秦九韶三斜求積公式的一個應用

我校初中部在進行梯形作圖教學的時候,同學們提出了一個問題:“已知梯形的二對角线和不平行的二邊怎樣作梯形?”大家醞釀的結果,初等作法仍未發現,現在我把應用著名的秦九韶三斜求積公式通過代數解析法的作法寫出來,讚者如有簡捷的初等作法,希提出參考。 關於秦九韶三斜求積公式的介紹文件,散見各書報雜誌,在許莼舫著的中算家的幾何學研究中曾假定了一種比較合理的證明,讀者可參考。 這個題目在幾何學辭典(薛德炯吳載耀譯     

等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

n個相異文字的直線排列问题

排列問題在中學生的感覺中是認為比較困難的,特别是當條件複雜時就更難着手,為了幫助中學的同學解决排列問題,讓我來介紹一種解决一般的直線排列問題的普遍方法。為清楚起见我在下面分成幾部份來說,並且舉些例子。     

對批改數學練習本的幾點意見

讀到數學通報1955年2月號登載的壽望斗先生的“關於數學練習本批改方法的改進意見”後,很高興,認為壽先生能從現在中學教師批改作業存在問題中,搜集各種批改作業的辦法加以分析歸納出一種具體的辦法,這種幫助人的精神是值得讚揚的!同時為改進批改數學作業盡了一份力量也是肯定的! 但編者同志既然要求讀者們都來參加這一問題的討論,我想僅就我個人對這一問題的看法,提出如下意見。 (一)和壽先生分歧的意見: 首先壽先生分析目前中學教師工作情况時談到:正因為教師們大部分的課外時間都花在批改練習本上,所以嚴重地影響了備課……解决的辦法,應當從改進批改方法入手,只有這樣,才能     

改進幾何作業批改方法的體驗——批改作業和課外輔導相結合

在中學裏,批改數學練習本,一般的說,目前還是一個存在的問題,特別是批改幾何練習本困難最多,問題最大,因此許多老師大多採取“全面檢閱,輪改抽查,重點批改,加强總結”等辦法,最近數學通報上又介紹了一種批改紙片上的習題的辦法(1955年2月號),這些方法,雖然都有着一定的優點,能節省老師們一定的時間和精力,使他們能更好地進行備課和學習,以及進修等工作,但根據目前學生的知識質量,學生的學習態度舆學習方法的情况來說,特別是對初中的學生青少年們來說,這些批改方法的實際效果和作用究竟有多大,還有值得研究的地方,我認為這些方法(包括全批全改在內)都有下列幾個共同的缺點: 1.不管全批全改也好,重點批改也好,輪改抽查也好,當練習本發給同學後,他們是否認     

初中平面幾何課本上两個作圖题的讨论

在東北人民政府教育部編譯的初級中學教科書“平面幾何”中,§101舉了一個四边形的作图题,§102最末附問一個撞台球的問題。這兩題在劉薰宇編的初級中學課本“平面幾何”中,後者列為習題二九的第20題,前者作為§140的例2.前者在兩书中都僅有解法而無討論,後者在本通報1953年5月號“數學问题及解答欄”中(第27題)亦僅有解法而無討論。關於它們應如何討論,屢有讀者來函詢問,今筆者承編者同志的     

我如何講解初中平面幾何的軌跡問题

一般而言,初中平面幾何中軌跡部分的教學,大家都感到比較困難,學生也以為比較難以理解舆接受。許多同志在這方面已經介紹過很多的寶貴的經驗。現在,我把我在教學中關於軌跡問題的一些體會談談,是否正確,希望大家来討論。我從下列各方面來研究這個問題: (一) 為什麽對軌跡的教學會感到困難? 我想有這樣幾個原因:第一、是舊教學思想的影響。因為舊教學本質上就是唯心的、脫離實際的、生硬的、教條式的,當教師教軌跡時,開始就搬上一大套生硬的名詞及定義,而且還强調軌     

談談關於平面幾何中的“一定值”問题

平面幾何中有關“一定值”的問題,是同學感到困難的。初三、高一同學每遇到關於“一定值”的問題,班上只有極個別同學能獨立解出來,他們不知按題意分析,“一定值”是什麼,因此,摸不到問題的具體終結,無從下手解題,凡是碰到“一定值”一類的問題,總是老師講,學生聽,學生不能獨立發展這個知識,時間花了許多,費了許多力,結果不討好;我認為這原因主要在講解問題時,關於“一定值”意義,分析不夠,指示不夠,因而學生對“一定值”問題,感到摸不到頭腦。新編初中幾何93頁第13題:“等腰三角形底邊上的一點到兩腰距離之和是一定長(等於腰上的高),”書上在括弧內具體指出了問題的要求,但講解這問題時,若單純的按“等於腰上的高”囫圇吞棗的證下去,而對“一定長”為什麼是指“等於腰上的高”,不加以詳細分析、那便是為解題而解題,不能完成教學這個問題的主要目的,教學這個問題的主要目的,是為解關於“一     

