等比数列的前n项和在不等式中的应用

｛｝是以ｑ为公比的等比数列，若ｑ≠１则Ｓｎ＝ａ１（１－ｑｎ）１－ｑ＝ａ１１－ｑ－ａ１１－ｑｑｎ，即Ｓｎ是含有以ｑ为底数的指数式的代数式，反之由一个指数式ｑｎ（ｎ∈Ｎ）可联想到可与一个等比数列的和有关．为此我们可应用它来证明不等式，并且还可以把一些不等...     

Jacobi多项式零点为结点的Lagrange插值多项式之逼近

对于可微函数ｆ∈Ｃｑ［－１，１］，本文研究以Ｊａｃｏｂｉ多项式Ｊ（α，β）ｎ（ｘ）的零点为结点组之Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式对ｆ及其导数的同时逼近，证明不等式Ｌ（ｓ）ｎ（ｆ，α，β，ｘ）－ｆ（ｓ）（ｘ）＝Ｏ（１）Δ－ｓｎ（ｘ）Δｑｎ（ｘ）ω（ｆ（ｑ），Δｎ（ｘ））ｌｏｇｎ｛＋（１－ｘ＋ｎ－１）－α－１２ｎ－ｑω（ｆ（ｑ），ｎ－１）｝，在［０，１］上对于ｓ＝０，１，２，…，ｑ一致成立，其中Δｎ（ｘ）＝ｎ－１１－ｘ２＋ｎ－２     

等比数列前n项和公式的七种推导方法

［题目］　在等比数列｛ａｎ｝中,已知首项ａ１和公比ｑ,求前ｎ项和Ｓｎ．［方法１］——先让学生演算Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ４,然后启发学生猜想结论,让学生在探索过程中发现公式,培养学生的探索精神．当ｑ≠１时,Ｓ１＝ａ１＝ａ１（１－ｑ）１－ｑＳ２＝ａ１＋ａ１ｑ＝ａ１（１－ｑ）１－ｑ（１＋ｑ）＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑＳ３＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑ＋ａ１ｑ２（１－ｑ）１－ｑ＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑＳ４＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＋ａ１ｑ３＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑ＋ａ１ｑ３（１－ｑ）１－ｑ＝…     

有限域上一类方程的解数公式

本文给出有限域Ｆｑ上一类方程ａ１ｘ１ｄ１１…ｘｎｄ１ｎ＋ａ２ｘ１ｄ２１…ｘｎｄ２ｎ＋…＋ａｓｘ１ｄｓ１…ｘｎｄｓｎ＝ｂ的解数公式，这里ｄｉｊ＞０，ａｉ∈Ｆｑ，ｉ＝１，…，ｓ，ｊ＝１，…，ｎ．特别当ｓ＝ｎ，ｇｃｄ（｜ｄｉｊ｜，ｑ－１）＝１时，得到了简明的解数公式．     

高阶等比数列的划分

文［１］研究了（一阶）等比数列的高阶等差划分的问题,证明了等比数列的均匀划分仍为等比数列,一阶等差划分为３阶等比数列,并猜想ｋ阶等差划分为２ｋ＋１阶等比数列．本文证明：定理　ｓ阶等比数列的ｔ阶等差划分数列为ｓｔ＋ｓ＋ｔ阶等比数列．为了阅读方便,我们先简述一下有关概念．设｛ａｎ｝＝｛ａ（０）ｎ｝为任一数列（ａｎ≠０）．记ａ（１）ｎ＝ａ（０）ｎａ（０）ｎ＋１,…,ａ（ｓ）ｎ＝ａ（ｓ－１）ｎ＋１ａ（ｓ－１）ｎ,则｛ａ（ｓ）ｎ｝称为｛ａｎ｝的ｓ阶商数列．若ａ（ｓ）ｎ＝ｑ（非１常数）,对ｎ∈Ｎ均成立,则｛…     

1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

对一道高考试题的一点看法

对一道高考试题的一点看法４３００６２湖北大学数学系严启平１９９６年高考数学（文史类）试题第２１题及参考解答如下：设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓ３＋Ｓ６＝２Ｓ９，求数列的公比ｑ．解若ｑ＝ｌ，则有Ｓ３＝３ａ１，Ｓ６＝６ａ１，Ｓ９＝９ａ１．但ａ１...     

