关于"渐升数"的有关问题

题目　渐升数 (如 346 89)是指在正整数中每个数字都比其左边的数字大的正整数 .已知共有 12 6个五位“渐升数”,若把这些数按从小到大的顺序排列 ,则第 10 0个五位渐升数为　　 .要求解这个题目 ,必须解决好以下几个方面问题 .第一 ,理解“渐升数”这个概念 .如五位渐升数 346 89,是指从 1、2、3、4、5、6、7、8、9这 9个数字中 ,取出 3、4、6、8、9这五个数字 ,组成一个五位正整数 ,并使得其中每个右边的数字都比其左边的数字大 ,即 346 89为五位渐升数 .再如 5 6 789是最大的五位渐升数 ,12 345是最小的五位渐升数 ,4 5 6 789是最大的六…     

运用归纳方法解一道竞赛题

<正>题目(2009年全国初中数学竞赛试题)n个正整数a_1,a_2,…,a_n满足如下条件:1=a_1相似文献   

可爱的0与1

大家知道,最简单的数字莫过于0与1,然而却有着极其丰富的内涵.这里仅就初中数学教学的范畴来解读中学生眼中的0与1.——愿人人都能分享其中的美与妙,不同的人获得不同的感悟:“1”不小心爱上“0”! 一、0与1的特性 0是第一个自然数,逐次“加1”就有了后续无穷无尽的自然数,进而就产生了分数,小数,有理数,实数乃至复数(i2=-1 )等.0是自然数,当然也是整数,是有理数,是实数,但它既不是正数,也不是负数,是唯一的中性数,还是绝对值最小的数;1是最小的正整数,在自然数集合中,只有1既不是质数也不是合数.在现实世界的时间和空间里,一切都得从0和1开始.正因为0与1的特殊地位,注定了它与众不同的运算特性.     

有趣的“勾股数”

“勾三股四弦五”,每位学过几何的同学都知道.这三个数都是正整数,并且以它们的长可做为直角三角形的三条边(即3~2+4~2=5~2),因此人们称这三个数为勾股数,可记为(3,4,5). 我们知道的勾股数还有很多,如(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17)等.细心的同学会发现,在构成勾股数的三个数中,是三个连续自然数的似乎只有(3,4,5);还有没有其它连续的勾股数呢?每个自然数都可以找到其余的两个自然数和它构成勾股数吗?勾股数到底有哪些奇妙的性质呢?     

10以内自然数的正整数次幂的尾数规律

10以内自然数的正整数次幂的尾数存在许多规律,其中最为奇特的一条规律是:10以内自然数的5次幂尾数就是其本身,即n5(n=0、1、2…9)的尾数为n.笔者通过研究,试图解释这些规律之间的相互联系,以及5次幂尾数巧合背后的一些数学原理.……     

一九八九年日本高考试题选

1.设二次方程ax~3-6x+3c=0中的a,b,c是1位自然数,而且它的2个解α,β满足求a,b,c的值.(1位自然数指1～9)     

序方等值分块问题——“数学好玩”一例

最近著名数学家陈省身先生为青少年数学爱好者题词———“数学好玩” .怎样才能体会到数学好玩呢 ?除了联系实际把课本上的数学知识学好用好以外 ,还要不断发掘数学中有趣的题材 ,使其成为动脑筋的数图 1学游戏 .序方和序方分块问题 ,就是这样一种新的有趣的数学问题 .2 0 0 2年澳大利亚数学竞赛有这样的一个问题 :如图 1,将 3阶序方分成了 3块 ,每块数字之和 (该块的值 )都是 15.图 2所谓序方 ,是指形如图2 ,图 3等数字方阵 ,其中正整数是按自然顺序排列的 .一般地 ,ｎ阶序方 ,是将ｎ2 个连续正整数 1,2 ,… ,ｎ2 顺序排成的ｎ行ｎ列数字…     

比较幂大小的常用技巧

近年各地的竞赛中 ,频频出现有关比较幂大小的试题 .这类试题数据大 ,令人望“题”兴叹 .其实 ,我们只要掌握一些常用技巧 ,就可迅速、准确地解答它 .现举例说明之 :一、放缩法例 1　 1 5 1 6 与 3 3 1 3 的大小关系是 1 5 1 63 3 1 3 .(填“ >”、“ <”或“ =”)( 2 0 0 2年“希望杯”初二竞赛题 )解　∵　 3 3 1 3 >3 2 1 3 =( 2 5) 1 3 =2 6 5>2 6 4=( 2 4 ) 1 6 =1 6 1 6 >1 5 1 6 ,∴　填“ <”号 .例 2　设ａ =1 991 ,ｂ =( 999991 ) 1 9,则ａ -ｂ是 (　　 ) .(Ａ)不小于 1的数　 (Ｂ)不大于 -1的数(Ｃ)绝对值大于 0小于 1的数　 (Ｄ…     

