0公主归来

0公主从小数地区访问归来了,自然数姐姐们可高兴了!她们都想从0公主那儿得到一件好玩的礼物.0公主呢,她要求自然数姐姐们按质数和合数排成两队,才能赠给她们礼物. 傻乎乎的胖8慢悠悠地说:“我是合数.因为除了1和自己本身以外,我还有因数2和4.合数姐妹们,请站到我这边来!”话音刚落,2、4和6很快站好了队.     

埃拉托塞尼与素数筛子

自然数是人们最早研究的数学对象,又是最有扭力的、从中能产生无穷多个问题的数学对象,而且从不同的角度探讨自然数,就会形成不同的问题．例如,从自然数所含的因数的个数来看,可把所有的自然数分为三个部分：（1）仅有一个因数的数工;（2）有且仅有两个因数的数,即除1和自身以外,没有别的因数的数,如2,3,5,7,…等,称为素数（质数）;（3）有三个以及多于三个不同的因数的数,即除1和自身以外,还有其他因数的数,如4,6,8,ZO。…等,称为复合数,简称合数．如我们已经知道的,素数就构成了数学中的许许多多重要的课题,如…     

可爱的0与1

大家知道,最简单的数字莫过于0与1,然而却有着极其丰富的内涵.这里仅就初中数学教学的范畴来解读中学生眼中的0与1.——愿人人都能分享其中的美与妙,不同的人获得不同的感悟:“1”不小心爱上“0”! 一、0与1的特性 0是第一个自然数,逐次“加1”就有了后续无穷无尽的自然数,进而就产生了分数,小数,有理数,实数乃至复数(i2=-1 )等.0是自然数,当然也是整数,是有理数,是实数,但它既不是正数,也不是负数,是唯一的中性数,还是绝对值最小的数;1是最小的正整数,在自然数集合中,只有1既不是质数也不是合数.在现实世界的时间和空间里,一切都得从0和1开始.正因为0与1的特殊地位,注定了它与众不同的运算特性.     

“1985”趣题

值此19 55年来临之际,特造“1985,,数题,向本刊的编者、作者、读者致贺。1。已知数100…01,试证此散是合数。 19 85个0证明.’.100…01二10‘。“.+1=(10竺‘’)a+1、一,一一洲 1985个0=(10‘约“+1)。(101,2‘一10“:+1 ·’·迎二“’是合数· 19 85个0. 2已知一个自然数减去49后,是一个完全平方数,这个自然数加上40后,是另一个完全平方数,求这个自然数。 解:设所求的自然数为之,贝〔依题意得{ 一49=‘+40=石C(1)(马少且万>O,C>0.(2)一(1)得:C3一B.== 40由(3)知C>B,C一B)0,一(一49)=89(8)89为质数, 证明:利用(x+1)名’.‘(x+1)“”’…     

辛达拉姆筛法的推广

人们一般都熟悉古老的埃拉托色(Ｅｒａｔｏｓｔｈｅｎｅｓ)筛法 .这是从前ｎ个自然数序列中依次划去 2 ,3,5,… ,至 <ｎ的素数的倍数 (合数 ) ,而得到不超过ｎ的全部素数 .即是逐个剔除合数 ,留下素数的方法 .根据此法可编制大量的素数表以备实用 ,但计算繁琐 ,且在理论上没有多少价值 .1 934年 ,一位印度学生辛达拉姆 (Ｓｎｎｄａｒａｍ)发明了一种新的筛法 ,其方法的基础是构造下面的数阵———辛达拉姆表 :4　 7　 1 0　 1 3　 1 6　 1 9　 2 2　…71 2 1 72 2 2 732 37…1 0 1 72 4 31 3845 52…1 3 2 2 31 40 4 95867………………………     

灵活运用组合数的性质求和

组合数,排列数,自然数连乘积,自然数的方幂等求和中,很多古老而又年轻的问题,有时百思不得其解.灵活运用组合数的性质:Cn 1m=Cnm Cnm-1,却能化难为易,获得简捷明快的解法.下面由浅入深研究四个问题.     

