、积分性质及夹逼定理、Γ -函数和β-函数关系等方法 ,对服从标准正态分布的随机变量 X ,其密度函数的概率积分公式 ,给出了多种证明方法 .     

第二型曲线积分的第二中值定理

引入了定义在曲线上的函数的单调性概念,在此基础上证明了第二型曲线积分的第二中值定理.定积分的第二中值定理是主要结果的简单推论.     

格林公式杂谈

<正> 格林定理,高斯定理、斯托克斯定理,又都俗称公式.是多元函数积分学的基本定理.它们的内容和意义与一元函数中的牛顿——莱布尼兹公式相似,都刻划了函数在某种几何形体上的总体性质和在边界上的性质之间的关系. 就它们之间而言.格林定理是高斯定理的特殊情形,而斯托克斯定理则是格林定理的推广.本文主要内     

第二积分中值定理“中间点”渐近性的完善

通过定义第二积分中值函数,用统一的方法继续探讨了第二积分中值定理“中间点”的一些渐近性质,得出一系列新结论,相信在积分学中有着很重要的作用.     

Cauchy积分中值定理逆问题的注记

使用函数严格单调性,获得了定积分的若干性质.应用这些性质,解决了Cauchy积分中值定理中值点的唯一性,并得到了该定理及其逆定理的较弱表述,进一步解决了其逆定理中积分区间端点的唯一性.     

求分段函数不定积分的一些方法

求连续函数不定积分的关键是求其一个原函数,而连续函数在其连续区间内所对应的积分限函数就是它的一个原函数。所以可以用下面两种方法求解连续分段函数的不定积分。     

定积分求极限的几个例子

高等数学的教科书中用定积分性质证明了牛顿—莱布尼兹公式.定积分性质还有哪些应用呢?下面我们通过一些例题来说明该问题.[1]中作者证明了一个关于函数列的中值定理,然后再用该定理计算了     

关于曲线积分中值定理“中间点”渐近性的进一步结果

给出一个曲线积分学中值定理及其"中间点"渐近性分析,其结果还概括了近五年来关于积分学第一中值定理"中间点"渐近性的众多结果.     

关于积分不等式的几种证明方法

通过实例分别介绍利用函数单调性、最值、微分中值定理、凸函数、定积分的性质、基本不等式、幂级数展开式来证明积分不等式的一些方法．     

定积分不等式几种典型证法

通过几道常见的定积分不等式证明例题,从不同角度分析、研究定积分不等式的特点,归纳总结出构造辅助函数,利用重要积分公式、性质、定积分中值定理及重要不等式等证明定积分不等式的七种典型方法．     

格林公式杂谈

<正> 格林定理、高斯定理、斯托克斯定理,又都俗称公式,是多元函数积分学的基本定理。它们的内容和意义与一元函数中的牛顿——莱布尼兹公式相似,都刻划了函数在某种几何形体上的总体性质和在边界上的性质之间的关系。就它们之间而言,格林定理是高斯定理的特殊情形,而斯托克斯定理则是格林定理的推广。本文主要内容是,(1)从高斯公式推出格林公式;(2)谈谈巧用格林公式。     

略谈中学积分部分的复习

今年高考已确定不考这部分内容,但考虑今后教学的需要,特刊出供参考。本章教学内容,只是积分学里最基本的知识。总的教学要求是比较低的。在复习中不要增加例、习题的难度。更不能扩充内容。下面谈几点意见,供复习时参考。一、明确复习要求通过复习,进一步理解基本概念,熟练基本方法,会简单应用。基本概念包括原函数、不定积分,定积分的概念。基本方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法。其中以直接积分法为主,后两种方法只要求能处理一些较简单的习题即可。如课本所要求的习题的难度。简单应用包括会解决一些简单平面图形的面积及其旋转体的体积计算问题。