等比数列的一个性质

设｛ａｎ｝是以ｑ为公比的等比数列,其前ｎ项和为Ｓｎ,若１≤ｍ＜ｎ,则易知　Ｓｎ＝Ｓｍ＋ｑｍＳｎ－ｍ．（１）特别地,当ｍ＝１而ｎ＞１时,有　　　　　Ｓｎ＝ａ１＋ｑＳｎ－１．（２）这是等比数列的一个简单性质,容易推出其逆命题也成立．下面举两例说明（１）和（２）的应用．例１　设｛ａｎ｝为等比数列,公比为ｑ,前ｎ项和为Ｓｎ．（Ⅰ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ（常数）,则对任何ｉ＝１,２,…,２ｍ,有｜Ｓｉ｜≤（１＋｜ｑ｜ｍ）Ｍ．（Ⅱ）若对任何ｉ＝１,２,…,ｍ,有｜Ｓｉ｜≤Ｍ且｜ｑ｜＜１,…     

一类具有双重奇性的抛物型方程的整体解和有限熄灭

本文讨论具有双重奇性的抛物型方程ｕｔ＝ ｄｉｖ（｜△ｕ~ａ｜ｐ~－２△ｕ~ａ）,（ｘ,ｔ） ∈ Ｒ~ｎ ×（０,∞）,其中Ｐ＞ １,ａ＞ ０,ｎ≤ ２．证明当１＜ Ｐ＜ｎ（ａ＋１）／（ａｎ＋１）时,存在整体自相似解ｕｇｓ（·,ｔ） ∈ Ｌ~ｑ（Ｒ~ｎ）（ｑ＞ｓ＝~△ｎ［１－ａ（ｐ－１）］／ｐ）,但是ｕｇｓ∈~／Ｌ~ｓ（Ｒ~ｎ）（定理２．１）;同时存在有限熄灭的自相似解ｕｌｓ满足相同的积分条件（定理 ３．１）．     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０４６求所有这样的△ＡＢＣ，它的三个边长ａ，ｂ，ｃ与面积Ｓ的数值恰好组成一组从小到大排列的连续自然数．解不妨设ａ＝ｎ－１，ｂ＝ｎ，ｃ＝ｎ＋１，ｓ＝ｎ＋２，这里ｎ＞１，ｎ∈Ｎ．将ａ，ｂ，ｃ...     

也谈实二次域类数的可除性

设ｄ无平方因子，ｈ（ｄ）是二次域Ｑ（ｄ）的类数，本文证明了：若１＋４ｋ２ｎ＝ｄａ２，ａ，ｋ＞１，ｎ＞２为正整数，且ａ＜０．９ｋ３５ｎ或ｎ的奇素因子ｐ和ｋ的素因子ｑ均适合（ｐ，ｑ－１）＝１，则除（ａ，ｄ，ｋ，ｎ）＝（５，４１，２，４）以外，ｈ（ｄ）≡０（ｍｏｄｎ）．同时，我们猜测：上述结果中的条件（ｐ，ｑ－１）＝１是不必要的．     

亚纯函数的幅角分布及其增长性

本文考虑了亚纯函数的幅角分布及其增长性的关系，得到了如下定理：设ｆ（ｚ）为亚纯函数，下级μ（μ〈＋∞，ａｒｇｚ＝θｋ（ｋ＝１，２，…，ｑ；０≤θ１〈θ２〈…〈θｑ〈２π，θｑ＋１＝θ１＋２π）为ｑ（１≤ｑ〈＋∞）条半直线使对Ａ↓ε〉０有：ｌｉｍｒ→∞↑－ｌｏｇ＋ｎ↑－（∪ｋ＝１↑ｑΩ↑－（θｋ＋ε，θｋ＋１－ε；ｒ），ｆ＝ｘ）／ｌｏｇｒ≤ρ〈＋∞ ｘ＝０，∞则当存在一非负整数ｌ使ｆ＾（ｌ）（ｚ）（     