对於初二平面幾何全等三角形教學上的一些意見

全等三角形一章是學習平面幾何的基礎,學生在這階段學習的好壞,影響到以後的幾何學習,所以這一章在整個幾何學習中佔有相當重要的地位。因此,在這一章教學中,如何貫徹教學大綱的精神,充分發揮教材內在的思想性,從而教好學生,是一個很重要的問題。個人對這個問题正在進行學習,所以今天談不到向大家作報告,僅把個人初步學習的點滴認識,向同志們談談如有錯誤或不妥的地方,還請大家多多批評。 關於這個問題,我想分以下六部分來談: (I)本單元教學的目的首先,我們看看學生在學習本單元以前已具有那些幾何知識,然後結合本單元教材的中心內容,來考慮本單元教學目的,學生在學習本單元以前已具有的幾何知識,我個人分析起來有下面幾點:(1)概念方面,通過了線段與角的相等與不等的學習。懂得運用移形公理和重合法,懂得線段和角的四則運算及直線公理,以及其他有關角的一些概念等;(2)作圖方面,已能熟練地運用工具(直尺、三角尺、圓規、量角器等)書出直線、線段、角、角的平分線(用量角器)、垂線、圓     

希尔伯脫的“幾何学基礎”及其在问題的歷史發展中的地位(續)

第一章包含我們會敍述過的公理法,而且它也包含著最直接地從公理得出的一系列定理,讀者有必要注意到掌握這些定理的證明的會部重要性,檢查甚至記憶希爾伯脫的系統的全部公理,是頗不困難的,可是如果不學會實際上運用這些公理,就是在這些公理的基礎上嚴密邏輯地來證明這些定理,那麼對於數學的發展是毫無用處的。希爾伯脫的敍述每次重版都是向著更容易理解與更完備這一面改變的,雖然,在其中到現在還有不少的在證明上的空白,讓讀者來補充它們,究其實,這樣的情況有力地減低了該書的教育價值,問題不僅在於若干省略了的證明是相當困難的地方,還更重要是別的,初學者甚至在已經作出證明之後,未必能夠有把握地了解他的證明在邏輯的方面是否無可責難,或者在其中某些地方難入從直觀所假借來的假設:所以編者和譯者抱定目標,用附在該書後面(原書403-488頁)的附錄來補足敍述的空白。     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間     

怎樣編製在幾何教學中提問和鞏固的問题

1.怎樣編製提問的問題 複習提問主要是為了檢查學生對學到的知識鞏固的程度怎樣;另一方面又為了得以系统地導出新課。但由於每堂課具體內容的不同擬定提問的問題也應當隨之不同。一般的我們從下列幾方面來考慮編製: (一)為了回憶起來与新課內容有密切聯繫的舊知識編成問題來提問学生,是用來集中學生的已知知識作為講授新課的基礎,在作法上是提問單個學生但要求全體學生都能回憶起來這些知識才算達到目的,從而才能順利的講授新課。     

談談“求一個數的幾分之幾”的講法

記得去年曾聽到同志們談論“求一個數的幾分之幾”的問題,都認為“不好講”或“同學不容易接受”,今年又聽到和去年相同的論調,因此,就決定把它當作目前存在的問題提出來,以便引起同志們的研究、討論,更好地改進我們的教學。當我們講授初中算術第二分冊§150時,同學們或多或少地曾提出一些問題來,如“這不是和乘法一樣嗎,”“太麻煩,我們用乘法作行不行?”“……?”這是一個必然的過程,從提問當中我們可發覺同學們是進步了;因為他們已經懂得如何應用已學的知識解決實際問題,同時還知道應用簡便的方法比麻煩的方法好,這對於數學這門課程來說是難能而可貴的。是不是說就等於答應同學們的要求了呢?我     

中等學校中的非歐幾何(績)

