关于有理插值函数存在性的确定

在本中，我们利用Newton插值多项式，改进了[1]中的方法，使其能更简便，快速，严谨地判别有理插值函数的存在性，并在其存在时给出相应的插值有理函数的具体表达式。     

关于广义逆的向量连分式插值样条

本文首次引入了关于广义逆的向量有理插值样条的概念．这类插值样条具有Thiele型连分式的截断分式的表现形式．在它的构造过程中,不必用到连分式的三项递推关系,本文得到的新的有效的系数算法具有递推运算的特点．存在性的一个充分条件得以建立．包括唯一性在内的有关插值问题的某些结果得到证明．最后,本文给出了一个精确的插值误差公式．     

矩形网格上的二元切触有理插值

二元切触有理插值是有理插值的一个重要内容,而降低其函数的次数和解决其函数的存在性是有理插值的一个重要问题.二元切触有理插值算法的可行性大都是有条件的,且计算复杂度较大,有理函数的次数较高.利用二元Hermite（埃米特）插值基函数的方法和二元多项式插值误差性质,构造出了一种二元切触有理插值算法并将其推广到向量值情形.较之其它算法,有理插值函数的次数和计算量较低.最后通过数值实例说明该算法的可行性是无条件的,且计算量低.     

具有承袭性的高阶导数有理插值算法

切触有理插值是函数逼近的一个重要内容,而降低切触有理插值的次数和解决切触有理插值函数的存在性是有理插值的一个重要问题.切触有理插值函数的算法大都是基于连分式进行的,其算法可行性是有条件的,且计算量较大.利用Newton(牛顿)多项式插值的承袭性和分段组合的方法,构造出了一种无极点且满足高阶导数插值条件的切触有理插值函数,并推广到向量值切触有理插值情形;既解决了切触有理插值函数存在性问题,又降低了切触有理插值函数的次数.最后给出误差估计,并通过数值实例说明该算法具有承袭性、计算量低、便于编程等特点.     

长方体网格上的三元连分式的插值

本文利用递推公式构造了一个空间长方体网格上的三元连分式的插值公式,插值的存在性和唯一性得到了证明,一个数例说明了插值方法的有效性。     

一类二元有理插值函数的存在性及算法

文[3]构造了对于矩形网格上基于二元Newton插值公式的一类二元有理插值函数,并给出了其存在性的充分条件.本文进一步证明了这类二元有理插值函数存在性的必要条件,特别地,当m=n时,给出了具有三角形结构的系数矩阵的判别方法,该方法计算简便且具有承袭性,文章最后给出的实例说明了方法的有效性.     

二元插值的一般框架

本文通过引进多参数建立了二元插值的一般框架.这样,许多著名的经典插值格式,如Newton插值、分叉连分式插值、对称连分式插值等均可视为本文的特殊情形．     

向量值有理插值存在性的一种判别方法

对于向量值有理插值的计算,目前已经有多种求解算法.但其存在性的判别方法及其证明在现有的文献中还没有见到.这里利用标量有理插值函数插值存在性的思想,引入Newton基函数,给出并证明了向量值有理插值存在性的一种判别方法.同时给出有理插值函数的分子和分母的显式表达式,最后的实例说明了它的有效性.     

样条空间S^13（Δ^（1）mn）上的插值与逼近

本文讨论样条空间Ｓ＾１３上的插值问题，导出了一类插值条件下样条插值的存在性与唯一性结论以及计算插值样条的递推格式，其主要结论是对四阶光滑的函数，插值样条可达２阶逼近度。     

一种广义插值法

本文考虑一种广义插值问题，插值条件为小区间上的积分值，以弥补现有的插值方法在L2空间不再适用的不足，除了多项式插值外，还讨论了两种一次样条插值方法。     

一类不定积分的巧解

讨论一类分母为多项式二次幂的有理分式的特殊积分法,得到积分公式,并加以推广．新方法有别于将有理分式化为部分分式之和的常用方法．     

A new Riccati equation rational expansion method and its application to (2 + 1)-dimensional Burgers equation

In this paper, we present a new Riccati equation rational expansion method to uniformly construct a series of exact solutions for nonlinear evolution equations. Compared with most existing tanh methods and other sophisticated methods, the proposed method not only recover some known solutions, but also find some new and general solutions. The solutions obtained in this paper include rational triangular periodic wave solutions, rational solitary wave solutions and rational wave solutions. The efficiency of the method can be demonstrated on (2 + 1)-dimensional Burgers equation.     

