圆锥曲线的焦半径公式及应用

在解析几何里,圆锥曲线的许多习题常与从曲线上一点P到焦点的距离有关。本文旨在介绍用圆锥曲线的焦半径公式来解决某些距离的几何问题,往往使解题的过程较为简捷。众所周知:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的焦半径公     

巧用椭圆的焦半径公式解题

<正>我们通常把圆锥曲线上的点P与圆锥曲线的焦点F的连线段PF称为圆锥曲线过P点的焦半径.在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题,需要计算焦半径的长,往往计算量很大,如何简化运算过程,缩短解题长度是我们的想法,本文试图从椭圆焦半径的角度来解答高考题.     

介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式

我们通常把圆锥曲线上的点P与圆锥曲线的焦点F的连线段PF称为圆锥曲线过点P的焦半径.在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题时,经常需要计算焦半径的长,且"工程量"往往较大;如何简化其计算过程,缩短解题长度是大家共同的心愿.本文介绍一组优美的求圆锥曲线焦半径的计算公式,供大家参考.     

解析几何中距离问题的优化策略

纵观近十年的高考解几综合题 ,不难发现与两点间距离有关的问题频频出现 ,常考常新 .由于这类问题综合程度大 ,对考生提出了较高的能力要求 ,致使许多人望而生畏 ,中途却步 .究其原因 ,关键在于他们不善于把题中的信息进行迁移 ,不会把问题进行转化 ,而只会使用两点距离公式 ,导致运算量大 ,求解过程繁杂冗长 ,迫于无奈而舍弃 .本文给出有关距离问题的若干优化策略 .1　运用定义或焦半径公式遇到圆锥曲线上的点到焦点的距离这类问题 ,逆用圆锥曲线的定义或直接运用焦半径公式 ,往往会获得独具特色的简捷解法 .例 1　 ( 1999年全国联赛试题 )…     

捕捉解题思维起点的若干途径

数学竞赛中的解题活动是一项复杂的思维活动 .数学竞赛问题是从哪里开始思考的 ?有些学生由于思考起点不对 ,常常导致解题失败 .在一定程度上可以这样说 :数学竞赛解题中的思维起点是解答数学竞赛问题的关键 .那么如何找到数学竞赛解题中的思维起点呢 ?本文结合实例谈一谈捕捉数学竞赛解题中思维起点的若干途径 .1　紧扣定义理解定义、掌握定义、活用定义是数学竞赛解题中的一把金钥匙 .特别是在求解平面解析几何的竞赛问题中显得尤为明显 .因为解析几何中的定义揭示了点、直线或者曲线所固有的特性 .特别是圆锥曲线的定义 ,反映了圆锥曲线…     

简化解几运算的常用方法

在解析几何的求解运算过程中 ,学生经常会遇到思路正确 ,但因运算过程繁杂 ,而半途而废的现象 .因此 ,解答解析几何问题应尽量减少计算量则成为能否迅速、准确地解题的关键 .这里举例说明在解析几何解题中减少计算量的一些常用技法与策略 .1　等量代换 ,简化运算用解析法解决圆锥曲线问题的思路比较简单 ,规律性较强 ,但运算过程往往比较繁杂 ,而巧妙利用等量代换解题 ,往往会使运算过程简捷顺利 .图 1例 1　如图 1所示 ,由圆外一点 P( a,b)向圆 x2 y2 =R2 作割线交圆于A、B两点 ,求 AB中点的轨迹方程 .分析　如果一开始就令割线的方程…     

圆锥曲线的定义在证题中的应用

在解析几何里,求证与圆锥曲线的准线和焦半径(或焦点弦)有关的命题,是较常见的问题之一.用解析法证明这类命题时,通常很少直接应用圆锥曲线的定义(包括各别定义和统一定义),而借助于圆锥曲线的方程和有关的代数知     

求解圆锥曲线问题需要注意的几点

笔者调查发现大多同学对圆锥曲线问题的评价是"难""繁",究其原因是圆锥曲线问题的计算量的确较大,但其解答的烦琐程度往往受制于解题方法和策略的选择,同一个问题,如果解题方法选择不当,便会导致计算量过大、过程繁冗,甚至半途而废.因此在实际解题过程中,选择恰当的方法和掌握一定的策略对优化解题过程、便捷而准确地解题至关重要.     