自然数的方幂求和

自然数的方幂和 S_n~((k))=1~k+2~k+…+n~k 可以用一组组合数表示出来。试看     

对一个学生的发现的探讨

我班学生刘晋发现了一个自然数的性质 ,举例如下 :92 - 32 =2 (4 5 6 7 8 9)- (9- 3) ,1 32 - 72 =2 (8 9 1 0 1 1 1 2 1 3)- (1 3- 7) ,1 0 0 2 - 572 =2 (58 59 … 1 0 0 )- (1 0 0 - 57) ,上面各等式中 ,前一个小括号内是连续自然数之和且这些自然数正好是等式左边被减数与减数之间的数 ,很明显 :对于 n,m∈ N且 n >m,则有 n2- m2 =2 [(m 1 ) (m 2 ) … n]- (n- m) .我非常惊奇这一发现 ,于是鼓励他继续探讨 ,n3- m3,n4 - m4 ,nk- mk是否也有类似性质 .由于该生没有得到满意结论 ,笔者亲自动手探讨 ,发现确有类似结论 .(1 ) n3…     

1990年列宁格勒数学奥林匹克试题及解答

第二轮竞赛试题幼0.01设有一个 年级8x9的方格表,试将它分成 个如图1所示的形状的图形. .。二招某国的硬币有5分和 7分两种.试间,为用这两种硬币支4付1枪分货款,可有多少种不同的 方法?图I一35一:0。,两个自然数的10进制表示中都只用到了数字l卜4,6和9.试问.是否可能其中一数刚好是另一数的1宁倍?请说明理由. :0“6个排球队进行比赛.每两个队都刚好比赛一次.现知各队的得分都各不相同(排球赛中没有平局,旅队得l分,输队得O分),且月队名列第三,刀队名列第四.试问,在A、B两队比赛时,谁城了谁?试加以论证. 七年级 .0.。,试在平面上放置刊个点.…     

费尔马伪素数及其奇妙性质

1　费尔马数与伪素数1640年法国数学家费尔马发现 :F0 =3,F1=5,F2 =17,F3=2 57,F4 =65537都是素数 .据此费尔马猜想 :任何费尔马数 Fn=2 2 n 1都是素数 .然而 ,1732年瑞士数学家欧拉举出反例 :F5=641×670 0 4 17是合数 !从而推翻了费尔马猜想 .180 1年 ,德国数学家高斯证明了当且仅当 n为如下形式的数时 ,才能等分圆周 :( 1) n =2 m ;　 ( 2 ) n =Fm 为费尔马素数 ;( 3) n =2 mp1p2 … pk,其中 pi 为相异的费尔马素数 .虽然高斯完满地解决了等分圆周问题 ,但关于费尔马素数的判别却引起了人们的关注 .到目前为止 ,数学家们只发现前 5…     

一类正项等比数列新不等式的再研讨

安徽盛宏礼先生在文[1]里,对于正项等比数列和组合数,建立如下新的不等式:定理1已知数列{an}是正项等比数列,n为自然数,求证:C0n/a1+C1n/a2+C2n/a2+…+Cnn/an+1≤2n-1(1/a1+1/an+1).①原文对此不等式的证明过程比较繁杂,其实,证明是     

自然数的等差分拆公式

自然数的等差分拆公式陕西华阴市黄河工程机械厂中学李建章文［１］给出了至少含有两个奇约数的自然数的等差分拆的一个定理，本文利用对称思想，给出所有大于８的合数的等差分拆的简易方法──真因数中项对称法．为方便，本方约定ｍ、ｎ均为自然数Ｎ的真因数（即非１和Ｎ...     

数列及函数极限不存在、无界、及有关无穷大问题的讨论

一、数列极限不存在，无界，不是无穷大的分析定义1．数列（Xn）不以A为极限存在ε0＞O，对任意自然数儿都存在从，当N0＞N时使2数列｛xn｝发散对任意数人都存在ε0＞0，对任意自然数N，都有N0＞N，使3．数列无界对任意M＞0，都存在自然数N0，使成立。4数列（Xn）不是无穷大量存在M0＞0，对任何自然数N，都存在N0＞N，使类似地可以出给函数极限不存在，无界，不是无穷大的分析定义。二、证明数列发散的一般方法在同济大学高等数学第四版上册第一章讲数列极限时，给出了一个描述收敛数列与其子数列之间关系的一个定理3，即如果数列｛xn…     

关于无K—间隔的组合数

从排列在一条直线上的n个元素中选取m个元素,以f_k(n,m)表示任意两个被选元素的间隔均不为k之方式数。如果这n个元素排列在园周上,则相应的组合数以g_k(m,m)表示。关于这两类组合数,I.Kaplansky于1943年首先研究了k=0时的计数问题,J. Konvalina于1981年应用递归方法得到了k=1时的计数表达式。对于一般的自然数k,这一问题似乎更加复杂。     

