柏普斯定理的推廣

本文所述的定理底推广方式及§§12,15,16,18各定理都是北京師範大學故教授湯璪真先生生前所示的。汤故教授对於§§15,18兩定理的證明,乃係利用一種他所稱為(一,二)射影的方法而得,並因此引出§§12,16兩個定理來。但他認為這兩个所引得的定理,係应於初等幾何的范围,应該另给它們独立的证明,因此他便囑筆者為它們設計一種初等的證法。经過一番思考,研究之後,筆者乃获得§12定理底如本文所述的證明方法。雖然這個方法也約略涉及射影幾何的一些知識,但與初等幾何相距尚不過遠。至於§16定理的證明,和證§12定理所需的原理當然是一樣的,為了節省篇幅,留待读者自己去思索。倘讀者有能够纯用初等幾何的方法去證明這兩個定理的,那是更好的事,筆者極願請教。 湯故教授所稱的(一,二)射影究竟是什麼樣的一種方法,可惜得很,筆者沒有間得詳細。只記得他曾告訴筆者:先把平面上的圆形依某中心射影到空間的一个二次曲面(例如球面)上,再用另一個中心射影回平面來,這样平面上一點便會產生兩个對應点,因此仙稱它为(一,二)射影。他說這个方法很新鲜,能够把很多定理推廣為更廣泛的定理;但他想先把這个方法的基本原則、關係、互换公式等建立好了,然後再發表出來和大家研究;因為研究得尚未十分成熟,所以還不到發表的時候。為了這個缘故,對於§§15,18兩定理的證明,他到底是怎樣運用這個(一,二)射影方法而得的,慚愧得很,筆者實在毫無所知。他只会把這兩個定理記在一强小小的硬紙片上交給筆者,這张硬紙片目下已找不着,尚幸笔者當時把它們抄錄下來(經過幾次抄寫,文字已有变更,但內容未變),得以保存。現在只好把它們照樣錄出,料想它們缺乏證明,必然要引起大家的懷疑;究竟它們是定理與否(因此特註上*號,以示區別),让大家去判斷吧。同時他這個(一,二)射影方法,若有人認為有研究的價值,继续去研究,完成他未竟的工作,則更是一件极好的事情了。本文前後共改寫了几次,每次都係遵照湯故教授的指示而修正重寫的。可惜後來的一次,他未及寓目,不料竟舆世称辭,真是萬分遺憾。現在,筆者謹用本文(當然又經過一些補充)來表示哀悼之忱,並留作永久的紀念。本文原係着重在尋求§12定理的證法,但因為叙述的方便,還乘機推論了一些射影幾何的东西。同時在求证的過程中,不意另得巴氏定理等底類似的推广,這可說是意外的收获,也顺便寫在一起。     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間     

關閉撓曲線的全曲率

<正> §1.引言.大家知道,微分幾何學所討論的一般是關於圖形的局部性質.但是這些局部性質與圖形的整個性質間常存在有某些關係.討論圖形的整個性質的微分幾何學叫做整體性的.關於整體性微分幾何學有這樣的一個著名定理:設一關閉撓曲線C     

洛必大法則的一個推廣

用來求無窮小或無窮大變量之此的極限的洛必大(G.F.de l′Hospitale)法則為我們所熟知,本文用幾何方法來證明此法則因而推廣此法則,最後並利用推廣後的法則說明它與極限論中一古典定理——施篤茲(O.S.Stolz)定理問的關係。§1. 洛必大法則的幾何證明洛必大法則有兩個,可叙述如下: 法則一如f(t)及g(t)連續於區間(a,b),且(?)而在這區間內部導數f′(t)及g′(t)都有限,且f′(t)≠0;如果(?)(有限或無窮大),則必(?) 這裹為了以後說話方便,將所有的極限都寫成了右極限,其實只要這一法則能够證明,那末     

希尔伯脫的“幾何学基礎”及其在问題的歷史發展中的地位(續)

