特殊集上素变数方程的解

令n=e_0+e_12+…+e_k2~k,其中e_j=0,1(j=0,…,k)表示自然数n的二进制展开式,N_0表示二进制展开式中项数为偶数的自然数的集合.分别给出了这个特殊集上素变数方程p_1+p_2+p_3~k=N和p_1+p_2~2+p_3~2+p_4~2=N解的个数的渐近公式.     

回归数

有许多数具有这样一种有趣性质:它的十进制表示的各位数字,按照原顺序进行某些数学运算,又可以重新得到该数,这就是回归数,例如:24=23+42,2427=21+42+23+74,81=(8+1)2,145=1!+4!+5!(n!=1·2·…·n).英国数学家哈代(1877-1947)曾经发现过另一种形式的回归数:     

智慧窗

<正>1迎接新一年将下列各式中的汉字分别换成30以内的自然数,建立四个等式:(1)迎~2+接~2+二~2+零~2+二~2+零~2+年~2=2020;(2)迎~2+二~2+零~2+二~2+零~2+年~2+祝~2+本~2+刊~2+越~2+办~2+越~2+好~2=2020;(3)新一年×本+刊更÷加-精彩=2020;(4)想~2+学~2+好~2+数~2+学~2+就~2+阅~2+本~2+刊~2=2020.     

数论问题

(续上期 )例 9　证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证　论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β…     

算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

用二次曲线定义解无理方程

解无理方程的常用方法是使方程有理化,但对于一些特殊的无理方程,如果盲目乘方,往往会招致繁琐的运算。这就需要根据题中的一些特殊条件,采用特殊的解法。而利用二次曲线的定义,将无理方程转化为二次曲线的标准方程是值得注意的解题方法,现举几例介绍如下: 例1 解方程 x~2-10(3~(1/2))x+80+(1/2)x~2+10(3~(1/2))x+80=20 解:原方程可化为:(x-5(3~(1/2))~2+5~(1/2)+(x+5(3~(1/2)))~2+5~(1/2)=20令y~2=5,则原方程为:(x-5(3~(1/2))~2+y~2)~(1/2)+(x+5(3~(1/2))~2+y~2~(1/2)=20。此方程表示动点P(x,y)到两定点(5(3~(1/2)),0)、(-5(3~(1/2)),0)的距离之和为20,故它表示椭圆。     

一类组合数求和问题换元解法

组合系数成等差数列的组合数求和问题的解法很多,本文着重研究如何运用自身变换的方法解答此类问题。先从组合系数自然连续这种特殊情形谈起。例1,求和C_5~1+2C_5~2+3C_5~3+4C_5~4+5C_5~5 解.设S=C_5~1+2C_5~2+3C_5~3+4C_5~4+5C_5~5 (1) 根据组合数的性质C_n~m=C_n~(n-m),则有     

SL(3,3~n)和SU(3,3~n)的第一Cartan不变量

确定Cartan不变量是代数群与相关的李型有限群的模表示理论中的一个重要方面.作者利用代数群模表示理论中的一系列结果,计算了3~n个元素的有限域上特殊线性群SL(3,3~n)和特殊酉群SU(3,3~n)的第一Cartan不变量,得到如下结论:当G=SL(3,3~n)时,C_(00)~((n))=a~n+b~n+6~n-2·8~n;而当G=SU(3,3~n)时,C_(00)~((n))=a~n+b~n+6~n-2·8~n+2·(1+(-1)~n),其中a,b是多项式x~2-20x+48的两个根.另外,作者也得到了射影不可分解模U_n(0,0)的维数公式:dim U_n(0,0)=(12~n-6~n+∈)·3~(3n),其中,当G=SL(3,3~n)时,∈=1;而当G=SU(3,3~n)时,∈=-1.     

说说平方数

<正>说起平方数(也叫正方形数),同学们都很熟悉,如1,4,9,16,…都是平方数.那么,平方数都有哪些性质呢?下面就归纳总结一下,供同学们赏析.(一)任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和.如4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15等.那么,什么是三角形数呢?可以表示为1+2+3+…+n(n为正整数)的形式的数称为三角形数,如1,3,6,10,15,…都是三角形数,     

平方数的末两位数的简易求法

43、93、57、7是四个不同的整数,然而它们平方数的末两位数却相同: 43~2=1849,93~2=8649,57~2=3249。7~2=49。这些平方数的末两位数都是49。经研究发现:只要两整数的和或差是50的倍数,则这两整数的平方数的末两位数相同。上述四数的后三数与前一个数的和差关系是: 63-43=50,57+43=2×50,7+43=50。都是50的倍数,它们平方后的末两位数相同。为什么这样凑巧呢?理由如下, 设a~2-b~2=(a+b)(a-b) 故当a+b或a-b是50的倍数时,因为a+b     

华林-哥德巴赫问题:两个平方,两个立方和两个四次方

令P_r表示素因子不超过r的殆素数,按重数计.作者证明了对于充分大的偶数N,方程N=x~2+p_1~2+p_2~3+p_3~3+p_4~4+p_5~4有解,其中x是殆素数P_6,p_j(j=1,…,5)是素数.     

