一道分式不等式的概率证明及推广

设 xi ∈ ( 0 ,1 ) ,i =1 ,… ,n,且∑ni=1xi =a,∑ni=1x2i =b,求证∑ni=1x3i1 - xi≥ a2 ab - nbn - a ,( 1 )文 [1 ]～ [3]给出了 ( 1 )式不同的初等证明 ,文 [4 ]利用柯西不等式将 ( 1 )式加强为　　　 ∑ni=1x3i1 - xi ≥ b2a - b ( 2 )本文利用概率方法对 ( 2 )式作指数推广 .为此 ,作为引理 ,给出概率的 Jensen不等式 .引理　设随机变量ξ取值于区间 ( a,b) ,-∞≤ a≤ b≤ ∞ ,g是 ( a,b)上连续的凸函数 ,则当 Eξ,Ε[g(ξ) ]存在时 ,有g( Eξ)≤ E[g(ξ) ].证明　任取 x0 ∈ ( a,b) ,设曲线 y =g( x)在点 x0 的切线斜率为 k( x…     

一个不等式的初等证明

文[1]介绍了这样一个不等式的证明:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 1 1x23≤1207.该文作者给出了一个较为复杂的证明.本人现给出一个简单的初等证明.证明先证明:对任意0相似文献   

一个不等式推广的简证及修补

文[1]给出了下列命题已知x12 x22 … x1002=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[2]沿用文[1]的方法,利用探究的手段加强并推广了上述命题得到了下列两个命题:命题1若∑100i=1xi2=300,则∑100i=1xi≤100 3,当且仅当x1=x2=…=x100=3时,等号成立.命题2若∑ni=1xi2=m则∑ni=1xi≤mn.当且仅当x1=x2=…=xn=mn时,等号成立.进而通过联想,并用同样的手段又给出了下列两个命题:命题3若∑ni=1kixi=A,且∑ni=1ki=S0,其中ki>0(i=1,2,…,n),A与S0都是常数,则∑ni=1kixi2≥A2S0.当且仅当x1=x2=…xn=AS0时,等号成立.命题4若∑ni=1kixi2=m,且∑ni=1ki=S0,其…     

一个不等式的推广及猜想

文[1]介绍了如下一个不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则11 x12 1 1x22 1 1x32≤1170(1)文[1]给出了(1)的一个初等证明·今推广(1)如下:若xi>0,i=1,2,3,4,且∑4i=1xi=1,则1x13 1 1x32 1 1x33 1 1x43≤26556(2)证明先证明:对任意0相似文献   

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 11 x32≤1207.证明的关键是先证明了对任意0相似文献   

一类二次方程组的一个定理及其运用

定理　在方程组∑ni=1xi=A∑ni=1x2i=B中 ,A、B是实数 ,记Δ=n B-A2 .若 xi∈ R( i=1,2 ,… ,n) ,则Δ≥ 0 ,当且仅当x1 =x2 =… =xn=An时 Δ=0 .证明　 ∑1≤ i相似文献   

一类条件不等式证明方法的改进

文[1]对“在xi＞0,i=1,2,3…,n,且∑i=1^n xi=m的条件下，欲证不等式∑i=1^ng（xi）≤k（≥k）成立”这类不等式的证明给出一个通用证法，读罢此文，颇受启发！     

兔子是这样从帽子里面抓出来的

数学问题1785 设0≤xi≤1,n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1,求f(x1,x2…,xn)=n∑i=1 xi/1+x2i的最大值. 命题人用下面的引理给出了该问题解答.引理 0≤x≤1时,有不等式x/1+x2≤(n/n2+1)2[(3+n2)x-2nx2](*),当且仅当x=1/n时等号成立. 文[1]将上述引理调侃为“就象从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外,根本不具备什么启发性”.笔者认为这种说法有失偏颇,不能把自己没有看透的东西说成不自然的东西,现在我们来看引理是怎样被发现的.     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明     

