用函数观点证明等差数列中两个结论

等差数列是中学教材中出现的两种特殊的数列之一,其中有两个重要的结论:(1)已知{an}成等差数列,当am=n,an=m时,则有am+n=0;(2)已知{an}成等差数列,当sm=n,Sn=m时,则有Sm+n=-(m+n).对于上述两个重要的结论,可用列方程来证明,运算过程较烦,若用函数的观点分析证     

基于广义最大熵的具有模糊输入输出的回归模型的参数估计

模糊回归是在模糊系统中建立因变量与一组自变量之间关系的重要工具,以评估模糊自变量如何影响模糊响应变量的过程。当系统中出现小样本或者非列满秩设计矩阵时,模糊最小二乘法可能得出偏误估计。本文基于文献[13]中的多元线性回归模型,利用广义最大熵方法,针对模糊输入模糊输出数据,给出线性回归模型的参数估计和算法步骤。当输入或输出数据退化为清晰值时,该估计退化为清晰输入模糊输出或者模糊输入清晰输出的回归模型参数估计。本文结合模拟数据和实例数据,将广义最大熵方法与模糊最小二乘方法、岭估计方法进行比较研究,结果显示广义最大熵方法的可行性和有效性。     

项目选优排序的数据包络分析法

<正> 经济活动当中,往往需要对若干个备选工程项目进行规模有效性与技术有效性评价,进而择优投资。当输入值与输出值能换算为同一货币单位与实物单位,输出为单一观察值时,这个问题可用常规的统计方法来处理。当问题的输入、输出包括无形指标,输出为多种观察值时,只好借助于数据包络分析法来解决。数据包络分析是根据一组关于输入一输出韵观察值来估计有效生产前沿面。这里所说的生产前沿面,实际上是指由观察到的有限多个决策单元的活动信息所得到的经验生产前沿     

双输入-单输出CRI模糊推理方法的还原性

为了深入研究模糊推理的性质,本文研究了双输入-单输出CRI模糊推理方法的还原性.指出:(1)对"∨-∧"合成来说,当模糊蕴涵取为Mamdani和Gdel蕴涵时,双输入-单输出模糊推理具有P_0-还原性;(2)对"∨-∧"合成来说,当模糊蕴涵取为R_0-蕴涵,Zadeh蕴涵和Kleene-Dienes蕴涵时,双输入-单输出模糊推理具有P_1-还原性;(3)对"∨-T"合成来说,当T(a+b)=(a+b-1)∨0,模糊蕴涵为Zadeh蕴涵,Kleene-Dienes蕴涵,Gdel蕴涵,R0蕴涵和Lukasiewicz蕴涵时,双输入-单输出模糊推理具有P_0-还原性.     

等差数列的等比累进和

设公差为d的等差数列{an}的前k1,k2,…,kn项的和,依次为Sk1,Sk2,…,Skn.当k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列时,则称Sk1 Sk2 … Skn为等差数列的等比累进和,并记为SSn.若令m=k1(1-qn)1-q,m′=k1(1 qn)1 q,则有如下的定理SSn=ma1 12m(m′-1)d.证∵公差为d的等差数列{an}的前ki项和为Ski=kia1 12ki(ki-1)d=12(2a1-d)ki 12dki2,令i=1,2,…,n,得n个等式,把这n个等式的两边分别相加,并整理得SSn=Sk1 Sk2 … Skn=12(2a1-d)(k1 k2 … kn) 12d(k12 k22 … kn2).由k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列,可知k12,k22,…,kn2是公比为q2…     

高阶等差数列的一个性质

定理1如果数列{an}是m阶等差数列,那么必有恒等式∑m 1i=0(-1)iCim 1an i=0(1)成立.证对数列{an}的阶数m作数学归纳法.当m=1时,数列{an}是一阶等差数列,此时有:an an 2=2an 1,即2∑i=0(-1)iCi2an i=0成立.所以结论(1)对m=1成立.假设对m-1阶等差数列结论(1)成立.当{an}是m阶等差     

由单功能计算器引出的绝对值问题

<正>一、找出问题以下是海淀区2011-2012学年度七年级第一学期期末统考的第27题:有一台单功能计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是输入第一个整数x_1,只显示不运算,接着再输入整数x_2后则显示|x_1-x_2|的结果.比如依次输入1,2,则输出的结果是|1-2|=1;此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进     

基于输入-输出数据的概率分布和数字特征

利用模糊推理建立了一种基于输入-输出数据构造联合概率密度函数的方法.首先,将一组单输入-单输出数据转换成模糊推理规则,通过选择适当的模糊蕴涵算子生成模糊关系,再利用这种模糊关系求出二维随机变量的联合概率密度函数.当将模糊蕴涵分别取为Larsen蕴涵和Mamdani蕴涵时,分别得到了两种具体的概率密度函数(称之为Lars...     

直线方程解代数问题两例

例1 已知等差数列的第p项为q,第q项为p(p>q),求它的第(p+q)项和第(p-q)项。分析等差数列的通项是关于项数的一次式,其几何意义是直线y=dx+(a_1-d)上当x依次取自然数时的一列有序点列。由于两点确定一条直线,而已知等差数列的两项(项号和项值)对应于平面上的两点,故其通项公式可通过直线方程的两点式来简捷地求得。解由a_p=q,a_p=p可设A(p,q)、B(q,     