第一章包含我們會敍述過的公理法,而且它也包含著最直接地從公理得出的一系列定理,讀者有必要注意到掌握這些定理的證明的會部重要性,檢查甚至記憶希爾伯脫的系統的全部公理,是頗不困難的,可是如果不學會實際上運用這些公理,就是在這些公理的基礎上嚴密邏輯地來證明這些定理,那麼對於數學的發展是毫無用處的。希爾伯脫的敍述每次重版都是向著更容易理解與更完備這一面改變的,雖然,在其中到現在還有不少的在證明上的空白,讓讀者來補充它們,究其實,這樣的情況有力地減低了該書的教育價值,問題不僅在於若干省略了的證明是相當困難的地方,還更重要是別的,初學者甚至在已經作出證明之後,未必能夠有把握地了解他的證明在邏輯的方面是否無可責難,或者在其中某些地方難入從直觀所假借來的假設:所以編者和譯者抱定目標,用附在該書後面(原書403-488頁)的附錄來補足敍述的空白。     

初中算術小数一章的教法

第一課主題:小数、小數的單位、小數的寫法本課計劃Ⅰ.講授新教材:(1)本課主要目的是使學生弄清“小數”這一概念,有些學生可能這樣想:“有小數點的數就是小數”或“比1小的數就是小數”但這两種說法,都不足以說明“小數”到底是什么?谝粋€說法的毛病在於用“小數點”這一名詞下小數的定義而小數點是什么在這里還是一個未定義的名词。第二個说法顯然失去它的完全     

罗巴切夫斯基幾何学的一种实現法——龐卡勒方法

今年是幾何學中的革命者,俄羅斯的偉大學者羅巴切夫斯墓逝世一百周年紀念,對於這樣一位劃時代的偉大學者的哲學思想、科學創造以及其深遠的後果都需要專著來加以詳細的介紹,我在此只想接觸到一個很狹的問題,即羅巴切夫斯基幾何學的實現法的問題。在實現法的方面,大學以上的讀者可以從微分幾何中的負定曲率曲面上的幾何去得到實現,也可以由射影幾何的方法在一圓內得到實現,為了中學水平的讀者的需要,我也曾在“幾何學通論”中作了粗略的介紹,現在不準備去重提,本文將介紹由法國數學家龎卡勒提出的一種實現法。什麼是實現問題呢?原來,歐幾裏得幾何學在兩千多年中曾被看作是唯一的幾何學,也就是被認為是反映客觀世界中的形的唯一的方法,這種幾何學有一系列的公理,由這系列的公理經過純邏輯的推演可以得出各種定理,這系列的公理所推演出的結果是不互相矛盾的,這一系列的公理是否足夠推演出我們一般書中的那些結果呢?從邏輯上看它們最初是不完全     

中等學校中的非歐幾何(績)

六年級 1) 在學習了教學大綱中的主題“平行線公理及其推論”以後;因之在學生們知道了歐幾里得第五公設的表述(附錄1)以後,必須在做習題的課上,考察關於平行線公理各種表述的等價證明的習題,在貝斯金(H.M.BeckИH)的幾何教學法(?)第115頁中可以找到證明。(附錄2) 2) 歐幾里得的第五公設無異於下列命題:同一直線的垂直線和斜線恒相交。說明這一點是有好處的,其證明需要用到一個定理,即所有三角形中,任意二內角之和小於二直角。 3) 學習到教學大綱中的主題“三角形諾角之和的定理”時,必須讓學生來分析這定理的證明,說明我們在證明中用到了平行性的反定理。顯然平行性的反定理可根據關於平行線的公設來證明,因此“三角形諸角之和等於二直角”的定理的正確性可從歐幾里得第五公設推出來。     

