两道著名不等式等价性证明的启示

贵刊文［１］通过构造恒等式　　ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ－ａ＋ｂ＋ｃ２　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ－３２）巧妙地证明了著名不等式（１）、（２）的等价性：命题１　（１９６３年莫斯科竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：　ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．（１）命题２　（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（２）受其启发,我们可得更为一般的结论：设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ,则　ａｎｂ＋ｃ＋ｂｎｃ＋ａ＋ｃ…     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

用比较法证明一类不等式

近年来,中学数学刊物和数学竞赛题中经常出现大量新颖的三元对称分式不等式．其证明方法也较独特巧妙,如利用均值不等式、柯西不等式、排序原理等．它们一般不易被中学生想到或接受．为此,笔者在教学中向学生介绍了证明不等式的原始方法——作差比较法,结合恒等变形,构造完全平方式,学生反应此方法简单易行．下面列举数例,供同行教学时参考．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋．求证：ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．证明　左边－右边＝２ａ－ｂ－ｃ２（ｂ＋ｃ）＋２ｂ－ｃ－ａ２（ｃ＋ａ）＋２ｃ－ａ－ｂ２（ａ＋ｂ）＝ａ－ｂ＋ａ－ｃ…     

三道国际竞赛题间的关系

三道国际竞赛题间的关系６２８４００四川苍溪中学李发武命题１（第６届国际竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ为某一三角形的三条边长，求证：命题２（８３年瑞士数学奥林匹克试题）设ａ、ｂ、ｃ为正数，求证：命题３（第２５届国际竞赛题）设Ｚ、ｙ、Ｚ为非负实数，且ｘ十ｙ＋ｚ＝１...     

一组重要不等式的次数特征及应用

高中教材上有这么一组重要的不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ）,ａ＋ｂ２≥ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ＋）,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）,ａ＋ｂ＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）．我们对这组不等式的次数作如下分析：当我们把ａ,ｂ,ｃ都看成变量时,上述不等式左右两边的次数相同;当我们把ａ看成变量,而把ｂ,ｃ看作常数时,则上述不等式左右两边的次数不同．基于这些认识,当我们在证明某些左右次数不同的不等式时,可采用如下对策．１．同次转化：利用已知条件,将待证的不等式转化为左右同次式,再来求证…     

纠正一道例题的推广的错误

现行高中代数（下）课本在不等式一章中有这样的一道例题：设ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，求证ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．文［１］中作出如下的推广：命题１若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ，ｎ∈Ｎ，则ａｍ＋ｎ＋ｂｍ＋ｎ＞ａｍｂｎ＋ａｎｂｍ命题２若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ...     

数学问题解答

１９９９年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１７１已知：ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,且ａｂｃ≤１．求证：ａ＋ｂｃ＋ｂ＋ｃａ＋ｃ＋ａｂ≥２（ａ＋ｂ＋ｃ）（１）证明（ｉ）当ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ时,ａ＋ｂｃ＋ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（１ｃ＋１）≥（ａ＋ｂ）（...     

构造二项平方和函数证不等式

对于某些不等式证明题,我们若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数：ｆ（ｘ）＝（ａ１ｘ－ｂ１）２＋（ａ２ｘ－ｂ２）２＋…＋（ａｎｘ－ｂｎ）２,由ｆ（ｘ）≥０,得Δ≤０,就可以使一些用一般方法处理较繁的问题,获得简捷、明快的证明．例１　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（第二届“友谊杯”国际数学邀请赛题）证　构造函数ｆ（ｘ）＝（ａｂ＋ｃｘ－ｂ＋ｃ）２＋（ｂｃ＋ａｘ－ｃ＋ａ）２＋（ｃａ＋ｂｘ－ａ＋ｂ）２＝（ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋…     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

谈谈“倒数变换”的一个有趣作用

有些不等式证明题,当直接证较困难时,可试着对其变量作“倒数变换”,看新命题是否易证．用此法常可使一些不等式证得自然、简捷．下面举例说明．例１已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２＋ａ２ｂ２ａ＋ｂ＋ｃ≥ａｂｃ这是高中代数下册中的一个习题,它是和均...     