Cauchy多边形数定理的一个简短证明

本文对下述事实给出一个简单的证明:每个自然数是m+2个m+2边形数之和. 设m≥1,一个m+2边形数是形如 Pm(k)=m/2(k2-k)+k,(k=0,1,2,…)的数.Fermat[3]断言:每一个自然数是m+2个m+2边形数之和.对于m=2,Lagrange[5]证明了每一个自然数是4个平方数P2(k)=k2之和.对于m=1,Gauss [4]证明了每一个自然数是3个三角数P1(k)=1/2(k2+k)之和,或等价的,每一个满足n≡3(mod 8)的正整数n都是3个奇数平方之和,Cauchy[1]对所有的m≥3证明了Fermat的断言,Legendre[6]进一步细化和推广了这一结果.对于m≥3且n≤120m,Pepin [8]给出了将n写成m+2个m+2边形数之和的显示表达的表,其中至少有m-2个取值于0或1.     

作者·读者·编者

辽宁省大连市 112中学车延文 ,尹向阳读者来信指出 :《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 12 51的解答有不妥之处 .因为数 4 / 9ａ2 ｎ-8和 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ-8)不是两个无关的数 .数 4 / 9ａ2 ｎ-8是数列 {4 / 9ａ2 ｎ-8}的第ｎ项 .利用关系ａｎ 1 =12 ａｎ 49ａｎ,易知 4 / 9ａ2 ｎ 1 -8=2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8) .因此 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8)是数列 {4 /9ａ2 ｎ-8}的第ｎ 1项 .所以用数学归纳法来说明这两个数均为自然数时 ,仅验证ｎ =1时 .结论成立就不够了 .必须验证ｎ =1,及ｎ =2时结论成立 ,整个证明的叙述应改为如下 :令Ａｎ=4 / …     

魔术数

如果将自然数N接写在每个自然数的右面,所得到的新数都能被N整除,那么N称为魔术数。例如,1是魔术数。因为任何自然数都能被1整除,2是魔术数,因为把2接写在任何数的右边,均得到偶数。5、10、100…也都是魔术数。因此,魔术数有无穷多个。下面,我们来考虑魔术数的性质和在一定条件下的计数问题     

妙趣横生的数

在中学数学竞赛中 ,经常出现一些以自然数为背景的问题 ,解答这些问题 ,不需要多么深奥的数学知识 .只用到如自然数的分类、整除、多项式的简单运算等一些初级知识 .但要解决这些问题 ,需要有敏锐的洞察力和较强的探索能力 ,它有助于学生智力的开发 ,常常受到竞赛命题者的青睐 .例 1一个正整数 ,若与它的“反序数”相等 ,这个正整数就称为一个“魔幻数” .如数“3” ,“1991”都是“魔幻数” .在 1～ 2 0 0 2 (包括 1和 2 0 0 2 )中 ,“魔幻数”共有多少个 ?解　 (1)前九个正整数 1～ 9都是“魔幻数” ,共 9个 .(2 )两位数中有 :11,2 2 ,3 3…     

一个有趣的发现

一个偶然的机会,我发现了连续自然数n次方之间的一个小规律．这是一天的傍晚,我顺手拿起笔,随便写了几个数．当我写到几个连续自然数的n次方的时候,我想:它门之间会不会有什么关系呢?说干就干,我拿出一张新纸．做法如下: 12=1、22=4、32=9、42=16、52=25、62=36．我把1、4、9、16、25、36作为一组数依     

最大与最小

无论是数学中还是实际生活中 ,经常会遇到一些求最大或最小值的问题 ,请看下面几例 .问题 1　把 16分拆成几个自然数的和 ,要使这些数的乘积最大 ,最大的积是多少 ?分析　 (1)这些自然数中不应有 1,因为有 1时 ,积不会最大 .因此 ,这些自然数仅可能是 2 ,3 ,4,… ,14 .(2 )当这些自然数中出现 5 ,6,… ,14之一时 ,积也不会最大 ,例如 5可进一步分拆成 2+ 3 ,而 5 <2× 3 ,6可进一步分拆成 3 + 3 ,而 6<3× 3 .(3 )积最大时 ,可以不使用自然数 4,因为4=2× 2 ,4=2 + 2 ,即可以将 4改写成两个 2的和 .(4 )积最大时 ,2的个数不能多于 2个 ,因为…