再告企圖用規尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”這一個不成問題的問題,本通報已經登過啟事說明這是一個已經證明“不能”的問題,忠告一些同志不要浪費寶貴的精神企圖“能”了。啓事登了以后,“三等分角”的稿件還是源源而來,我們雖然對於每一稿都作了答覆,但認爲對這樣的問題彼此白費了許多精力和時間,殊不值得,就來稿的情况看:有些同志是不知道這個問題已經證明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;還有人想了一方法,他自己認爲是對的,但是不會證,讓我們代他證;更有人對於他想的方法並沒有信心,認為是“十不離九”,萬一不對的話,也是近似的;等等。這樣,我們敢大胆地說一句話:這些同志還沒有徹底了解前人對於這個問題的證明,现在我們再一次奉勸企圖用規尺三等分任意角的同誌細讀前人的證明,這樣的證明,數學界公認為是對的已經多年了,如果還有人懷疑,就請先把它駁倒了再研求三等分法,幸勿先想方法,不管前人研究的成果,     

論Понтрягин示性類(Ⅳ)

<正> 前言 在前一文中,我們曾應用Steenrod冪以證明一個可微分閉流形上法示性類的拓撲不變性.本文的目的則在提供一個不同的方法,不假助於Steenrod冪以證明同一事實.同樣的方法,亦可用於Stiefel-Whitney示性類,而由此獲得這些類的拓撲不變性的一個不同證明,而在證明中避免用到Steenrod     

等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

對中學几何教本的商榷

本文主要是討論幾何教本教材編排上的幾個問題。根據個人的感覺、和數學教師們交談的結果,對格拉哥列夫教授改變吉西略夫第二部教本的教材,一致認為在教學法的觀點上,是不够正確的。第一章(空間的直線和平面)的教材內容有些改變,吉西略夫的舊版本以及達維多夫,格伯爾,拉舍夫斯基等的教本,都把第一章分為四節命名如下: 1) 平面位置的確定, 2) 平面的垂線和斜線, 3) 平行的直線和平面, 4) 二面角和多面角, 教材这樣的編排,是完全合乎由易到難的原则,學習“平面的垂線和斜組”的定理此學習“平行直線與平面”的定理困難要少些,平行直線与平面的定理,常用反證法證明,大家知道這是一種較直接證法難以使學生接受的證法。     

球舆特殊多面體有同模的同倫羣論

<正> 球上同倫羣的研究,是近代拓撲學中一種最重要的工作,三、四年來,這工作發展得尤其迅速,但是像同緯映像術E:π_q(S~n)→π_(q+1)(S~(n+1))這樣,雖然是很重要的一種工具,而E的像和E的核,除有限種情况外,長久沒有一種表示     

關於弓形面積近似值公式:S=2/3bh的簡易證法

蘇聯吉西遼夫原著,前東北教育部編譯的高中平面幾何第五章末附有已知底b和高h的弓形面積近似值公式:(1)S=2/3bh和(2)S=2/3bh+h~3/2b。課文中聲明“在這裏不加證明”,劉薰宇先生依據克氏原書修訂的高中平面幾何也照樣采入,在一般學生的心理中總有得不到理論上的解決不能饜足之意,這個問題曾經傅種孫先生依據正切函數的無限展開加以論證(見數學通報1955年6月號),可是,因為屬於高等數學的範圍,不能向小學生介紹,筆者為了滿足學生的求知欲,採取初等數學的極限原理來證明第一公式,至於第二公式,因含有h~3/2b一項,那就非要根據傳種孫先生的證法不可了。     

空間幾何作圖的基礎

在平面幾何中,所有幾何作圖皆是實際的,也就是說,它們可以利用適當的工具,在平展的圖上得以實現,並且,這些工具本身包含了所對應的幾何圖形:直線(直尺)、圓(圓規)、垂直直線(帶直角的尺)等等作圖的可能性。利用適當工具的幾何作圖可能性的理論基礎,在各種情况下,是被關係於幾何圖形作圖的可作元素類的定義系統所规定。這樣,如果考慮到作為作圖工具的圓規和直尺,那么,這些作圖的形式被下述之定義系統所實观。如下元素是可作的:一 1)在作圖題中的所有已知元素;以及對於平面上的任意點(這些點對於作圖是必要的輔助元素)。 2)直線,如果它是由兩個可作點所確定的。 3)圓,如果它是由可作的半徑和中心所確定的。 4)兩個可作直線的交點。 (定義系統是引自(?)契特維茹痕((?))教授的論文《在中學立體幾何學中,幾     

