探究抛物线阿基米德三角形

大家知道阿基米德对物理的影响,其实在高中数学中也有阿基米德的影子．抛物线阿基米德三角形如下定义：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线所围成的三角形被称为抛物线阿基米德三角形．阿基米德最早利用逼近的思想证明了有关性质：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二．     

由抛物线的阿基米德定理引出的几个命题

定义［１］：过抛物线弦的两端的切线与弦所围成的三角形称为阿基米德三角形,弦叫做阿基米德三角形的底边阿基米德定理［１］：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴,与底边平行的中位线是抛物线的一条切线,切点是底边上的中线与这条切线的交点．本刊１９９７年...     

圆锥曲线的阿基米德定理

圆锥曲线的阿基米德定理叶挺彪（浙江瑞安任岩松中学３２５２０２）把过圆锥曲线的弦（在曲线内部的有限部分的线段［２］）的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．其中，弦称为这三角形的底边．文［１］给出了抛物线的阿基米德定理，即定理１阿基米德三角形底...     

也谈抛物线的阿基米德三角形的性质

过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做这三角形的底边，其他两边叫做这三角形的腰，两腰的公共端点叫做这三角形的顶点．文［１］给出了抛物线的阿基米德三角形的三条性质．本文提供另外的两条性质．我们需要下面的引理１自抛物线ｙ２＝２...     

有心圆锥曲线的阿基米德定理的统一证法

有心圆锥曲线的阿基米德定理的统一证法孔繁秋（厦门市禾山中学３６１００９）过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形，弦叫做这三角形的底边．文［１］给出了抛物线的阿基米德定理，文［２］给出了圆锥曲线的阿基米德定理的统一表述，即定理圆锥曲...     

抛物线的内接三角形面积的最大值探求

给定一条抛物线和它的一条定长的动弦,如何探求以动弦为一边,另一个顶点在抛物线的弓形弧上的内接三角形面积的最大值呢？本文就这个问题进行研究．为了叙述的方便,我们给出如下定义．定义［１］过抛物线弦的两端的切线与弦所围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做阿...     

再谈抛物线的阿基米德三角形的性质

过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做这三角形的底边,其他两边叫做这三角形的腰,两腰的公共端点叫做这三角形的顶点．文［１］,［２］给出了阿基米德三角形的三条性质,本文提供另外一些性质．引理［３］　自抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外一点Ｔ（ｘ０,ｙ０）引两切线,切点弦所在直线的方程为ｙ０ｙ－ｐ（ｘ＋ｘ０）＝０．性质１　设抛物线ｆ（ｘ,ｙ）＝ｙ２－２ｐｘ＝０（ｐ＞０）的阿基米德三角形的顶点为Ｔ（ｘ０,ｙ０）（ｘ０≠０）,底边为Ｐ１Ｐ２,两腰为ＴＰ１,ＴＰ２,∠Ｐ１ＴＰ２＝α…     

抛物线弓形面积的阿基米德算法

在抛物线上选定两点,过这两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形．古希腊的伟大学者阿基米德（Archimedes,公元前287～212年）曾提出一个计算抛物线弓形的算法：尤以弦为底,作抛物线弓形的内接三角形,过这个三角形的第三个顶点且平行于抛物线对称轴的直线,恰好过弦的中点;第二次在新出现的两个弓形中分别用同样的方法作内接三角形;第三次在新出现的四个弓形中分别用同样方法作内接三角形;……;第n次在新出现的2”－’个弓形中分别用同样的方法作内接三角形;…．这种用三角形填满弓形的方法叫做穷竭法（ti。emethodofexhaustion）…     

圆锥曲线阿基米德焦点三角形的一个性质

圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形,这条弦叫做阿基米德三角形的底,两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点.特别地,我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形.笔者借用几何画板研究发现圆锥曲线阿基米德焦点三角     

抛物线的弓形面积的最大值探求

在通径为2p的抛物线C中,给定一条长度为a的动弦AB,当弦AB在抛物线C上运动时,由弦AB和抛物线C所围成的弓形面积是否存在最大值呢?如图1所示,本文就这个问题进行探讨.     