应用函数值符号妙解竞赛中的不等式问题

构造函数解决与不等式相关问题是很常见的,但通常都是构造单调函数,并利用其单调性来完成解答.本文介绍一种新的构造方法,它不是利用函数单调性,而是应用函数值在其变量取值范围内有确定符号来解题.下面分别举几例来加以说明.例1已知a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈[1,2],且∑ni=1ai2=∑ni=1b2i.求证:∑ni=1ai3bi≤1107∑i=n1b2i.证明:构造f(x)=x-12(x-2)x+52,则当21≤x≤2时,f(x)≤0故x3-1201x2+52≤0,即x3≤1210x2-52.又21≤baii≤2,所以bai3i3≤2110bai22i-25,ba3ii≤1210ai2-25b2i.故∑ni=1ai3bi≤1210∑i=n1a2i-52∑i=n1b2i=1210∑i=n1b2i-5…     

一个不等式的再质疑与另证

文[2]指出了文[1]的错误,并给出了证明,但文[2]的证明仍然是错误的.原因如下:因为m∑i=1xi=1,xi>0,i∈N ,1≤i≤m,m,n≥2且m,n∈N ,所以nn-1n 1=n1-2n 1≥13>12.因此,当x∈nn-1n 1,1时,xi(i∈N ,1≤i≤m)中只有一个在nn-1n 1,1内,不妨设为xi∈nn-1n 1,1,其余的xi(i∈N ,2≤i≤m     

一个猜想不等式的推广及其简证

文[1]提出了一个猜想:设xi>0,i=1,2,…,n,且∑ni=1xi=1,n≥3,则∏ni=1(x1i-xi)≥(n-1n)n.(1)本文给出(1)的更一般形式,并加以证明.定理设xi>0,i=1,2,…,n,且∑ni=1xi=m,n≥3,m≤1,则∏ni=1(x1i-xi)≥(mn-nm)n.(2)证明1°n=3时,∏3i=1(x1i-xi)=(1-x12)(1x1-x2xx223)(1-x32)=x1x1     

对《一个猜想的证明》一文的商榷

文 [1 ]提出了一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n ,且 ∑ni=1xi=1 ,n≥ 3,则　∏ni=11xi-xi ≥n - 1nn ( 1 )文 [2 ]利用下述引理“设a相似文献   

不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

几个不等式的简证

《数学通讯》(教师版)2006年上年度刊登了一组关于不等式研究的专题文章,笔者拜读之后受益匪浅,笔者探究发现其中的几个不等式更加简捷的证明方法,现写出来,供读者参考.例1[1]设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1n∑i=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai(1)这是文[1]对文[2]证明的如下一个不等式的逆向不等式:设ai>0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1.则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi(2)文[1]通过构造函数,考察函数的凸性,然后用数学归纳法证明了(1)式.其实,有了(2)式,(1)式的证明便唾手可得,不必绕道而行.事实上,由(2)式∑ni=1piai=∑ni=…     

对两个代数不等式的探索

文[1]给出了如下定理及猜想:定理1对于任意实数x,y,a,b有(x-a)2 (y-b)2≥(x2 y2-a2 b2)2.定理2已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),且x2 y2≥n∑i=1xi2 yi2,则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1yi)2≥(x2 y2-n∑i=1xi2 yi2)2(1)猜想,已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1y     

n元三次多项式不等式猜想的证明

猜想 [1]　设 x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,n为正整数 ,证明或否定 :n( n - 1 ) ∑ni=1x3 i + ( ∑ni=1xi) 3　≥ ( 2 n - 1 ) ∑ni=1xi∑ni=1x2i ( 1 )这是杨学枝老师近日提出的一个猜想 .经探讨发现 ,此猜想成立 .为证明 ( 1 )式成立 ,先给出如下引理 .引理 1　 x1,x2 ,… ,xn∈ R,n为正整数 ,则( ∑ni=1xi) 3 =∑ni=1x3 i + 3∑i≠ jx2ixj+ 6 ∑1≤ i相似文献   

两个不等式的推广

题目[1]已知x_1~2 x_2~2 … x_100~2=300,求证:x1 x2 … x100≤200(1)文[2]对不等式(1)进行了加强和推广,分别给出四个命题,其中后两个命题(见原文命题3、命题4)分别为:命题1若∑ni=1kixi=A,且∑ni=1ki=B,其中ki>0(i=1,2,…,n),A与B都是常数,则∑ni=1kixi2≥AB2(2)当且仅当x1=x