智慧窗

1 找“好数”若n,a,b均为正整数,且n=ab a b,则称n为“好数”.如3=1×1 1 1,5=1×2 1 2.则说3,5是“好数”.问:1到100之间有多少个“好数”? 江苏省睢宁县双沟中学(221212) 赵光鹏     

2005年第二期初中数学问题参考解答

一、求证:n>2时,n5-5n3 4n被120整除.证明:n5-5n3 4n=n(n4-5n2 4)=(n-2)(n-1)n(n 1)(n 2)上式为5个连续自然数之积,故能被5×4×3×2×1=120整除.二、有多少个大于10小于100的整数,当数字交换位置后所得的数比原来增加9.解:满足题设条件的在10—19中只有12;在20—29中只有23;…     

再析一道以二进制为背景的高考题

题 (2011年湖南卷理16)对于n∈N+,将n表示为n=a0×2k+a1 ×2k-1 +a2 ×2k-2+…+ak-1 ×21 +ak×20,当i=0时,ai=1,当1≤i≤n时,ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数.(例如:1=1 ×20,4=1 ×22+0×21 +0×20,故I(1)=0,I(4)=2),则(1)I(12)=____;(2)127∑n=12I(n)=____.     

费尔马伪素数及其奇妙性质

1　费尔马数与伪素数1640年法国数学家费尔马发现 :F0 =3,F1=5,F2 =17,F3=2 57,F4 =65537都是素数 .据此费尔马猜想 :任何费尔马数 Fn=2 2 n 1都是素数 .然而 ,1732年瑞士数学家欧拉举出反例 :F5=641×670 0 4 17是合数 !从而推翻了费尔马猜想 .180 1年 ,德国数学家高斯证明了当且仅当 n为如下形式的数时 ,才能等分圆周 :( 1) n =2 m ;　 ( 2 ) n =Fm 为费尔马素数 ;( 3) n =2 mp1p2 … pk,其中 pi 为相异的费尔马素数 .虽然高斯完满地解决了等分圆周问题 ,但关于费尔马素数的判别却引起了人们的关注 .到目前为止 ,数学家们只发现前 5…     

科学计数法的认识与应用

<正>在现实生活中,大家会遇到一些较大的数.例如,光速约为3×10⁸m/s,太阳的半径为6.96×108m/s,太阳的半径为6.96×10⁵km,2010年世界人口约为6.9×105km,2010年世界人口约为6.9×10⁹等.像这样把一个大于10的数表示为a×10n(其中1≤a<10,且n是正整数)的形式,使用的就是科学记数法.学了负整数指数幂后,对于小于1的正数也可以用科学记数法表示为a×109等.像这样把一个大于10的数表示为a×10n(其中1≤a<10,且n是正整数)的形式,使用的就是科学记数法.学了负整数指数幂后,对于小于1的正数也可以用科学记数法表示为a×10^(-n)(其中1≤a<10,且n是正整数)的形式,例如,1nm=1×10(-n)(其中1≤a<10,且n是正整数)的形式,例如,1nm=1×10^(-9)m.同时,     

勾股数的一个秘密

我做全国1996年联赛试题时,有一个题的答案说：若a~2 b~2=c~2(a,b,c∈R~ ),那么c=m~2 n~2(m,n∈R~ )。我当时一开始不明白,就举了几个例子,发现5=1~2 2~2,41=4~2 5~2,10=1~2 3~2,13=2~2 3~2。我仔细观察又发现：(1 2)~2 (2×1×2)~2=5~2,(4 5)~2 (2×4×5)~2=41~2,(2 3)~2 (2×2×3)~2=13~2。然而10却不符合此规律。这时,我发现题中的c是素数,因此联想到大概仅有质数才可能有此规律(因为5,41,13都为质数,而10却是合数),那么(2~2     

数学竞赛之窗

本期给出2005年美国数学奥林匹克试题及解答,由上海中学冯志刚翻译.第34届美国数学奥林匹克第一天2005年4月19日下午12:30—17点1·求所有的正整数n,使得n为合数,并且可以将n的所有大于1的正约数排成一圈,其中任意两个相邻的数不互质.2·证明:方程组x6 x3 x3y y=147157x3 x3y y     