在十年级裏代数方程的讨论

通過“方程的討論”課題後,學生必須學會解决相應的習題,給所得到的解答以充份的討論,並附之以明瞭的解釋。對於習題的解答,必须先行對於討論的意義及解答的存在規則作基本的理論上的研究。在吉謝遼夫的代數教本上有和方程的討論相關的一章,然而那一章存在以下缺點:1)“方程的討論”一名詞的定義不明確;2)方程的解必須和對應數字的集合相關聯,這一思想的表達不明確;3)只用五種典型的分析情形顯示討論的輪廓,而沒有討論到這种情形:當方程的解應該只属于自然数的集合、整數的集合等等。     

軌跡

在初等幾何裏,軌跡是一個較為難講的課題,若只按課本講去,往往效果不好,這裏的原因,大半是對於軌跡的立論講得不透徹,軌跡的理論根源在於點集,教師若適當地用點集的思想啟發學生,學生便易於瞭解軌跡,為了說明點集,還要先說明集,所以我們從集談起。§1.集 1.1 名詞與符號甚麼是集?很難在眼前找出一個更簡單的名詞解釋它:比如,“總體”,“集團”,“組”,“類”,“族”,“系”,“一羣”都不見得比“集”)更清楚,所以只好舉一些實例說明它: 1.梁、唐、晉、漢、周(五代), 2.北京市的中學生, 3.一個人身上的細胞, 4.一個方程的所有根, 5.一切正整數, 6.一切多項式, 7.一切連續函數, 8.一條直線上的點,這些都是集,集論的創始人坎托爾(G.Cantor)說:“集就是把許多物件想像作一個物件。”也可以說是在我們的周圍世界之中,圈定了確定的一些事物,讓它們結成一個總體。集M包含的東西e,比如前面說的五代名稱、學生、細胞、根、……,叫做M的元素;同時說e屬於M.記作     

關於素性環

<正> §1.本文的目的是在對於所謂素性環(Primal Ring)作一些探討.這裹的環都是指着有么元無零因子的可換環.我們以R表這樣一個環,1就是R的么元,大寫字母A,B,C,P,……表R的真理想子環,小寫字母a,b,c,x,y等表R的元.符號Ax~(-1)表示R中一切能使xy∈A的y所組成的集.容易證明Ax~(-1)是一個理想子環,並且Ax~(-1)A.如果Ax~(-1)A,則說x不素於A,否則說x素於A.這樣一來,A是素理想子環的充要條件就是R中凡不屬A的元都素於A.     

幾何學

幾何學是數學科學的一部門,在這門科學中所研究的是物體的空間關係和形狀,以及現實的其他關係和形狀,這種關係和形狀就其結構而論是跟空間的關係和形狀相類似的。“幾何學”一詞在希臘文中按照字面是量地的意思,這名詞的來源可以從下面的話得到說明,這話相傳出於古希臘學者羅得島的歐德謨(公元前四世紀):“幾何學由埃及人開創,乃在土地的測量中發生,這種測量對於他們是必要的,因為尼羅河的泛濫經常把邊界冲掉。跟其他科學一樣,這門科學也從人類的需要發生,這是不足為怪的,任何生長起來的知識從不完善的狀態變為完善。它起源於感官的知覺,漸漸變為我     

略談軌跡问题

軌跡問題在幾何學中往往是被人認為难於對付的一部分,一般待證的命題,由假設而終断,好像總有路線可循。而軌跡問題却像謎語一樣,令人難以捉摸,感到沒有把握;即使捉摸到了,還要正逆两方面都加以證明,才算完事,萬一不慎,仍有弄出岔子的可能。因此入們對於軌跡問題便只覺得它是一種“麻煩”,做起來總有點蹩扭,尤其是