关于抛物线的两个命题的推广

许多资料证明了下列两个命题 :命题 1　过原点Ｏ引抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的两条互相垂直的弦ＯＰ、ＯＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ,Ｏ)命题 2　设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )和原点Ｏ ,过定点Ｍ(2ｐ,Ｏ)的动直线ｌ与抛物线相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则∠ＰＯＱ恒为直角 .本文对这两个命题做一推广 .命题 1的推广　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上的定点Ａ(ａ ,ｂ)引抛物线的两条互相垂直的弦ＡＰ、ＡＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ａ ,-ｂ) .证明　设Ｐ ｙ21 2ｐ,ｙ1 、Ｑ ｙ222ｐ,ｙ2 (ｙ1 ≠ｙ2 ) ,则直线ＰＱ的方程为(ｙ-ｙ1 ) ｙ222ｐ- ｙ21 2ｐ …     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

圆锥曲线一个几何性质的补充

本刊文 [1 ]将文 [2 ]的关于抛物线的一个几何性质推广到了椭圆及双曲线中 ,几个结论综合起来是与圆锥曲线对称轴有关的一个性质 .但文[1 ]中所述的性质只涉及到曲线焦点所在的对称轴 ,而遗漏了另一对称轴的情形 .另外 ,这个性质对圆也是成立的 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再给出以下三个结论 .定理 1　设Ａ是以Ｏ为圆心、Ｒ为半径的圆内异于Ｏ的任意一点 ,Ｂ是ＯＡ延长线上的一点 ,且｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜=Ｒ2 ,(1 )若过Ａ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＡＢ+∠…     

圆锥曲线焦半径的一个性质

定理 1　Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明　①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ :　　ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ :　　ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ…     

圆锥曲线的又一个有趣性质

笔者近日在对圆锥曲线内点性质研究时 ,发现了圆锥曲线内点的一个新颖有趣的性质 .图 1性质 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆Ｅ内部一定点 (异于Ｅ的中心Ｏ) ,过点Ｐ引直线ｌ交椭圆Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、ＯＢ为邻边作平行四边形 (当Ａ、Ｏ、Ｂ三点共线时 ,可视为退化情形 ,下同)ＯＡＱＢ ,则点Ｑ的轨迹是以Ｐ为中心且与椭圆Ｅ有相同离心率的椭圆Ｅ′(当原曲线为圆时 ,点Ｑ轨迹是圆 ) ,同时椭圆Ｅ′过Ｅ的中心 .图 2性质 2　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线Ｅ内部 (含焦点的区域 )一定点 ,Ｅ的中心为Ｏ .过Ｐ引直线ｌ交双曲线Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、…     

二次曲线——几何性质的本质

文 [1 ]分别表述了抛物线 ,椭圆 ,双曲线的一个几何性质 ,但其表述不够完整 ,未能揭示出本质 .事实上 ,其本质 ,应是二次曲线对称轴上的两个调和共轭点的几何性质 ,因此 ,应将文 [1 ]的结论推广 ,并统一地表述为定理　设Ａ、Ｂ是非退化二次曲线Γ的一条对称轴ｌ上的两个点 (不在Γ上 ) ,并设过Ａ点引直线与Γ相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则 (1 )当Ａ在Ｐ、Ｑ之间时 ,等式∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ恒成立的充分必要条件是Ａ与Ｂ关于Γ调和共轭 (即Ｂ关于Γ的极线过Ａ) ;(2 )当Ａ在Ｐ、Ｑ之外时 ,等式∠ＰＢＡ +∠ＱＢＡ=1 80°恒成立的充分必要条件是Ａ与Ｂ…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

错在哪里

学生王灵在做高考仿真模拟训练题时 ,遇到这样一道题 .题目　如图 1 ,已知双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2=1 (ｂ >ａ >0 )的实轴两端点为Ａ ,Ｂ ,若双曲线Ｃ在第一象限图象上存在一点Ｑ (ｘ ,ｙ) ( ｙ≥ｘ) ,使∠ＡＱＢ =6 0° ,求双曲线Ｃ的离心率ｅ的取值范围 .通过分析 ,他给出如下解法 .图 1　题目用图解　由题意知Ａ( -ａ ,0 ) ,Ｂ(ａ ,0 ) .∴ｋＡＱ=ｙｘ +ａ,　ｋＢＱ=ｙｘ -ａ.　ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｋＢＱ-ｋＡＱ1 +ｋＢＱ·ｋＡＱ.又ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｔａｎ6 0°=3,∴ 3=ｙｘ -ａ- ｙｘ +ａ1 + ｙｘ -ａ· ｙｘ +ａ,化简得 3=2ａｙｘ2 + …     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

