一个不等式的几何意义

一个不等式的几何意义李长明（贵州教育学院５５０００３）设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，则有ａ２＋ａｂ＋ｂ２＋ｂ２＋ｂｃ＋ｃ２＋ｃ２＋ｃａ＋ａ２≥３（ａ＋ｂ＋ｃ）．这是文［１］中，用构造三角形法证代数不等式的一例．它与文［２］的思路一样．但文［２］只用了“三角形内...     

Whc134的解决

文［１］中提出的第１３４个问题是：当ｋ取某个大于１的值时,是否存在某类三角形,使　ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３△＋ｋ［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］（１）仍成立？ｋ取任何正值都有相应的三角形使不等式成立吗？事实上,当ｋ≥３时,由ａ２＋ｂ２＋ｃ２≤４３△＋３［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］知除正三角形外,不存在任何别的三角形使（１）式成立;图１当１＜ｋ＜３时,除正三角形外,还存在等腰三角形和不等边三角形使（１）式成立．下面我们证明这个结论．证明　对任意△ＡＢＣ,以它的一条中线ＡＤ…     

一道夏令营选拔赛试题推广的加强与再推广

１９９２年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ．求证：２ａ２＋ｂ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｃ２＋ａ２ａ＋ｂ＋ｃ＜３（１）文［１］将其推广为：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ，λ∈［－２，２］，则２＋λ１ａ＋ｂ＋ｃ（ａ２＋λａｂ＋ｂ...     

一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

几个常见不等式的加强

几个常见不等式的加强２１００４４江苏南京市大厂中学汪杰良文［１］、［２］分别对基本不等式给出了如下加强：定理１若ａ、ｂＥＲ，０＜Ａ＜１，则ａ’＋ｂ’＞Ｚａｂ＋Ａ（ａ—ｂ）’．定理２若ａ、ｂ、ｃＥＲ－，０＜入运１（ｉ一１，２，３），则ａ‘＋ｂ‘＋ｃ‘＞...     

一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

一条件恒等式证明之我见

一条件恒等式证明之我见徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）考察这样的问题：已知ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ，求证ａ（１－ｂ２）（１－ｃ２）＋ｂ（１－ｃ２）（１－ａ２）＋ｃ（１－ａ２）（１－ｂ２）＝４ａｂｃ．徐南昌在［１］中用数学审美的目光发现了下面的“证法”：...     

一道USAMO赛题的别证及引伸

１９９７年第２６届美国数学奥林匹克试题５：证明对所有正实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ３＋ｂ３＋ａｂｃ）－１＋（ｂ３＋ｃ３＋ａｂｃ）－１＋（ｃ３＋ａ３＋ａｂｃ）－１≤（ａｂｃ）－１．（１）文［１］给出了该命题的简证．其实,该命题还可简证如下：证明由ａ＋ｂ＞０及...     

一道IMO数论试题的实多项式模拟

１９８８年,联邦德国为第２９届ＩＭＯ提供了下面这道有名的数论试题：已知正整数ａ与ｂ,使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,求证ａ２＋ｂ２ａｂ＋１是某个正整数的平方．在［１］里,我们证明了如下的精确结果：若正整数ａ与ｂ使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,则必有ａ２＋ｂ２ａｂ＋１＝（ａ,ｂ）２,这里（ａ,ｂ）是ａ和ｂ的最大公约数．在［２］里,我们把这个结果进一步地推广为如下形式：如果ａ、ｂ、ｃ都是正整数,使得０＜ａ２＋ｂ２－ａｂｃ≤ｃ＋１,那么ａ２＋ｂ２－ａｂｃ＝（ａ,ｂ）２,其中（ａ,ｂ）为ａ和ｂ的最大公约数．在…     