代换法的几种策略

在初中数学竞赛中 ,经常用代换法来解答一些问题 .然而 ,运用此法需要注意一些策略 ,才能得心应手 .本文举例介绍如下 ,供读者学习参考 .策略之一　以常数代换代数式在解一些附有一定条件的求代数式值的问题时 ,用常数代换代数式 ,不但使计算简化 ,计算量减少 ,而且可以收到很好的效果 .例 1　若 3ｘ3-ｘ =1,则 9ｘ4 + 12ｘ3-3ｘ2-7ｘ + 2 0 0 1的值等于 (　　 ) .(Ａ) 1999(Ｂ) 2 0 0 1(Ｃ) 2 0 0 3 (Ｄ) 2 0 0 5(2 0 0 1年全国初中数学联赛武汉选拔赛 )解　由题设 ,得 3ｘ3-ｘ -1=0 ,用“0”代换“3ｘ3-ｘ -1” ,则原式 =9ｘ4 -3ｘ2 -3ｘ …     

最大与最小

无论是数学中还是实际生活中 ,经常会遇到一些求最大或最小值的问题 ,请看下面几例 .问题 1　把 16分拆成几个自然数的和 ,要使这些数的乘积最大 ,最大的积是多少 ?分析　 (1)这些自然数中不应有 1,因为有 1时 ,积不会最大 .因此 ,这些自然数仅可能是 2 ,3 ,4,… ,14 .(2 )当这些自然数中出现 5 ,6,… ,14之一时 ,积也不会最大 ,例如 5可进一步分拆成 2+ 3 ,而 5 <2× 3 ,6可进一步分拆成 3 + 3 ,而 6<3× 3 .(3 )积最大时 ,可以不使用自然数 4,因为4=2× 2 ,4=2 + 2 ,即可以将 4改写成两个 2的和 .(4 )积最大时 ,2的个数不能多于 2个 ,因为…     

Cauchy多边形数定理的一个简短证明

本文对下述事实给出一个简单的证明:每个自然数是m+2个m+2边形数之和. 设m≥1,一个m+2边形数是形如 Pm(k)=m/2(k2-k)+k,(k=0,1,2,…)的数.Fermat[3]断言:每一个自然数是m+2个m+2边形数之和.对于m=2,Lagrange[5]证明了每一个自然数是4个平方数P2(k)=k2之和.对于m=1,Gauss [4]证明了每一个自然数是3个三角数P1(k)=1/2(k2+k)之和,或等价的,每一个满足n≡3(mod 8)的正整数n都是3个奇数平方之和,Cauchy[1]对所有的m≥3证明了Fermat的断言,Legendre[6]进一步细化和推广了这一结果.对于m≥3且n≤120m,Pepin [8]给出了将n写成m+2个m+2边形数之和的显示表达的表,其中至少有m-2个取值于0或1.     

我读《问题栏》

结合笔者学习、研究《通报》的“数学问题解答”栏目的体会 ,谈谈对该栏目的一些看法和建议 :1 “数学问题解答”栏目为中学教师进行数学竞赛辅导提供了一批有一定新意和较强针对性的数学问题 .“数学问题解答”栏目每期都给出 5道数学问题 ,并同时给出上期 5道问题的解答 ,这些问题不仅比较新颖 ,而且也基本符合高中数学竞赛的要求 ,具有较强的针对性与实用性 ,因此 ,为从事中学数学竞赛辅导的教师提供了很好的资料 .如《通报》 2 0 0 3年第 9期给出的、由丁勇老师提供的数学问题第 1 4 5 2题与 2 0 0 3年 1 0月份举行的全国高中数学联赛…     

对一个学生的发现的探讨

我班学生刘晋发现了一个自然数的性质 ,举例如下 :92 - 32 =2 (4 5 6 7 8 9)- (9- 3) ,1 32 - 72 =2 (8 9 1 0 1 1 1 2 1 3)- (1 3- 7) ,1 0 0 2 - 572 =2 (58 59 … 1 0 0 )- (1 0 0 - 57) ,上面各等式中 ,前一个小括号内是连续自然数之和且这些自然数正好是等式左边被减数与减数之间的数 ,很明显 :对于 n,m∈ N且 n >m,则有 n2- m2 =2 [(m 1 ) (m 2 ) … n]- (n- m) .我非常惊奇这一发现 ,于是鼓励他继续探讨 ,n3- m3,n4 - m4 ,nk- mk是否也有类似性质 .由于该生没有得到满意结论 ,笔者亲自动手探讨 ,发现确有类似结论 .(1 ) n3…     