六年級 1) 在學習了教學大綱中的主題“平行線公理及其推論”以後;因之在學生們知道了歐幾里得第五公設的表述(附錄1)以後,必須在做習題的課上,考察關於平行線公理各種表述的等價證明的習題,在貝斯金(H.M.BeckИH)的幾何教學法(?)第115頁中可以找到證明。(附錄2) 2) 歐幾里得的第五公設無異於下列命題:同一直線的垂直線和斜線恒相交。說明這一點是有好處的,其證明需要用到一個定理,即所有三角形中,任意二內角之和小於二直角。 3) 學習到教學大綱中的主題“三角形諾角之和的定理”時,必須讓學生來分析這定理的證明,說明我們在證明中用到了平行性的反定理。顯然平行性的反定理可根據關於平行線的公設來證明,因此“三角形諸角之和等於二直角”的定理的正確性可從歐幾里得第五公設推出來。     

对“幾何示教的幾點體會”一文的補充意見

在數學通報1954年10月號內登載了潘關崇同志的“幾何示教的幾點體會”一篇文章。我們讀了以後,覺得潘關崇同志對於對稱法的講法有很多優點,如從實際出發,並與物理相聯系,注意教材的系統性等等。因而給我們的教學很大啟發,但是我們也感覺到有一點似乎有補充的必要,就是能修水塔的問題時,怎麼就會想到要作點M的對稱點?若不事先作好準備工作,恐怕學生便要發生疑問;因此我們認為可以先提一個問題作為準備。即“在AB河的一側有一村M,而在另一側有一村N,今要在河邊上建築一個自來水塔,使與MN二村為自用水管直接相通,問水塔應築在何處,而所用的直通水管最省?”若以純理論題的形式出現,便可寫成“已知二點M,N在一定直線AB的異側;於AB上求一點P,使MP+PN為最小。”我們認為若先解决了這個問題,不但原來的問題不會使學生發生疑問,同時還把有關異側點的問題也教給學生了。     

關於弓形面積近似值公式:S=2/3bh的簡易證法

蘇聯吉西遼夫原著,前東北教育部編譯的高中平面幾何第五章末附有已知底b和高h的弓形面積近似值公式:(1)S=2/3bh和(2)S=2/3bh+h~3/2b。課文中聲明“在這裏不加證明”,劉薰宇先生依據克氏原書修訂的高中平面幾何也照樣采入,在一般學生的心理中總有得不到理論上的解決不能饜足之意,這個問題曾經傅種孫先生依據正切函數的無限展開加以論證(見數學通報1955年6月號),可是,因為屬於高等數學的範圍,不能向小學生介紹,筆者為了滿足學生的求知欲,採取初等數學的極限原理來證明第一公式,至於第二公式,因含有h~3/2b一項,那就非要根據傳種孫先生的證法不可了。     

数学問題解答

下面的問題,提供讀者解答,但答案不必寄来,本期問題的答案将在下期发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的問題,來信請寄至北京德胜門外北京师范大学数学系轉数學通报問題解答栏。     

查普里根方程的特里谷米問題的唯一性

<正> 近若干年來,對於查普里根方程,引起了廣泛的研究,很多作者從事這方面的工作.但對於這方程的特里谷米問題的唯一性和存在性,始終沒有徹底解决,對於其唯一性,開始考慮的是,他在比較強的條件下解决了唯一性問題.其後M.H.Protter曾加以推廣.我們在這裹,先對的結果的條件加以研究,然後對於特里谷米問題的唯一性,得出一的結果的推廣,這推廣和M.H.Protter的不同.     

幾何公理體系

§1.釋詞·推理1°1.引言,中學幾何教學工作中有兩樁主要的經常的工作:第一是解釋名詞,第二是推證定理,為了便於說明: 解釋名詞有幾種方法?這些方法那樣便利那樣不便利? 推證定理有幾種方法?這些方法那樣便利那樣不便利?我們先拿讀音和斷案來做個比喻。     

極限與複數的教學總結

現用高中代數教科書是與教學大綱(草案)最不一致的一科,為提高教學質量而完成數學教師的任務,對教材的處理,是特別需要認真鑽研的,從上學年起我們互助組明確了這個問題,使我們對教材的掌握上,感到有些收穫,茲就代數課中的兩個進行教學比較困難的單元來談一談: 1、極限高二代數中的極限概念、是數學的基本概念之一,應用它來叙述關於循環小數,無限遞降等比數列,幾何課中圓周長和圓面積,以及圓柱、圓錐与球的表面積和體積等問題,在中學數學課中它是完全必要的一部份,但極限這一單元,在