一个新的素数筛选法

在初等教论中,历来只知道艾氏(Eratos-thenes)素数筛法。本文给出一种新的素数筛选程序,它依赖于如下命题。定理 (张文亮)2n 1为(奇)素数的充分必要条件是n≠(2k 1)m k(n,m,k∈N)。证明如果2n 1为合数,则必为二奇数之积,即有m,k∈N,使得2n 1=(2m 1)·(2k 1),则 n=(2k 1)m k反之,如果对某m,k∈N,使得n=(2k 1)m k,则 2n 1=2[(2k 1)m k] 1 =(2m 1)(2n 1)为合数,因此2n 1为(奇)素数的充要条件是:对任何m,k∈N,自然数n≠(2k 1)m k 定理表明,当n跑遍N={s|s≠(2k 1)·m k,s、m、k∈N}时,2n 1遍历奇素数集,     

组合数公式的特殊运用

组合数公式Cnm=n(n-1)…(n-m+1)/m!不仅在解决组合问题中可以运用,在解其他题时,如果使用它有时也可以使解题化繁为简. 例题 求数列{n(n+1)(n+2)(n+3)}(n∈N*)的前n项和Sn. 分析 用常规方法虽然也可以解出,但过程比较冗长,如果用组合数公式解答就比较简单.     

回归数

有许多数具有这样一种有趣性质:它的十进制表示的各位数字,按照原顺序进行某些数学运算,又可以重新得到该数,这就是回归数,例如:24=23+42,2427=21+42+23+74,81=(8+1)2,145=1!+4!+5!(n!=1·2·…·n).英国数学家哈代(1877-1947)曾经发现过另一种形式的回归数:     

两道数学竞赛题的推广

题1函数f(x)=x2 x 21,x∈[n,n 1](n是整数)的值域中恰有10个不同整数,则n的值为.(第八届“希望杯”高一第1试第25题)分析:将本题中“n是整数”推广为“n是任一实数”,结果如何?解f(x)=(x 21)2 43.当n≥21时,f(x)在[n,n 1]上是增函数,f(n 1)-f(n)=2n 2.若10≤2n 2<11则4≤n<29,此时f(x)的值域中共有10个整数;当n≤-23时,f(x)在[n,n 1]上是减函数,f(n)-f(n 1)=-2n-2若10≤-2n-2<11则-123相似文献   

数式型规律题解析举例

<正>1数列型例1古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫三角数,它有一定的规律性,若把第一个三角数记为a_1,第二个三角数记为a_2…,第n个三角数记为a_n,计算代数式a_(n-1)+a_n的值.解析方法一归纳猜想:已知a_1=1,a_2=3,a_3=6,a_4=10,a_5=15,a_6=21,…∴a_1+a_2=1+3=2²,a_2+a_3=3+6=32,a_2+a_3=3+6=3²,     

邹可飞猜想的证明及推广

邹可飞同学在《中学生数学》2011年2月(下)的文[1]中提出了如下猜想:n55n55=5×(n×2+1)1×10…01(n+1个0).     

10n+1,10n+9型因子的一种判别法

定理1.若一数之末位数砺之n+]倍所粗成之数,与其余数砺所粗成之数之和,Rll孩数为10n+9之倍数.即:例3 .9 6 2 8.01:61为ion+。的倍数,1 4 5 74 24一318一小引.一2若a二iob+e,‘=b+(。+i)‘·, 己:10”+9,员Ua:10二+9. 涎明:ioJ一a=10[b+(。+i)el wea一1 01导+(·+‘,·」一(‘”一+”,二...己:10二+9,(10。+,)。:1 on+9,一n口一丹bs一一8︸臼勺R﹂ a:10。+9. 定理2.若一数之末位数礴之n倍所姐成之数与其余数砺所祖成之数之差,为1。二+1的倍数,Rlj敲数为10n十1的倍数.即若a=10石+e,d二吞一。。,RlJ敲明:61例4.1 12 8 5 7 03:79肠。一。8一…     

