一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

数学问题解答

2011年1月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1891在对边乘积相等的圆内接凸四边形AB-CD中,M为对角线BD的中点,T为劣弧BC上一点,则A、M、T三点共线的充要条件是CT//DB.     

对《有关等角多边形的一个定理及其应用》的一点补充

文[1]首先提出了如下的定义1 内角全相等,各边不相等或不全相等的凸多边形,叫做等角多边形。并证明了下述的定理1 对于两个全等的角2n边形(n∈N,n≥2),每相邻两边都两两相交并组成公共内接4n边形,每条边长依次为a_1,b_1,a_2,b_2,…,a_n,b_n,a_(n-1),…,a_(2n),b_(2n),则     

数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

一道IMO预选题的溯源及推广

第28届国际数学奥林匹克有如下一道预选题: 试证:若a、b、c是三角形的三边,且2s=a b c,则(1) 运用契贝雪夫不等式: 若序列a_1和b_1(i=1,2,…,n)为同序,即满足a_2≤a_2≤…≤a_m且b_1≤b_2≤…≤b_n或a_1≥a_2≥…≥a_n且b_1≥b_2≥…≥b_n 则若序列a_1和b_1(i=1,2,…,n)为反序,则上式中的不等号反向。     

简解一道CMO试题

2001年中国数学奥林匹克(CMO)第一题给定a,2～(1/2)相似文献   

运用S_n=An~2+Bn解决问题

<正>等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,其前n项和可以表示为:S_n=An²+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An2+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An²+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An2+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An²+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax2+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax²+Bx开口向下,f(0)=0,f(12)>0,f(13)<0,其对称轴x=x_0(x_0∈(6,6.5)),所以当n=6时,S_n取得最大值.     

关于一类倒齐次不定方程整解问题

1 整数组的一个性质以[a_1,a_2,…,a_n]表示非零整数a_1,…,a_n的最小正公倍数,g_m和f_(m-1)表示m次和m-1次n元整系数多项式,关于整数组有如下性质: 引理1 对任意非零整数X_1,…,x_n,必存在非零整数t_1,…,t_n和正整数M,使x_1t_1=x_2t_2=…=x_nt_n=M 事实上,只要取M=|x_1…x_n|,t_1=M/X_1(i=1,…,n)即知。我们还有引理2 若a_1a_2…a_na≠0,则整系数方程组 a_1x_1=…=a_n-x_(n-1)=M, a_nx_n=aM(1)有解的充要条件是[[a_1,…,a_(n-1)]a,a_n ]|aM,     

平均值不等式和柯西不等式

平均值不等式和柯西不等式是两个极为重要的基本不等式,由于它们变化多,实用性强,可以充分展示受试者的机敏和能力,因此深受竞赛命题者的青睐,有关的问题在数学竞赛中频频出现,经久不衰。一、平均值不等式这里先介绍平均值不等式。设a_1、a_2、…、a_n为n个正数,记 A=a_1 a_2 … a_n/n,G=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 则 A≥C(1) 其中当且仅当a_1=a_2=…=a_n时等号成立。这个不等式通常称之为算术平均-几何平均值不等式,简称平均值不等式。平均值不等式证明方法很多,以下给出两种富有启发又很简捷的证明。     

经典均值不等式的多重隔离

我们都知道下列经典均值不等式:设a_1,a_2,…,a_n是n个正数,n≥2,n∈N~*.则n/(1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_n))≤(a_1a_2…a_n)~(1/n)≤(a_1+a_2+…+a_n)/n≤((a_1~n+a_2~n+…+a_n~n)/n)~(1/n),等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n取到.受文[1],[2]的启发,笔者给出下列经典均值不等式的多重隔离:     