Rational Jacobi elliptic solutions for nonlinear differential–difference lattice equations

In this work, we present a direct new method for constructing the rational Jacobi elliptic solutions for nonlinear differential–difference equations, which may be called the rational Jacobi elliptic function method. We use the rational Jacobi elliptic function method to construct many new exact solutions for some nonlinear differential–difference equations in mathematical physics via the lattice equation. The proposed method is more effective and powerful for obtaining the exact solutions for nonlinear differential–difference equations.     

基于符号数值混合计算的混成系统Lyapunov函数构造

基于平方和松弛和有理向量恢复,提出了一种符号数值混合计算方法来构造多项式Lyapunov函数以判定非线性混成系统的稳定性,首先,为Lyapunov函数预定一个给定次数的多项式模板,则Lyapunov函数构造问题可转化为相应的带参数的多项式优化问题,然后运用平方和松弛方法求得一个近似的数值多项式Lyapunov函数,再应用高斯-牛顿精化和有理向量恢复将数值多项式转化为验证的有理多项式Lyapunov函数.     

二元对角向量值有理插值的算法

首先提出了二元对角向量值有理插值问题,它包括主对角和副对角两种向量值有理插值,并分别给出了主对角线和副对角线上向量值有理插值的两种算法,即直接求系数bi,j的算法和基于Samelson广义逆所定义的特殊初等变换的矩阵算法.然后构造了在预给极点情况下求主对角线和副对角线上向量值有理插值的矩阵算法.最后给出多个数值例子说明上述算法的有效性.     

关于完全三角和估计的华罗庚方法

完全有理三角和就是如下形式的和式 Ｓ（ψ，ｑ）＝Σ＾ｑｘ＝１ｅｑ（ψ（ｘ））， 其中ψ（ｘ）是整系数的多项式。许多作者得到了关于Ｓ（ψ，ｑ）的估计的结果。本文发展了华罗庚方法并研究了如下形式的完全有理三角和 Ｓ（Ｒ，ｑ）＝Σ＾ｑｘ＝１ｅｑ（Ｒ（ｘ）），     

Rational Krylov for Nonlinear Eigenproblems,an Iterative Projection Method

In recent papers Ruhe suggested a rational Krylov method for nonlinear eigenproblems knitting together a secant method for linearizing the nonlinear problem and the Krylov method for the linearized problem. In this note we point out that the method can be understood as an iterative projection method. Similarly to the Arnoldi method the search space is expanded by the direction from residual inverse iteration. Numerical methods demonstrate that the rational Krylov method can be accelerated considerably by replacing an inner iteration by an explicit solver of projected problems.     

有理曲线和曲面的分片多项式逼近

本文利用摄动的思想,以摄动有理曲线（曲面）的系数的无穷模作为优化目标,给出了用多项式曲线（曲面）逼近有理曲线（曲面）的一种新方法．同以前的各种方法相比,该方法不仅收敛而且具有更快的收敛速度,并且可以与细分技术相结合,得到有理曲线与曲面的整体光滑、分片多项式的逼近．     

Rational General Solutions of Trivariate Rational Differential Systems

We generalize the method of Ngô and Winkler (J Symbolic Comput 46:1173–1186, 2011) for finding rational general solutions of a plane rational differential system to the case of a trivariate rational differential system. We give necessary and sufficient conditions for the trivariate rational differential system to have a rational solution based on proper reparametrization of invariant algebraic space curves. In fact, the problem for computing a rational solution of the trivariate rational differential system can be reduced to finding a linear rational solution of an autonomous differential equation. We prove that the linear rational solvability of this autonomous differential equation does not depend on the choice of proper parametrizations of invariant algebraic space curves. In addition, two different rational solutions corresponding to the same invariant algebraic space curve are related by a shifting of the variable. We also present a criterion for a rational solution to be a rational general solution.