贺新春

<正>下列各式中的不同汉字,各代表什么自然数,你能写出一组答案吗?(1)恭~3+贺~3+新~3+春~3+佳~3+节~3=2018;(2)祝~2+贺~2+读~2+者~2+春~2+节~2+好~2=2018;(3)读~2+者~2+喜~2+欢~2+中~2+学~2+生~2+数~2+学~2=2018.     

有趣的总合号

<正>在学习数学时,如统计、数列或微积分中经常遇到若干数(或单项式)相加的式子a_1+a_2+…+a_n,为了书写方便,常把上式记作n∑(i=1)a_i或∑(1≤i≤n)a_i,即a_1+a_2+…+a_n=n∑ (i=1)a_i=∑(1≤i≤n)a_i.上面式中的记号∑表示关于数连加求和,称为总和号,∑是一个大写的希腊字母,读作sigma,a_i表示一般项,i是整数,称为求和     

“智慧数”的自白

我叫智慧数 ,是正整数王国的一个组成部分 .我的特征是能表示为两个不同正整数的平方差 ,比如 2 4=72 -5 2 ,2 4就是一个智慧数 .细心、好奇的同学通过观察运算会发现 ,我在正整数王国里出现是很有规律的 .1是最小的正整数 ,它不能表示为两个不同正整数的平方差 ,所以 1不是智慧数 .对于大于 1的奇正整数 2ｋ + 1 ,有 2ｋ+ 1 =(ｋ+ 1 ) 2 -ｋ2 (ｋ =1 ,2 ,… ) ,所以大于 1的奇正整数都是我的家庭成员 .被 4整除的偶数 4ｋ,总有 4ｋ =(ｋ+ 1 ) 2 -(ｋ-1 ) 2 (ｋ=2 ,3,4,… ) ,即大于4且是 4的整数倍的数都是智慧数 ,而 4不能表示为两个不同…     

换数二则

1　数 学 +武 讯 +通 讯 =数学通讯(不同字 ,不同数 ,下同 )2　我 数 +爱真 +数讯 +学 数 +通 讯 +讯 真 =我爱数学通讯答案 :1　 2 9+74 +14 =2 914;2　 5 1+32 +16 +41+96 +62 =5 31496.换数二则$上海行知中学@徐孝舜!201900     

问题与解答

一、本期问题 1 关于x的二次方程ax~2+bx+c=0 (1)和-ax~2+bx+c=0 (2),如果x_1、x_2分别是方程(1)和(2)的某一非零根,求证方程ax~2/2+bx+c=0总有一根x_0在x_1、x_2之间。 2 设a、b、c为任意实数,且1+ab、1+bc、1+ca≠0,求证(b-c)/(1+bc)+(c-a)/(1+ca)+(a-b)/(1+ab)=(b-c)(c-a)(a-b)/(1+bc)(1+ca)(1+ab) 3 复数z、a、x满足关系x=(a-z)/(1-az),且|z|=1,求证|x|=1。安徽庐江乐桥中学陈学能提供 4 解方程组2~(1/2)(x-y)(1+4xy)=3~(1/2) x~2+y~2=1 5 已知某自然数的立方为77*******7 (*表示数字,可以不相同),求这个自然数。福建福州仓门口5号林章衍提供 6 求证: (1) (C_(1984)~0-C_(1984)~2+C_(1984)~4-C_(1984)~6+…)~2=2~(1984),     

常用对数的首数与尾数性质解题应用

我们知道,任意正数x的常用对数都可表示为首数n与尾数a和的形式:lgx=n+a,反之,x=10~(n+a),其中n为整数,a满足0≤a<1。利用这一性质可以解决不少中学数学中涉及对数的题目,特别是竞赛题。     

Peterson公式等的推广

设P_w(i)为 steenrod代数的Milnor基元P~(0’…’0’t’0'…),i在序列的第S个位置上,s≥1.P_s(r_1,r_2,…)表示Milnor 基元P~(0’…’0’r_1’0'…’r_2…),r_i在序列的第is个位置上.令 P_s=1+P_s(1)+P_s(2)+…(_R~r)=(_1~r)~r1(_2~r)~r2…,规定0~0=1,其中 R=(r_1,r_2,…).当s=1时,P_s即P=1+P~1+P~2+…,而P_s(R)即P~R.Peterson F.P. 在文[3]中得出: