一道数学名题的推广

一位商人有一个40磅重的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1到40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少?这个问题就是著名的数学名题“德·梅齐     

关于“天平”数列的构造——梅齐里亚克问题研究

法国数学家梅齐里亚克１６２４年出版的《组合数学游戏》一书中,有一则问题：一个商人有一个４０磅的砝码,由于跌落在地面而碎成４块．后来,称得每块碎片都恰是整数磅,并可用这４块来称从１到４０磅之间的任意整数磅的重物．问各块碎片的重量．提供的解法是：例如有一系列砝码Ａ、Ｂ、Ｃ,…把它们适当地分放在天平两个托盘上,能称出１至ｎ所有整数磅重物．设有一块砝码,它的重量ｐ（磅）超过原有砝码的总和,其超过量为ｎ＋１磅,即　ｐ－ｎ＝ｎ＋１,则　ｐ＝２ｎ＋１,那么,原来所有砝码,再加ｐ所组成的砝码组,便能称出从１到ｐ…     

一个砝码问题的数学证明

1　砝码问题　有一家村店 ,店里有一架天平 ,四个砝码 ,店主人夸口说 :用这四个砝码 ,我能称出所有从 1两到 4斤的物品 .村里人不信 ,有人报了几个数字 :1斤 2两、3斤 8两、7两、2斤6两… ,店主人一一把这些重量的物品称了出来 ,没人能难住他 .那么 ,这四只砝码本身分别有多少重呢 ?2　问题的解答　这四个砝码的重量分别是 1两、3两、9两、2斤 7两 ,并且是唯一的 .3　数学模型的建立　下面构造此类问题的数学模型 .设Ａ为 -ｎ个自然数的数列 :ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｉ,… ,ａｎ;ａｉ 为Ａ的一般项 .设Ｂ为一整数有限集 ,元素个数为ｍ .我们用…     

达·芬奇的“砝码”问题

同学们,你知道达·芬奇是何许人吗？达·芬奇（１４５２－１５１９）是意大利文艺复兴时期著名的画家．他的许多杰作,如《最后的晚餐》、《蒙娜·丽莎》等都是艺术中的瑰宝,名扬四海！人们都熟知这位艺术大师,但却很少有人知道他对数学也很感兴趣呢！下面著名的“砝码”问题就是他最感兴趣的数学问题之一,数百年前,不少数学家也对这个问题作过研究．“要在天平上称的重物都是整数磅的,并且重物的重量都不超过４０磅．问：至少需要几个砝码？它们各重多少？请同学们先想一想,再看下面的解答．为了达到题目的要求,砝码的重量要慎重选…     

母函数的应用

<正> 现讨论一个问题:营业员在用天平(而不是秤)卖东西时,应用怎样的砝码最佳,以及用多少砝码最佳。假定所卖东西的重量都是重量1的正整数倍。命题1 用一组重量为1,2,4…,2″,…的砝码放在天平的一边秤盘上,可称出重量1     

漫画趣题

第一题有三个质数的和为800,它们积的最大数是多少?第三题 把6只燕子和5只麻雀合在一起称:恰好重500克.把6只囊子和5只麻雀分开称,重量不同.可是,如果把1只燕子和1只麻雀交换过来,那么5只燕子和】只麻雀的重量正好等于4艮麻雀和1只燕子的重量.问燕子、麻雀每只重多少? j 第二题 现有3个容器,容积分别是12升、7升和5升.12升的容器装满了酒,7升和5升是空的.如何用这3个容器把酒分成两个6升?第四题 把100分成这样4个数:第一个数加上4,第二数减去4,第三个数乘以4,第四个数除以4,结果都相等. 求这4个数.漫画趣题答案 第一题 318394. 由于三个质数…     

关于正方形的勾股剖分

将一个正方形剖分成n个勾股形（即三边长都是整数的直角三角形），n的最小值是多少？这是一个有趣的未解决的问题［fi．1968年，人们找到了将正方形剖分成5个勾股形的一个剖分图，如图1．那么n的最小值是否就是5呢？本文将回答这个问题．定理如果正方形可剖分成n个勾股形，那么n＞5．在证明定理之前，先介绍两个引理．引理1【'」三边长都是整数，底边上的高等于底边的整边三角形不存在．gi理2如图2，E、F分别在正方形儿汉D的边AD、CD上，则剖分三角形bABE、西汉F、凸n双、bEBI；'不可能都是勾股形．证明假设4个剖分三角形都是勾股形，…     

“找较重硬币问题”到底哪种方案最优?

1问题提出在一节课题为《算法的含义》的校内公开课上,开课教师使用了这样一个问题作为情境引入.问题现有9枚硬币,已知其中一枚略重,其他8枚重量相同,要求使用天平(不用砝码)将略重的那枚硬币找出来,请你设计一个方案,并说出具体操作步骤.使用这个问题情境的目的是为了通过具体生活实例让学生体会算法的思想.此问题一抛出,教室顿时炸     

n个平面分割空间的块数

一、问题的提出 　　某大学一研究生向我校老师提出这样一个问题:空间n个平面最多可把空间分成几块? 　　1个平面分成2块,2个平面分成4块,3个平面分成8块,4个平面或更多时就很难想象得出了.必须用科学的方法才行.为此,我们确定了由简到繁,由特殊到一般的思路,即先降维,再升维.……     

具有四个不同特征值的竞赛矩阵

设A是n阶竞赛矩阵，k是非负整数。文[3]刻划了恰好有三个不同特征值的n阶竞赛矩阵，文[4]刻划了恰好有四个不同特征值并且0作为一个一重特征值的n阶竞赛矩阵。在这篇文章中我们主要研究了两个问题：（1）讨论当k是A的特征值时A的性质。（2）刻划恰好有四个不同特征值并且k作为一个一重特征值的全部n阶竞赛矩阵。     

四阶幻方是怎样算出来的(二)

<正>我们知道,图1是用1～16这16个连续整数组成的一个四阶幻方:它的每一行、每一列及两条对角线上,四个整数的和都等于34.现在,我们问:有没有一个四阶幻方它的每行、每列及两条对角线上,四个数的和是任意一个常数(整数或有理数或无理数等)?答案是肯定的.仔细观察图1中的整数10,12,14,16这四个数,分别加上任意一个数x,     

公正赔偿

1.丰海公司的一辆载重汽车撞到一棵树上,满满一车仿古青瓷花瓶全部破碎.丰海公司经理大象和保险公司经理熊猫为赔偿数量争执不下. 2.黑猫警长赶到现场.他爬上车厢,用几片瓷瓶碎片拼凑成了一个花瓶.命银犬称称它的重量,又称了称所有碎片的重量. 3.银犬将这几件事办完后,报告说:"一个花瓶重2.5千克,所有碎片重1.5吨."     

一概率问题解答的商榷

本刊[1]总结了2010年高考概率问题与其它知识的交汇,读后深受启发,但文中例4的解答值得商榷,原文如下:例4(2010广东理)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频     

一概率问题解答的商榷

本刊[1]总结了2010年高考概率问题与其它知识的交汇,读后深受启发,但文中例4的解答值得商榷,原文如下：例4（2010广东理）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克）,重量的分组区间为（490,495],（495,500],…,（510,515],...     

浅谈一类排列、组合问题的解法

1 基本模型。命题把一个圆面分成n个扇形区域，并把这n个扇区依次编以1-n的标号，若用m种不同的颜色去涂这n个扇区，要求每个扇区只涂一种颜色，且相邻的扇区不同色，则不同的涂色方法共有(m-1)[(m-1)^n-1 (-1)^n]种，其中m≥2，n≥2，m，n均是整数．     

切披萨

正一个星期六早上,妈妈买来一个圆圆的大披萨。闻着那香喷喷的味道,我的口水都快流出来了。我拿起刀准备切披萨,但妈妈拦住我,笑着说:"这个披萨切1刀可以分成2块,切2刀最多可以分成4块,那么,切3刀最多可以分成几块呢?"我想了想,自信地回答:"切3刀最多可以分成6块,我画给你看。"     

2011年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分40分)如图1,P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点.若∠BPA=∠DPA,证明:∠AQB=∠CQB.二、(本题满分40分)证明:对任意整数n≥4,存在一个n次多项式     

不定方程x_1~3 x_2~3 x_3~3 x_4~3=0的整数解的一个必要条件

伍伟东同学这篇文章,是对不定方程“x_1~3 x_2~3 x_3~3 x_4~3=0的整数解”这一难而又有趣味的问题的一个探讨,指出了“此方程的每组整数解的四数之和必为6的倍数”。对于高一学生来说,能得到这一结果,说明他具有很强的运用所学知识解决问题的能力。     

与整数有关的含参数一元二次方程的解法

对于一个含参数的一元二次方程，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析．这里经常要用到一些整除性质．一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点，但其解法仍然是有章可循的．     

令人着迷的质数

一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外，不能被其他正整数所整除，这个整数就叫质数（也称素数）．如2、3、5、7、11等都是质数．而另一个事实是，人类在很早以前就认识了质数，极具说服力的是现藏于比利时布鲁塞尔自然历史博物馆的两块出土骨头．这两块从非洲刚果爱德华湖畔的一个小渔村发掘出来的骨头，经考古学家采用现代科学方法鉴定推测，是公元前九千年到前六千五百年之间古代非洲人用来雕刻或书写的工具，一端的把手刻有规则的刻痕，在另一端有一小块石英．