On the Moments of S_ny/(nφ(n))~(1/p) in p-type Space

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎ１９６７，Ｔｅｉｃｈｅｒｐｒｏｖｅｄｔｈａｔ［１］Ｅ（Ｓｕｐｎ｜Ｓｎ｜ｎＬ２ｎ）ｐ＜＋∞，　ｉｆｆＥＸ２ｌｏｇ＋｜Ｘ｜Ｌ２｜Ｘ｜＜＋∞，ｐ＝２Ｅ｜Ｘ｜ｐ＜＋∞，ｐ＞２　　　　．　Ｗｈｅｒｅ｛Ｘ，Ｘｎ，ｎ≥１｝ｉｓａｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｉ．ｉ．ｄｒｅａｌｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓｗｉｔｈｍｅａｎｓｚｅｒｏ．Ｉｎ１９９５，Ｔｈｅｓｉｍｉｌａｒｒｅｓｕｌｔｓｈａｖｅｂｅｅｎｓｅｔｕｐｆｏｒｉ．ｉ．ｄｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓ｛Ｘ，Ｘｎｎ≥１｝ｗｉｔｈｍｅａｎ…     

一个素变数的Diophantine不等式

设１＜Ｃ＜１３／１２．本文证明了存在Ｎ（Ｃ）＞０使得对任意实数Ｎ＞Ｎ（Ｃ），下面的不等式｜＋＋　－Ｎ｜＜Ｎ－　　　　）ｌｏｇｓＮ有素数解ｐ１，ｐ２，ｐ３，其中ｓ＝２（１５）．     

最佳L2局部逼近存在唯一的充分必要条件

本文给出了最佳Ｌ２局部逼近的存在唯一性定理，设ｆ∈Ｌ２（０，δ），Ｓｎ＝ｓｐａｎ（ｕ０，ｕ１，．．．Ｕｎ－１）Ｃ＾ｎ－１（０，δ），且ｄｅｔＷｎ（ｕ０，ｕ１，．．．ｕｎ－１；０）≠０，那么，当ｘ→０时，网（Ｐｘ（ｆ，Ｓｎ）收敛于Ｓｎ中某元素Ｐ０（ｆ，Ｓｎ）的充要条件为：ｆ＝Ｐｎ－１＋ｈ，其中Ｐｎ－１（ｔ）＝ｎ－１∑ｉ＝１ａｉｔｉ（ｈ，１）ｘ＝０（Ｘ＾ｎ），ｘ→０，且Ｐ０（ｆ，Ｓｎ）＝ＵＷ＾－１ｎＡ     

1996年普通高等学校招生全国统一考试试题

１９９６年普通高等学校招生全国统一考试试题数学（理工农医类）１选择题（第１－１０题每小题４分，第１１－１５题每小题５分，共６５分）（１）已知全集Ｉ＝Ｎ，集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｎ，ｎ∈Ｎ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝４ｎ，ｎ∈Ｎ｝．则（２）当ａ＞１时，在同一坐标系中...     

关于函数y=asec~tx-btg~tx的最值

关于函数ｙ＝ａｓｅｃｔｘ－ｂｔｇｔｘ的最值黄俊明（贵州省黔东南州民族林校５５６０００）关于函数ｙ＝ａｓｅｃｔｘ－ｂｔｇｔｘ（ａ，ｂ＞０，ｘ∈（０，π／２），ｔ为常数）的最值，文［１］用与［２］定理对偶的一个不等式，研讨了ｔ＝－ｎ（ｎ∈Ｎ），ｎ（ｎ≥３...     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

The Structure and Stabilization Decom position of Linear Interconnected ControlSystem swith Multidelays

§１．　ＴｈｅＥｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｏｆＬｙａｐｕｎｏｖｓＲａｎｇｅｏｆｔｈｅＩｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｅｄＳｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎＮｅｗ，ｌｅｔｕｓｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｌｉｎｅａｒｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｅｄｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｘｉ（ｔ）＝∑ｎｊ＝１ａｉｊｘｊ（ｔ）＋∑ｍｊ＝１ｂｉｊｕｊ（ｔ）＋∑Ｎ１ｒ＝１∑ｎｊ＝１ａ（ｒ）１ｉｊｅ（ｒ）１ｉｊｘｊ（ｔ）　　　　　　　　　　＋∑Ｎ２ｓ＝１∑ｎｊ＝１ａ（ｓ）２ｉｊｅ（ｓ）２ｉｊｘｊ（ｔ－ｒ（ｓ）１ｉｊ）＋∑Ｎ２ｄ＝１∑…