也谈两个不等式的统一

《数学通报》１９９７年第１０期，给出了《数学通报》１９９６年第５期第１０１３题：“设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且ａｂｃ＝１，试证：１ａ３（ｂ＋ｃ）＋１ｂ３（ｃ＋ａ）＋１ｃ３（ａ＋ｂ）≥３２以及《数学通报》１９９７年第２期第１０５８题：在上题同样的条件下试证：...     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

一个不等式的几何意义

一个不等式的几何意义李长明（贵州教育学院５５０００３）设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，则有ａ２＋ａｂ＋ｂ２＋ｂ２＋ｂｃ＋ｃ２＋ｃ２＋ｃａ＋ａ２≥３（ａ＋ｂ＋ｃ）．这是文［１］中，用构造三角形法证代数不等式的一例．它与文［２］的思路一样．但文［２］只用了“三角形内...     

分子有理化在差比法证明不等式中的应用

正如文［１］所述,作差比较法是证明不等式和比较两个实数大小的通法,证明过程的关键是变形,变形的技巧主要是分解因式、配方;本文介绍另一种常用技巧——分子有理化．下面结合文［１］的例子说明．例１设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２＋ｂ２＋ｃ２３≥ａ＋ｂ＋ｃ３．...     

一道夏令营选拔赛试题推广的加强与再推广

１９９２年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ．求证：２ａ２＋ｂ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｃ２＋ａ２ａ＋ｂ＋ｃ＜３（１）文［１］将其推广为：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ，λ∈［－２，２］，则２＋λ１ａ＋ｂ＋ｃ（ａ２＋λａｂ＋ｂ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）９４６设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，试证：证明令ａ＝ｂ＋ａ，ｂ＝ｃ＋β，ｃ＝ａ＋γ，则α＋β＋γ＝０，于是故．９４７对自然数ｎ，求证证明令，则９４８一个三位数去掉中间一位数，就变成两位数，如３６２去掉...     

一道课本不等式的加强及推广

一道课本不等式的加强及推广魏华（成都七中６１００１５）现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）．笔者发现：可将此不等式加强和推广为如下命题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０...     

构造二次函数证明不等式举例

我在教学中发现：对有些不等式的证明,可根据不等式的特点,用构造二次函数的方法加以解决;本文结合具体例子,谈谈怎样构造二次函数证明不等式;１　确定主元构造例１　设ａ、ｂ都是实数,求证：ａ２＋ｂ２≥ａ＋ｂ＋ａｂ－１．分析　求证结论是二元二次对称不等式,可以ａ（或ｂ）为主元构造二次函数;证明　设ｆ（ａ）＝ａ２－（ｂ＋１）ａ＋ｂ２－ｂ＋１．因二次项系数大于零,且Δ＝〔－（ｂ＋１）〕２－４（ｂ２－ｂ＋１）＝－３（ｂ－１）２≤０故ｆ（ａ）≥０,即ａ２＋ｂ２≥ａ＋ｂ＋ａｂ－１．２　根据判别式构造例２　设实数ａ…     

巧证定理:a~3 b~3 c~3≥3abc(a,b,c∈R~ )

介绍一种定理证明的较简单的方法：∵ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋∴（ａ３＋ｂ３）＋（ｃ３＋ａｂｃ）≥２ａ３ｂ３＋２ａｂｃ４≥２·２ａ３ｂ３·ａｂｃ４＝４ａｂｃ∴ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ并且仅当ａ３＝ｂ３，ｃ３＝ａｂｃ，且ａ３ｂ３＝ａｂｃ４ａ＝ｂ＝ｃ时，上式才取等...