过圆锥曲线外任意一点作两条切线的方法

<正>抛物线中的阿基米德三角形的切线,切点弦有很多有趣的性质.在2021年的全国高考数学乙卷中,它再次成为命题素材.因此对我们一线教师来说,会用几何画板动态地展示阿基米德三角形并作出椭圆、双曲线的切线和切点弦就显得非常有必要了.通过查阅文献了解到,[1]-[5]解决了过圆锥曲线上一点作切线的方法,[6]-[10]利用其光学性质等二级结论并借助焦点和准线来作过圆锥曲线外任意一点的两条切线.而笔者基于圆锥曲线的切点弦与曲线的交点即为切点这一事实,     

抛物线的阿基米德三角形的性质

抛物线的阿基米德三角形的性质朱兆和（江苏省灌云县中学２２２２００）文［１］介绍了抛物线的阿基米德三角形和阿基米德定理．本文介绍阿基米德三角形图１的几个性质．性质１Ｍ（ｘ０，ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）内一定点，则底边过定点Ｍ的所有阿基米德三角...     

一道习题的联想

《高等数学》 (同济大学出版社第三版上册 ) P.345第 1 0题 :求由抛物线 y2 =4ax与过焦点的弦所围成图形面积的最小值 .此题多数参考书上都是用直角坐标下的方程求解的 ,方法较繁 ,且易出错 .若改用极坐标方程 ,可使求解过程简单 ;而把题中的抛物线改为椭圆或双曲线时 ,用极坐标更能显示其优越性 ,下面是此题的极坐标解法 .以抛物线 y2 =4ax的焦点为极点 ,对称轴为极轴 ,建立极坐标系 ,则该抛物线的极坐标方程为ρ= 2 a1 -cosθ.抛物线与过焦点的弦所围成的面积为 :S=12 ∫π θθ(2 a1 -cosθ) 2 dθ=a2∫π θθcsc4 θ2 d(θ2 ) =a2 [tg…     

阿基米德折弦定理有关的探索

<正>在平面几何中,阿基米德折弦定理及推论应用广泛,通常用于线段倍分关系的处理,是求解三角形问题的重要途径之一.本文从图形的结构变化的角度,通过条件重组类比推理等一系列变式,探索阿基米德折弦定理的应用.定理:一个圆中含折弦的弧的中点在较长弦上的射影就是折弦的中点.     

抛物线中“切点三角形”性质的探究及应用

过抛物线外一点作抛物线的两条切线,这两条切线与过两切点的直线围成的三角形有哪些性质,本文中对这一问题作了深入的研究,并给出了简洁的结论.     

关于一类阿基米德三角形面积最小值的结论

对于抛物线,文[1]中有性质6,如下: 　　若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为p2. 　　对于椭圆的底边过定点的阿基米德三角形面积问题,笔者通过简洁运算,得到了一个关于文[1]中性质6的结构优美的推广结论,自以为还是很有趣味的(尤其值得一提的是,推证过程中巧妙地运用了二元Cauchy不等式,从而避开了求最值问题的繁杂计算),现呈现在下文中,以期与读者共享.……     

一个面积问题的作图法求解

针对由抛物线及其焦点弦所围成图形的面积最小值问题，通过构造辅助抛物线，利用有关图形的对称性，对图形的面积进行转化和比较，可直观而简明地解决该问题在以往解法中较为困难和复杂的一个环节。即如何发现和说明面积最小时弦的状态．从而对该问题给出一种新解法．     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

拋物线型区域面积的计算

引言:在高等数学求平面图形的面积,一般先由其边界曲线方程组联立确定交点坐标,再利用定积分计算求得结果,对于某些平面图形,如直线与抛物线所围成的,或抛物线与抛物线所围成的。它们的面积可用统一的简单公式计算,不必每次经过积分计算。这个公式就是     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…