有穷等差数列的一个性质及其应用

在教学过程中 ,笔者发现一类古典概率问题与有穷等差数列有关 ,进一步研究后 ,得到 :性质　从项数为ｎ的等差数列ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ中可重复地任取两项求和 ,(1 )不相等的和数按升序组成的数列 (不妨称为两项和数列 )是等差数列 ;(2 )若某和数是两项和数列的第ｋ项 ,则在所有和数中该和数出现的频数ｍ可按下式计算 :ｍ =ｋ ,　　　　　当ｋ≤ｎ时2ｎ-ｋ,　　当ｋ >ｎ时 ( )关于这一性质 ,可以推导如下 :(1 )将有穷等差数列ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 的公差设为ｄ ,其中任意两项ａｉ 与ａｊ的和记为Ｓｉｊ,因为ａｉ=ａ1+(ｉ-1 )ｄ　　　 (ｉ=1 ,2 ,3…     

2017年北京高考理科数学第20题的研究与思考

<正>2017年北京数学高考压轴题具有极大的区分度,尽可彰显学生数学能力的差异.2017年北京高考理数20题设{a_n}和{b_n}是两个等差数列,记c_n=max{b_1-a_1n,b_2-a_2n,…,b_n-a_nn}(n=1,2,3,…),其中max{x_1,x_2,…,x_s}表示x_1,x_2,…,x_s这s个数中最大的数.(1)若a_n=n,b_n=2n-1,求c_1,c_2,c_3的值,并证明{c_n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,c_n/n>M;     

正项等差数列的两组新不等式

本文给出有关正项等差数列的两组优美的不等式,并给出它的一些应用.引理1(伯努利不等式)设1 α>0,α≠0,n∈R且n≠0,1则有1)当01或n<0时(1 α)n>1 nα.证略.引理2设正项等差数列{an}是单调递增的,其公差为d,α∈R,α≠0,1.则有:1)当α<0时,1akαak 1     

巧用等差、等比数列的基本性质解题

等差数列和等比数列具有以下基本性质:1)在等差数列{an}中,若m n=s t(m,n,s,t∈N*),则am an=as at;2)在等比数列{an}中,若m n=s t(m,n,s,t∈N*),则am·an=as·at.注这两个命题的逆命题都不正确.例如,通项为an=2的等差数列满足a1 a3=4=a5 a8,但:1 3≠5 8.在解决数列问题时,如能灵活运用性质1),2),往往能为解题带来事半功倍的效果.例1 1)在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,则a2 a8=;2)若等差数列{an}的各项都是负数,且a32 a82 2a3·a8=9,则其前10项的和S10=;3)若{an}是各项均为正数的等比数列,且a3·a5=8,则log2a2 log2a3 log2a5 log2a…     

用超效率综合DEA模型来研究DEA有效性

对超效率综合DEA模型,有三个定理来判断其不可行性,其中一个定理基于加性模型来判断,并证明:当模型不可行时被评决策单元的扩展DEA有效性,由此给出了对扩展DEA有效的决策单元排序的方法,此外,对不含非阿基米德无穷小的基于输入(输出)的超效率综合DEA模型,当其最优值为1时,有一个定理来判断被评单元的DEA有效性.     

正负符号怎么添

<正>问题若有1,2,3,…,n共n个数字,不改变它们的顺序,能否在每两个数字之间添上"+"或"-"号,使它们的和为0?当数字不多时,通过观察、计算,我们可以确定可否做到;当数字为4的倍数个时,我们由经验"1-2-3+4=0"、"5-6-7+8=0"得知,把它们自1起,每四个一组,符号依次为"+、-、-、+"即可.但问题又来了,当数字很多或数字不是4的倍数个时,还能做到吗?为叙述方便,我们把在1,2,3,…n的每两个     

等差数列的一个充要条件

定理　数列 {an}为等差数列的充要条件为 :对任意整数 k,当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,恒有等式 :( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,其中 m,n∈ N且 n >m≥ 1 .证明　 (必要性 )设数列 {an}为等差数列 ,公差为 d,则　 an =am ( n - m) d,于是对任意正整数 m,n,k有　 ( n - k) am ( k - m) an= ( n - k) am ( k - m) [am ( n - m) d]= ( n - m) [am ( k - m) d]=( n - m) ak.由于正整数 m,n,k的任意性 ,故当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,等式仍然成立 .(充分性 )若对任意正整数 k都有等式( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,( 1…     

正项等差数列的不等式

由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1　 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证　由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 …     

一类细胞神经网络输入—输出控制

对于一类细胞神经网络,以系统的输入、输出的反馈权值为参数,构成参数空间,引入几何方法,将参数空间分解分块成有限个区域,当系统参数在某一确定的区域上时,研究系统的输入—输出间关系,并给出输入、输出之间控制的一类判别方法.     

基于变参数对有效决策单元排序性能的研究

随着社会的发展,人们面临不同的决策问题越来越普遍,考虑不同参数变化对DMUs的排序性能的影响更加符合当今时代的意义.以往的DEA研究中,很少有学者改变输入变量的分布来探究超效率模型的“真实”排名的接近程度.基于此,改变输入变量分布来探究DEA与“真实”排名的接近程度.仿真结果表明:1)当n增加或m减少时,AP模型与L-L模型与“真实”排名的概率值均会增加.2)当技术参数u服从半正态分布|N[0,5.06]|,两种模型的排序性能均十分良好,但当技术参数相对无效的时候,两种模型对有效决策单元的排序并不太令人满意.3)当输入变量分布服从U(1,4)时,L-L模型的排序性能要优于AP模型.4)当输入变量分布服从U(1,6)与|N[0,2.5]|时,AP模型的排序性能要优于L-L模型.     

系数为LR-型模糊数的模糊线性最小二乘回归

针对输入、输出以及系数为LR-型模糊数的情况,建立模糊线性回归模型,提出该模型的最小二乘估计以及模型性能评价方法。当输入、输出以及系数都退化为精确值时,该估计退化为经典的最小二乘估计。该方法不仅适用于三角模糊数,也适用于其它LR-型模糊数(如指数型模糊数)。数值模拟表明,该方法的拟合效果较好。