三种圆锥曲线定义中若干关键点浅析

圆锥曲线是高中平面解析几何的重要内容.圆锥曲线定义是圆锥曲线的核心与灵魂,正确理解和掌握圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线有关问题的关键。根据笔者的体会,只要抓住了圆锥曲线定义中的若干“关键点”。理解圆锥曲线的定义也就变得十分简单了.     

重视圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线的定义是圆锥曲线最本质的属性,它揭示了圆锥曲线存在的条件及其所包含的几何性质,恰当地运用圆锥曲线定义进行解题不但加深对概念的理解,而且还可以起到以点带面、事半功倍的作用．由于圆锥曲线的第二定义超出现行上海教学大纲,故下面一些举例都是圆锥曲线的第一定义出发．下面从五个方面说明：     

通径是圆锥曲线最短的焦点弦

<正>1.定义焦点弦过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于A、B两点,则线段AB叫做该圆锥曲线的焦点弦.通径与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.2.性质通径是圆锥曲线最短的焦点弦.     

圆锥曲线的几个统一性质

椭圆、双曲线、抛物线有统一定义：到一定点的距离与到一定直线的距离之比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线．当0〈e〈1时,圆锥曲线是椭圆;当e=1时,圆锥曲线是抛物线;当e〉1时,圆锥曲线是双曲线．     

圆锥曲线直径的一个有趣性质

与圆的直径相仿,经过有心圆锥曲线中心的弦叫做圆锥曲线直径,经研究,它有如下一个有趣的统一性质:定理AB是经过圆锥曲线x2m+y2n=1(mn≠0,m,n不同时为负)中心的弦,P是圆锥曲线上异于A,B外的任意一点,PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-nm(当m=n>0时,圆锥曲线是圆;当m>0,n>0,m≠n时,圆锥曲线是椭圆;当m和n异号时,圆锥曲线是双曲线).     

圆锥曲线的一个重要性质及应用

众所周知,圆锥曲线的离心率ｅ是用来刻画圆锥曲线形状的一个重要特征量,不同的圆锥曲线有着不同的离心率;椭圆型圆锥曲线　０＜ｅ＜１抛物线型圆锥曲线　ｅ＝１双曲线型圆锥曲线　ｅ＞１笔者通过研究发现,圆锥曲线还存在着一个与离心率ｅ相类似的重要性质;为了叙述方便,首先给出一个定义;定义１：过圆锥曲线内接三角形的三个顶点的三条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的切线三角形;定理：圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比记为△,则（Ⅰ）椭圆型圆锥曲线　０＜△＜２（Ⅱ）抛物线型圆锥曲线　△＝２（Ⅲ）双曲线…     

圆锥曲线中最值问题的求解策略

<正>圆锥曲线中的最值问题是解析几何中常见的问题,既是高考的热点问题,也是难点问题之一,解决这类问题的常用策略主要有:圆锥曲线定义转化法、切线法、参数法、函数法和基本不等式法等.策略一、圆锥曲线定义转化法圆锥曲线定义转化法就是根据圆锥曲线的定义,把所求的最值问题转化为平面上两点之间的距离、点到直线的距离等等,这是求圆锥曲线最值问题的基本方法,其关键是用好圆锥曲线的定义.     

活用圆锥曲线的定义巧解一类高考试题

圆锥曲线是解析几何中的最重要的部分,也是高考中必考的难点内容,尤其是圆锥曲线与向量的交汇,很好地考查了学生利用数形结合思想解决问题的综合能力.笔者针对最近出现的高考试题,谈谈灵活应用圆锥曲线定义解决直线与圆锥曲线综合问题的巧妙简捷解法.     

关注圆锥曲线中的三类弦问题

圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线的位置关系的重要知识背景,因此抓住圆锥曲线的有关特征弦,是解决这类问题的关键,圆锥曲线中主要以焦点弦、原点弦、中点弦等进行考查,下面采撷六例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

一道质检题的优解及推广

圆锥曲线的几何性质深刻地揭示了圆锥曲线的本质特征,是圆锥曲线基本(几何)性质的进一步发展,而圆锥曲线几何性质的证明,又往往能很好地体现解析几何的思想与方法.2010年福建省质检理19题,就是一道以圆锥曲线几何性质为背景,考查学生合情推理的能力,考查学生的探究精神和创新意识的好试题.     