关于三角形边长的几个不等式

涉及三角形常见几何元素的不等式,一般都可化为关于边长ａ、ｂ、ｃ的不等式　ｆ（ａ,ｂ,ｃ）≥０．（）关于三角形边长的不等式是三角形不等式中最基本、最常见的．本文将建立仅含三角形边长的若干不等式．以“∑”表示循环和,以ｆ（１,１,１）、ｆ（０,１,１）及ｆ（２,１,１）分别表示正三角形及两种退化三角形．另外文中省略诸不等式等号成立条件的讨论．以下的证明均采用比较法．文［１］中,我们证明了在锐角三角形中有　　∑１（ｂ＋ｃ）（ｂ２＋ｃ２）≤３４ａｂｃ．（１）从文［１］中的证明过程中可看出,三角形中的最…     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１０１设ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ是正整数，且ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄ＜ｅ，［ｍ，ｎ］是ｍ与ｎ的最小公倍数．求：１［ａ，ｂ］＋１［ｂ，ｃ］＋１［ｃ，ｄ］＋１［ｄ，ｅ］的最大值．解设Ｓ＝１［ａ，ｂ］＋１［ｂ...     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

关于一个不等式的隔离

关于一个不等式的隔离姜卫东华云（黑龙江省农业经济学校１５７０４１）《数学通报》１９９７年第１期文［１］给出如下一个不等式：设△ＡＢＣ的边长为ａ，ｂ，ｃ，傍切圆半径为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，则有ｂｃｒ２ａ＋ｃａｒ２ｂ＋ａｂｒ２ｃａ２ｒｂｒｃ＋ｂ２ｒｃｒａ＋...     

一道分式不等式的进一步改进及简证

文［１］、［２］、［３］分别对下面的不等式进行了证明和改进．本文将作进一步的改进,并给出一个相当简洁的证明．设ｘｉ∈（０,１）,ｉ＝１,２,…,ｎ,且∑ｎｉ＝１ｘｉ＝ａ,∑ｎｉ＝１ｘ２ｉ＝ｂ,求证：∑ｎｉ＝１ｘ３ｉ１－ｘｉ≥ａ２＋ａｂ－ｎｂｎ－ａ．改...     

关于Klippert的一个猜测

本文证明文［２］中的猜测不成立设ｆ为区间［０，１］上实值函数，满足条件（ａ）ｆ在［０，１］上有界，（ｂ）ｆ在［０，１］上连续，（ｃ）ｆ（ｘ）不存在，试问是否存在？１９８２年Ｓ．Ｒｉｃｃｉ［１］给出Ｆ′＋（０）存在的例子：最近Ｊ．ｋｌｉｐｐｅｒｔ［２］给出Ｆ′＋（０）不存在的例子：Ｊ．ｋｌｉｐｐｅｒｔ提出如下猜测：如果ｆ满足（ａ）－（ｃ）并且ｆ的相邻零点之间距离依，α＞１，趋近于零，则Ｆ′＋（０）＝０，我们证明上述猜测不真，此外，我们给出Ｆ′＋（０），存在的一个充分条件。     

关于三角形中线的一组不等式

笔者在文［１］中曾经介绍过一个关于中线的不等式,即命题在△ＡＢＣ中,三边长及面积分别为ａ、ｂ、ｃ及△,ｍａ、ｍｂ、ｍｃ为三边上的中线,则ａｂｃｍａｍｂｍｃ≥１２△（ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２＋ａ２ｂ２）（１）当且仅当△ＡＢＣ为等腰三角形时,（１）式取等号．最...     

两道著名不等式等价性证明的启示

贵刊文［１］通过构造恒等式　　ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ－ａ＋ｂ＋ｃ２　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ－３２）巧妙地证明了著名不等式（１）、（２）的等价性：命题１　（１９６３年莫斯科竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：　ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．（１）命题２　（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（２）受其启发,我们可得更为一般的结论：设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ,则　ａｎｂ＋ｃ＋ｂｎｃ＋ａ＋ｃ…     

Fermat极值的代数证明

Ｆｅｒｍａｔ极值的代数证明简超（武汉铁路成人中专４３００１２）设△ＡＢＣ的每个内角均小于１２０°，点Ｆ为其Ｆｅｒｍａｔ点，记Ｌ＝ＦＡ＋ＦＢ＋ＦＣ，文［１］［２］用不同的方法推得一个早年得到的公式（见［３］的１２．５５）：Ｌ＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）＋...     

关于《一道课本不等式的加强及推广》的补充

现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题是已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）《数学通报》１９９７年第１２期刊登了魏华先生对此不等式的加强及指数推广（即文［１］），受其启发，本文再介绍此不等式的...