数学娱乐圈

数学灯谜在一次元宵节中 ,组织者挂出了如图所示的用红色小灯泡和白色小灯泡组成的灯谜 .假定白色小灯泡表示“1” ,红色小灯泡 (图中带阴影的灯泡 )表示“0” ,这些灯泡表示什么意思 ?答　　案这是一个用二进制组成的数谜 .11110 0 1110 1,10 10 ,1,把它化成十进制数为11110 0 1110 12 =1× 2 10 1× 2 9 1× 2 8 1× 2 7 0× 2 6 0× 2 5 1× 2 4 1× 2 3 1× 2 2 0× 2 1 1=194 9.10 10 2 =1× 2 3 0× 2 2 1× 2 2 0× 2 2 =10 .因此这个灯谜表示 :194 9,10 ,1.这说明 :一九四九年十月一日 ,这是伟大的中华人民共和国诞生之日 .(…     

自生数

定义若一个n位正整数A_n(A_n≠1)的二次幂的末n位数仍为A_n则称A_n为n位自生数。 例如,5~2=25,6~2=36,所以5,6都是一位自生数;25~2=625,76~2=5776,所以25,76都是二位自生数;625~2=390625,376~2=141376,所以,625,376都是三位自生数;……。 自生数显然具有如下性质: 性质1 若A_n为n位自生数,则A_n~2-A_n≡O(mod10~u)。 性质2 任何一个自生数的个位数必为5     

素数等差数列问题

1素数的基本知识自然数中2,3,5,7,11,…称为素数,它们除1与自身外,没有其它因数.其它数,1除外,称为合数.每一个合数可以唯一分解为素数之积,这是算术基本定理.这个定理说明,素数像“砖头”,也像原子.素数在整数中分布很不均匀,例如107570463×102250±1是一对孪生素数.给予整数N,不论多大,都有连续N个数中没有素数.例如(N 1)! 2,(N 1)! 3,…,(N 1)! N 1中就没有素数,这构成一个“黑洞”.因此,寻找素数的规律是古今一大挑战,也很有意思.②欧几里得:素数有无穷多个.(反证法)欧拉:引入∑n1ns(s>1),证明了∑p1p发散,从而素数有无穷.切比雪夫:…     

探索从尝试开始——例谈学生尝试能力的培养

1 由学生解答所引发的思考 引例 1求5n(n为自然数)被6除的余数. 书本提供的解答:按n的奇偶性讨论.当n为偶数时,设n=2m(m为自然数),则5n=52m=[(6-1)2]m=(62-2×6+1)m被6除余1;当n为奇数时,设n=2m+1(m为自然数),则5n=52m+1=52m×5=(62-2×6+1)m×5被6除余5.所以5n(n为自然数)被6除的余数为1或5.     

2002年北京市中学生数学竞赛复赛高一年级试题及参考答案

一、填空题(满分40分) 1.n是正整数,若不超过n的正整数中质数的个数与合数的个数相等,这样的n称为“怪异数”,则“怪异数”的集合是_. 2.已知0≤x,y<π,且则sin(x y)=_. 3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,G是棱CC1的中点,则异面直线AG与BD1所成角的余弦值等于_. 4.已知f(x 1)=|x-1|-|x 1|且f(f(x))=f(2002) 1,则x=_. 5.四面体SABC中,面ABC为等腰直角三角形,其中∠ABC=90°,SC=AB=a,SC⊥面ABC,则棱SB与AC之间的距离等于_.     

奇完全数的几个命题

本文证明形如3m-1的正整数不是完全数,由此推出当所有的qi≡-1(mod 3)时,奇数n=p~αП_(i=1)~sq_i~(2β_i)若是完全数,那么1/2σ(p~α)必是合数.指出k倍完全数的素因子必须满足一个不等式.运用此不等式证明当a≥n-2时形如a~(2~n)+b~(2~n)(a>b>0,a,b,n∈N~+)的奇数不是完全数.还指出当a与b都与3互素时,对于任意的正整数m,n,奇数a~(2~n)+b~(2~m)不是完全数.