一类无完整解数列题剖析

[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和     

第七届巴尔干国家中学生数学奥林匹克试题及解答

1.(希腊)设a_1=1,a_2=3,且对子所有的正整数n,a_(n 2)=(n 3)a_(n 1)-(n 2)a_n 。试求所有使a_n可被11整除的n的值。 2.(保加利亚)考虑下式定义的一个多项式:a_0 a_1x a_2x~2 …十a_((2)_n)x~(2n)=(x 2x~2 … nx~2)~2。求证: 3.(南斯拉夫)设A_1B_1C_1是不等边锐角△ABC的垂足三角形,A_2、B_2、c_2是内切于△A_1B_1C_1的圆与它的边的切点。求证:△A_2B_2c_2和△ABC的欧拉直线重合。注1.已知三角形的垂足三角形以原三角形高线的足为顶点。注2.已知三角形的欧拉直线由它的垂心(三条高的交点)和它的外接圆心确定。     

用矩阵的初等行变换求欧氏环中元素的最大公因子

本文给出了欧氏环中多个元素的最大公因子的矩阵求法,解决了求欧氏环上的n元一次不定方程的所有解问题。设R为欧氏环,a_i∈R(i=1,2,…,),则a_1,a_2,…,a_n的最大公因子d=(a_1,a_2,…,a_n)—     

一道集合计数问题的思考

<正>集合是高中数学的第一课,是高中数学中最简单最基础的知识,那么当集合问题遇上计数问题又会碰撞出怎样的火花呢?题目设整数n≥3,集合P={1,2,3,...,n},A,B是P的非空子集.记a_n为所有满足A中最大数小于B中最小数的集合对(A,B)的个数,(1)求a_3;(2)求a_n.     

一类关于绝对值的函数的最小值及其应用

已知两两互异的实数a_1,a_2,…,a_n,求表达式y=|x-a_1| |x-a_2| … |x-a_n |(x为实数)所定义的函数的最小值。这是波兰的一道数学竞赛题,我们将其归结为如下结论: 定理如果a_1相似文献   

递归数列

一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得     

数学奥林匹克问题选登

1991年11月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 11.设a_1,a_2,…,a_n为正整数,N为整数,解方程[a_1x] [a_2x] … [a_nx]=N。解不失普遍性,可设(a_1,a_2,…,a_n)=1,否则如果(a_1,a_2,…,a_n)=d。令x=dx就转化为这种情况,为了方便, 令 M=a_1 a_2 … a_n, F(x)=[a_1x] [a_2x] … [a_nx]。很明显,F(x)是不减的且F(x 1)=F(x) M。由此可得出,F(x s)=F(x) sM,(s为整数) 如果N=N_1 Ms, 则F(x)=N有解的充分必要条件是F(x)=N_1有解。如果F(x)=N_1的解为a,则F(x)=     

转化为常数列求递推数列通项

类型1 a_(n 1)=pa_n q例1 (2006福建(理))已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*),求数列{a_n}的通项公式．解由已知a_(n 1)=2a_(n 1),两边同除以2~(n 1),得(a_(n 1))/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~(n 1))．变形得(a_(n 1))/(2~(n 1)) 1/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~n),∴数列{(a_n)/(2~n) 1/(2~n)}是常数列,即(a_n)/(2~n) 1/(2~n)=(a_1)/2 1/2,故所求数列通项为a_n=2~n-1．点拨形如a_(n 1)=pa_n q(p、q常数,p≠1,q≠0)的递推关系求通项,通常先两边同除以     

均值不等式的两个(对称的)简证——《不等式选讲》教学札记

1问题的缘起新教材《不等式选讲》(人教A版选修4—5)介绍均值不等式是分两步进行的,先用数学归纳法证明引理:如果n(n为正整数)个正数a_1,a_2,…,a_n的积a_1a_2…a_n=1,那么它们的和a_1+a_2+…+a_n≥n.(P_(52)例4)再作一个代换(P_(53)探究2)得到.     

我为高考设计题目

题342在数列{a_n}中,若对任意的n∈N^*,都有a_n≤M(实常数)成立,且对任意的aa,则称数列{a_n}具有性质P(M).(1)设等比数列{b_n}(n∈N^*)的前n项和为Tn,若b_3²+b_4=0,b²-2b_3=0;证明:数列{T_n}具有性质P(2);(2)数列{a_n}的前n项和S_n满足:nS_m+n-(m+n)S_n+3(m+n)mn=0(m,n∈N^*);若数列{S_n}具有性质P(884),求a_1的取值集合.