圆锥曲线焦点弦弦长定理及其应用

所谓圆锥曲线的焦点弦,就是一直线经过圆锥曲线的焦点且与圆锥曲线相交于两点所成的线段。焦点弦弦长公式可由下面的定理和推论给出。定理苦e是圆锥曲线的离心率,p是焦点到准线的距离,则与圆锥曲线的对称轴的夹角为θ的焦点弦的长为:l=2ep/(1-e~2cos~2θ) 证明:如图1, 以圆锥曲线的焦点F为极点O,焦点向准线所作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系,则圆锥曲线的极坐标方程     

介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式

我们通常把圆锥曲线上的点P与圆锥曲线的焦点F的连线段PF称为圆锥曲线过点P的焦半径.在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题时,经常需要计算焦半径的长,且"工程量"往往较大;如何简化其计算过程,缩短解题长度是大家共同的心愿.本文介绍一组优美的求圆锥曲线焦半径的计算公式,供大家参考.     

也谈圆锥曲线的“保型性”和“保形性”

“数学通讯”1986年第9期发表的“圆锥曲线保型性定理的别证与修改”一文中,给出了如下定理:过定点 M(x_0,y_0)作圆锥曲线Γ(指非退化曲线,M 非Γ的中心)的割线,则割线被圆锥曲线截得的动弦的中点轨迹Γ′是和原圆锥曲线同类型的圆锥曲线(或圆锥曲线的部分弧);且两者具有相同的离心率.     

探析生活中的圆锥曲线

圆锥曲线可以说是一个伟大的发现,笛卡尔为我们研究圆锥曲线提供了一个好的“环境”,把这些曲线放入一个直角坐标系中,这为我们研究圆锥曲线提供了便利.本文拟探析我们日常生活中的一些圆锥曲线,供参考.     

对一道考题蕴含统一结论的探究

圆与圆锥曲线是解析几何中重要的组成部分,它们属于不同的曲线类型,通过学习我们知道圆锥曲线的生成与圆有着密切的关系.在2014年的高考题中笔者发现一道圆锥曲线问题中蕴含着一组统一的性质,和圆有着神奇的联系,展现圆与圆锥曲线的完美结合.     

一道高考压轴题引发的圆锥曲线定点问题探究

圆锥曲线中的定点问题是高考常见考点,本文从一道高考题入手,研究过圆锥曲线上一点作张角为直角所对的弦,证明弦所在直线过定点,得出圆锥曲线定点的一组性质.     

圆锥曲线“准点”的又一个性质

圆锥曲线准线和对称轴的交点叫做准点.文[2]在文[1]的基础上推出了几个十分新颖的性质,其中定理1是:F是横向型圆锥曲线焦点,E是与焦点F相应的准线和对称轴的交点,经过E且斜率是k的直线交圆锥曲线于A,B两点,e是圆锥曲线的离心率,若     

圆锥曲线切点弦所在直线方程

为什么讨论圆锥曲线的切线问题?一方面,圆内已讨论切线问题,学生自然就会探索其他圆锥曲线的切线问题;另一方面,导数知识的加入,也使研究圆锥曲线的切线更成为可能.本文约定:圆锥曲线的内部:包括焦点(或圆心)的圆锥曲线所围成的平面区域;圆锥曲线的外部:不包括圆锥曲线及圆锥曲线的内部的平面区域.若自点P0(x0,y0)可作二次曲线的两切线,两切点所连线段叫做点P0于此曲线的切点弦.     

回归定义妙解高考题三例

近年来涉及圆锥曲线焦点弦问题成为高考热点,常规思路是设焦点弦所在直线方程与圆锥曲线方程联立求解,运算量大且非常繁琐．若能回归圆锥曲线定义及解直角三角形则问题迎刃而解,有事半功倍之效．下面举例如下：     

关于圆锥曲线统一定义的教学

用点的集合(或轨迹)的观点去统一定义除圆以外的圆锥曲线,既可以使学生掌握“圆锥曲线是与定点和定直线距离之比为常数e的点的集合”这一本质属性,进而深入理解几种圆锥曲线的区別与联系以及各自的几何性质,又可以利用统一定义去简便地解决一部分有关圆锥曲线的问题。因此搞好圆锥曲线统一定义的教学,是非常重要的。但教材中这部分的内容