圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

圆锥曲线“准点”的又一个性质

圆锥曲线准线和对称轴的交点叫做准点，文[2]在文[1]的基础上推出了几个十分新颖的性质，其中定理1是：     

圆锥曲线两个性质的推广

《数学通报》2 0 0 2年第 6期文 [1 ]给出了圆锥曲线的如下两个性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .性质 2　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,点Ｃ在Ｌ上 ,直线ＡＣ平分线段ＥＦ ,则ＢＣ∥ＦＥ .本文旨在将以上两个性质进行推广 ,即若将性质中的焦点Ｆ推广为圆锥曲线 (包括圆 )对称轴上的任意一定点 ,是可得如下若干结论 ,1　性质 1的推广定理 1…     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质:已知A,B是圆锥曲线C上关于x轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E,则直线AE恒过曲线C的(与准线相对应的)焦点F.显然,AE是圆锥曲线的一条焦点弦.通过研究该性质的逆命题,我们可以得到如下的与焦点弦有     

圆锥曲线一个有趣性质的再推广

文[1]中给出了如下性质:性质过圆锥曲线E的一个焦点F的任一直线(不与焦点所在坐标轴重合)交E于不同两点,和另一焦点F′相对应的顶点与这两点的连线分别和F相对应的准线交于另两点,则以准线上     

圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

圆锥曲线两个性质的统一推广

文[1]给出了与圆锥曲线焦点和准线相关的两个性质．文[2]仅将性质中的焦点推广为圆锥曲线对称轴上任意一定点，得到了十个定理．本文旨在将这两个性质作进一步推广，即将性质中的焦点推广为圆锥曲线所在平面内任意一定点，并给出一个统一形式的推广定理．     

圆锥曲线一个有趣性质的统一简证与再推广

《数学通报》2012年第2期刊登的《圆锥曲线一个有趣性质的再推广》一文(文[1])给出了圆锥曲线一个统一的美妙性质(本文称之为定理): 定理设圆锥曲线E的一个焦点是F,相应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、B两点,C是E上任意一点,直线CA、CB分别与准线l交于M、N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.     

圆锥曲线“准点”的几个性质

定义圆锥曲线准线与其对称轴的交点叫做准点,经过准点的直线被圆锥曲线截得的弦叫做准点弦。 准点（准点弦）和焦点（焦点弦）一样，具有许多性质，文[1]介绍了与准点弦有关的几个有趣结论。在它们的启示下，笔者对准点作了深入的研究，又得到了与准点有关的几个性质，现论述如下，供读者参考。     

对圆锥曲线一个统一性质的修正

文[1]在对椭圆的一个性质进行详细研讨后,给出了一个圆锥曲线的统一性质——推广2,现摘抄如下： 推广2若点C是圆锥曲线焦点弦一端点与x轴上一定点P的连线与相应准线的交点,则焦点弦的另一个端点与点C的连线必过x轴上的定点Q,该定点满足点P,焦点F,点Q到准线的距离的倒数成等差数列。     

抛物线的两个直角性质

本文介绍抛物线的两个直角性质,供读者参考.定理1经过抛物线y2=2px(p>0)的准线和对称轴的交点E作斜率为k的直线,与抛物线的一个交点是P,F是抛物线的焦点,若∠EPF=     

圆锥曲线一个性质的再次推广

文[1]中给出了如下性质：性质1过圆锥曲线S的一个焦点F的任一直线（不与焦点所在坐标轴重合）交S于不同两点,和另一焦点F’相对应的顶点与这两点的连线分别和F相对应的准线交于另两点,则以准线上这两点为直径端点的圆必过S的焦点F．     

圆锥曲线的一个几何特征

由圆锥曲线的定义很容易得出圆锥曲线的如下几何特征 ,利用这一性质可将文[1 ][2 ]中的命题进行推广 .定理　经过圆锥曲线准线上一点的直线 ,与该曲线交于两点 ,这点与相应焦点的连线平分焦点张两交点的角或其邻补角 .证明　设圆锥曲线的离心率为 e,一焦点为 F,相应的准线为 l,M为准线上任意一点 ,过 M的直线与圆锥曲线交于 P、Q两点 ,这两点在准线上的射影为 R、S.如图 1中 ,图 (甲 )为 e≤ 1 ,图 (乙 )为 e >1的情况 .图 1由圆锥曲线的定义及平行线的性质得 :| PF|| QF| =e| PR|e| QS| =| PR|| QS| =| PM|| QM| .由三角形的内 (…     

圆锥曲线中一组平行弦的性质

笔者在认真阅读贵F刊2007年第7期时,对《抛物线中一个有趣的等差数列》一文颇感兴趣,在学习之后,试图类比研究椭圆、双曲线的相关性质,现将所得结果与读者共享.在文(1)中有定理F是抛物线的焦点,E是抛物准线与对称轴的交点,O是抛物线的顶点,过F的直线交抛物线于A、B两点,过点O的     

圆锥曲线焦点弦与相应准线的关系

文[1] 探讨了抛物线焦点弦与其准线之间的性质,耐人寻味.笔者经过探究,圆锥曲线焦点弦与焦点相应准线存在如下一些性质.……     

圆锥曲线焦点弦弦长定理及其应用

所谓圆锥曲线的焦点弦,就是一直线经过圆锥曲线的焦点且与圆锥曲线相交于两点所成的线段。焦点弦弦长公式可由下面的定理和推论给出。定理苦e是圆锥曲线的离心率,p是焦点到准线的距离,则与圆锥曲线的对称轴的夹角为θ的焦点弦的长为:l=2ep/(1-e~2cos~2θ) 证明:如图1, 以圆锥曲线的焦点F为极点O,焦点向准线所作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系,则圆锥曲线的极坐标方程     

抛物线的一个黄金分割比

本文介绍抛物线的一个黄金分割比,供读者参考.定理经过抛物线y2=2px(p>0)的准线和对称轴的交点E作斜率为k的直线与抛物线的一个交点是P,F是抛物线的焦点,若∠EPF=90°,则     

圆锥曲线焦点弦长的一个公式及应用

定理设倾斜角为α的直线经过对称轴与坐标轴平行(重合)的圆锥曲线的焦点F,且与圆锥曲线交于A,B两点,记圆锥曲线的离心率为e,焦点F到相应准线的距离为p,则1)当焦点在与x轴平行(重合)的对称轴上时,弦AB的长AB=1-2e2pceos2α;2)当焦点在与y轴平行(重合)的对称轴上时,弦AB的长AB=1-     

圆锥曲线中一个漂亮的统一性质

近日笔者在学习和教学中发现了圆锥曲线中一个漂亮的性质,现与大家分享.性质1若抛物线y2=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为A,过点A作抛物线的一条割线交抛物线于B,C两点,过焦点F作与割线的倾斜角