一道课本习题的引申

高级中学课本《平面解析几何》（必修）Ｐ９９上有这样一道习题：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于Ｍ;求证：直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴;由抛物线我们联想到椭圆,若将以上命题引申到椭圆会有怎样的结论？经过探讨,发现有如下性质;定理１　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和椭圆长轴上一个顶点的直线交距点Ｆ较近的准线于Ｍ,则直线ＭＱ通过长轴上的另一个顶点;ｘ２ＡＯＦＰ１ＡＱｙｌＭ证明　设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）,焦点Ｆ（－ｃ…     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

有关椭圆的四个性质

文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1　设Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ20 + ｙ20 ≠ 0 )是椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )内一点 ,则过点Ｐ0 的弦中 ,有且仅有一条以Ｐ0 为中点 .证　设过Ｐ0 的直线的参数方程为ｌ2 :ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα (α为倾角 ,ｔ为参数 ) ,代入 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 α +ｂ2 ｃｏｓ2 α )ｔ2 + (2ａ2 ｙ0 ｓｉｎα +2ｂ2 ｘ0 ｃｏｓα)ｔ+ａ2 ｙ20 +ｂ2 ｘ20 -ａ2 ｂ2 =0 .若直线ｌ2 截椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2…     

关于圆锥曲线的切线性质的一组定理

本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1　椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2　抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1　过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明　 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,ａ、ｂ ∈Ｒ+,Ｐ为双曲线上任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,Ｆ1、Ｆ2 为两焦点 ,Ｆ1Ａ⊥ｌ于Ａ ,Ｆ2 Ｂ⊥ｌ于Ｂ ,由引理 1可知 ,∠…     

2000年高考试题评析及部分试题解答

1 .部分试题选解1.1　 (理 11)过抛物线 ｙ =ａｘ2 (ａ >0 )的焦点Ｆ作一直线交抛物线于Ｐ、Ｑ两点 ,若线段ＰＦ与ＦＱ的长分别为 ｐ ,ｑ,则 1ｐ 1ｑ等于 (　　 )(Ａ) 4ａ.　 (Ｂ) 12ａ.　 (Ｃ) 2ａ .　 (Ｄ) 4ａ.解　 [方法 1](特例法 )由 ｙ =ａｘ2 得ｘ2 =1ａｙ,于是抛物线的焦点为Ｆ( 0 ,14ａ) ,取过点Ｆ且平行于ｘ轴的直线ｙ =14ａ,与抛物线交于Ｐ、Ｑ两点 ,根据抛物线的对称性得 |ＰＦ|=|ＱＦ|,即 ｐ =ｑ,且 2 ｐ为抛物线的通径 1ａ,故 1ｐ 1ｑ=2ｐ=42 ｐ=41ａ=4ａ.[方法 2 ](利用直线的斜截式方程 )抛物线的焦点为Ｆ( 0 ,14ａ) ,由题…     

圆锥曲线动弦的一个性质

定理 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上一定点 ,ＰＡ ,ＰＢ为抛物线的任意两条弦 ,α1,α2 ,分别是ＰＡ ,ＰＢ的倾斜角 ,则(ⅰ )当ｔａｎα1·ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点 ;(ⅱ )当ｔａｎα1+ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 ;(ⅲ )当α1+α2 =定值θ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 .证明　设ＰＡ方程为ｘ=ｍ1ｙ+ｎ1,则ｎ1=ｘ0 -ｍ1ｙ0 ,将ＰＡ方程代入ｙ2 =2ｐｘ得ｙ2 -2ｐｍ1ｙ-2ｐｎ1=0设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ1=2ｐｍ21-2ｍ1ｙ0 +ｘ0ｙ1=2ｐｍ1-ｙ0 　　　　　①同理　　设ＰＢ方程为…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

关于"圆锥曲线的一类定值问题"的再探讨

文 [1 ]证明了如下三个结论 :结论 1　已知抛物线ｘ2 =-2ｐ(ｙ-ｂ)上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与抛物线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｘ0Ｐ.结论 2　已知椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与椭圆交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｂ2 ｘ0ａ2 ｙ0.结论 3　已知双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与双曲线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值 -ｂ2 …     

圆锥曲线的定点弦性质

文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,则直线ＰＱ必过定点Ｍ′(ｘ0 +2ｐ ,-ｙ0 ) ;命题 2　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ ,ＭＱ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｙ0 ;命题 3　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,若ａ≠ｂ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｙ0 ;若ａ =ｂ ,…