组合中的限距问题

以自然数为元素的排列组合中“限距”问题 (对相邻元素之差给定限制条件 )其计算方法比之常见的附加条件问题要困难得多 .它既是数学竞赛中绝好题材 ,也是初数研究中很有价值的课题 .本文对限距组合问题的求解作些探索 .组合中限距问题分三类 :即要求相邻二数之差不小于某数或不大于某数或兼而有之 .第一类以 1989年全国高中联赛一道试题为例 :从 1,2 ,… ,14中由小到大取出 (a1 ,a2 ,a3) ,同时满足 a2 - a1 ≥ 3,a3- a2 ≥ 3,符合要求的不同取法有种 .解　对合要求的一组数 (a1 ,a2 ,a3)作变换 (a′1 ,a′2 ,a′3) ,使 a′1 =a1 ,a′2 =a2 …     

一些特殊数列数字和的计算问题

对任意正整数n,我们定义数列主要目的是利用初等及组合方法研究N~2的数字和的计算问题,并给出一个有趣的计算公式.即就是证明了当n=9k+i时,N~2的数字和为M(N~2)=81k+i~2,其中k为非负整数,1≤i≤9.作为应用,容易回答2012年匈牙利数学竞赛中提出的这样一个问题:问自然数、的表示式中第73项的数字是多少?不难推出的第73项的数字是0,第74项是2,第75项是3等等.     

用二进位制巧解一道竞赛题

题目 :(第四届美国数学邀请赛试题 )递增数列 1 ,3,4 ,9,1 0 ,1 2 ,1 3,…由一些正整数组成 ,它们或者是 3的幂 ,或者是若干个不同的 3的幂之和 ,此数列的第 1 0 0项为(　　 ) .( A) 72 9　 ( B) 972　 ( C) 2 4 3　 ( D) 981解　可把问题看作从 1 ,3,32 ,… ,3n中任取一个或几个的和组成 (不可重复 ) ,即对于任一个 3的幂 ,只存在取与不取两种情况 .∴　可把这种情况看成 1个 2进制数 ,其中 1表示取其对应的 3的幂 ,0表示不取 .∵　这样可把二进制数的大小与这一递增数列一一对应起来 .二进制 110 1110 0 10 1110数　列 134910 12二进制…     

数学竞赛之窗

有关本栏目的稿件 ,请直接寄给熊斌 (2 0 0 0 6 2 ,华东师范大学数学系　E -mail:xiongbin @sh16 3.con) ,或冯志刚 (2 0 0 2 31,上海市上海中学　E -mail:zhgfeng @online .sh .cn) .提供试题及解答请尽量注明出处 .本期给出由上海中学冯志刚提供的 2 0 0 3第 6 4届普特兰大学数学竞赛部分初等数学问题选解 .　　第 6 4届普特兰数学竞赛 (初等部分 )2 0 0 3年 1 2月 6日A1　设n是给定的正整数 .有多少种方式将n表示为下述形式的正整数之和 ?n =a1+a2 +… +ak.其中k为任意正整数 ,且a1≤a2 ≤…≤ak≤a1+1.例如 :当n =4时 ,有 4种表示方式…     

用“最小数原理”证明2~(1/2)是无理数

《中学生数学》2004年3月(上)和2004年8 月(上)分别给出了3~(1/2)是无理数的两种证明,开阔 了同学们的视野．本文用最小数原理证明2~(1/2)是无 理数． “在任何一个自然数集合里．必定存在一个 最小的数．”这就是最小数原理． 下面证明2~(1/2)是无理数． 证明 只须证n·2~(1/2)对任何正整数n都不 是整数． 设S是所有使n·2~(1/2)为整数的正整数n的     

2006年北京市中学生数学竞赛初二试题

二、填空题(满分35分，每小题7分) 1.若连续的5个自然数每一个都是合 数，称为一组“孪生5合数”.那么在不超过 100的自然数中共有“孪生5合数”_ 组. 2.△ABC中，AC=BC，匕ACB=900. D、E是AB上两点，AD一3，BE一4， 艺DCE一45。，则△ABC的面积- 3.某人从住地外出 有两种方案:     

Ramsey数的若干新性质

Ramsey数N(q_1,q_2,…,q_n;t)是组合数学中很有意义的一类数.经过研究,作者得到了以下结果,利用这些结果能导出一些Ramsey数的新下界. 本文所用代表数的符号均表示任意正整数. 定理1 若q_0、q_1、…、qn≥t≥2,则N(q_0+q_1-1,q_2,q_3,…,q_n;t)≥N(q_0.q_2,q_3…,q_n;t)+N(q_1,q_2,…,q_n;t)-1.