柏普斯定理的推廣

本文所述的定理底推广方式及§§12,15,16,18各定理都是北京師範大學故教授湯璪真先生生前所示的。汤故教授对於§§15,18兩定理的證明,乃係利用一種他所稱為(一,二)射影的方法而得,並因此引出§§12,16兩個定理來。但他認為這兩个所引得的定理,係应於初等幾何的范围,应該另给它們独立的证明,因此他便囑筆者為它們設計一種初等的證法。经過一番思考,研究之後,筆者乃获得§12定理底如本文所述的證明方法。雖然這個方法也約略涉及射影幾何的一些知識,但與初等幾何相距尚不過遠。至於§16定理的證明,和證§12定理所需的原理當然是一樣的,為了節省篇幅,留待读者自己去思索。倘讀者有能够纯用初等幾何的方法去證明這兩個定理的,那是更好的事,筆者極願請教。 湯故教授所稱的(一,二)射影究竟是什麼樣的一種方法,可惜得很,筆者沒有間得詳細。只記得他曾告訴筆者:先把平面上的圆形依某中心射影到空間的一个二次曲面(例如球面)上,再用另一個中心射影回平面來,這样平面上一點便會產生兩个對應点,因此仙稱它为(一,二)射影。他說這个方法很新鲜,能够把很多定理推廣為更廣泛的定理;但他想先把這个方法的基本原則、關係、互换公式等建立好了,然後再發表出來和大家研究;因為研究得尚未十分成熟,所以還不到發表的時候。為了這個缘故,對於§§15,18兩定理的證明,他到底是怎樣運用這個(一,二)射影方法而得的,慚愧得很,筆者實在毫無所知。他只会把這兩個定理記在一强小小的硬紙片上交給筆者,這张硬紙片目下已找不着,尚幸笔者當時把它們抄錄下來(經過幾次抄寫,文字已有变更,但內容未變),得以保存。現在只好把它們照樣錄出,料想它們缺乏證明,必然要引起大家的懷疑;究竟它們是定理與否(因此特註上*號,以示區別),让大家去判斷吧。同時他這個(一,二)射影方法,若有人認為有研究的價值,继续去研究,完成他未竟的工作,則更是一件极好的事情了。本文前後共改寫了几次,每次都係遵照湯故教授的指示而修正重寫的。可惜後來的一次,他未及寓目,不料竟舆世称辭,真是萬分遺憾。現在,筆者謹用本文(當然又經過一些補充)來表示哀悼之忱,並留作永久的紀念。本文原係着重在尋求§12定理的證法,但因為叙述的方便,還乘機推論了一些射影幾何的东西。同時在求证的過程中,不意另得巴氏定理等底類似的推广,這可說是意外的收获,也顺便寫在一起。