巧用定义求圆锥曲线中六类最值

圆锥曲线有两种定义，第一种定义展示了三种圆锥曲线各自的几何特征，第二种定义则用统一的形式揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线构成了一个和谐的整体，在解决涉及焦半径、焦准距等有关问题时，灵活运用圆锥曲线的两种定义，往往能使解题过程简洁明快，收到事半功倍的效果。     

圆锥曲线焦半径长度-比值公式妙解焦半径问题

<正>圆锥曲线给定焦半径比值时,若想直接求出焦半径长度,往往需要一定计算量．本文通过焦半径比值关系得出圆锥曲线焦半径长度比值公式,该公式十分有趣且使用方便,若已知焦半径的比值,则通过圆锥曲线方程既可迅速计算对应焦半径长度,同时还能对与焦半径有关的范围问题进行研究,欢迎同学们阅读学习．     

圆锥曲线焦点弦三角形面积公式及其最值

<正>圆锥曲线焦点三角形面积的计算往往采用韦达定理,尤其是最值问题,求导计算量大,一直为多数学生所诟病,本文另辟蹊径,巧妙地应用极坐标系下圆锥曲线的焦半径公式快速得出焦点三角形面积公式,并结合均值不等式或对号函数推论对其最值进行研究,供广大师生们阅读.1圆锥曲线焦半径公式与焦点弦公式设直线l过焦点F且交圆锥曲线于A,B两点,不妨设| AF |> |BF|,     

灵活利用定义解圆锥曲线问题

G.波利亚指出:货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本.教材中圆锥曲线的定义和性质是解相关问题的依据,而定义的实质集中于曲线上点与焦点的距离即焦半径满足的几何条件.为了更灵活应用定义,提高解题速度,使定义这一知识仓库更加充实,我们很容易推导出焦半径的公     

椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用

椭圆、双曲线过焦点的弦长问题是解析几何在高考、竞赛中的热点之一,解决这类问题,传统的做法一般是将弦所在的直线方程与椭圆或双曲线方程进行联立,利用焦半径公式或弦长公式｜AB｜＝｜x1-x2｜·√1+k2=｜y1-y2 ｜·√1+1/k2求解,这样求解运算量往往较大,若我们利用椭圆、双曲线过焦点的弦长公式处理此类问题会省时省力,同时也能大大提高解题的准确率.现阐述如下,供同仁参考.     

利用圆锥曲线的定义解题

定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式 .对定义的深刻理解是提高解题能力的坚实基础 ,但不少学生对圆锥曲线的定义的应用缺乏自觉性 .其实在处理某些解析几何问题时 ,若能结合圆锥曲线的定义来考虑 ,可避免繁琐的计算过程 ,从而显得简洁、明快 .以下略举几例 ,说明圆锥曲线的定义在解题中的应用 .例 1　 (1990年全国高中数学联赛试题 )设双曲线的左、右焦点是Ｆ1,Ｆ2 ,左、右顶点是Ｍ ,Ｎ ,若△ＰＦ1Ｆ2 的顶点Ｐ在双曲线上 ,则△ＰＦ1Ｆ2 的内切圆与边Ｆ1Ｆ2 的切点位置是 (　　 )(Ａ)在线段ＭＮ内部 .(Ｂ)在线段Ｆ1Ｍ内部或线段…     

简化解析几何运算的常用策略

解决解析几何问题的最大的难点是如何把握好解题的总体思想策略．方法不当往往导致思路较简单,但运算能力要求较高,难以做完做准,因而简化运算的策略选择具有重要意义．现就常用简化运算策略归纳如下：一、巧用定义解题定义揭示了各自存在的条件、基本性质及几何特征,特别是运用圆锥曲线的定义解题,     

平面几何法在求解圆锥曲线问题中的妙用

圆锥曲线问题是平面解析几何问题的重要组成部分，坐标法是求解圆锥曲线问题的最常用也是最基本的方法，但有些圆锥曲线问题运用坐标法求解，往往要用到繁琐的推理和计算．若是能利用圆锥曲线本身的定义、几何性质，结合平面几何知识另辟蹊径，往往事半功倍、别样精彩．笔者在此给出几例，以求与大家共同探究此法的巧妙运用．     

在解有关圆锥曲线问题时减少运算量的一些途径

解有关圆锥曲线的问题，尤其是两条曲线的位置关系问题，往往运算量较大，若能熟练地掌握圆锥曲线的概念，选择合理的解题途径和方法，往往能优化解题过程，减少运算量．1利用圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义刻划了动点与定点（或定直线）距离之间的不变关系，利用这个不变关系，我们可以将一些动态问题置于静态来考虑．例1已知点p在圆O：x'＋y'一4。'上，Q（Zc，0），O为坐标原点（a，cM0，aedc），求PQ的垂直平分线与直线OP的交点M的轨迹．分析若设P（Zacosq，2。sinq），Q（Zc，0），作＊Q的垂直平分线与y-X·田产相交是可以的，但…     

解题得以优化源于策略得当--简解圆锥曲线问题的几种策略

在圆锥曲线问题的解答中,极易出现思路正确,但因运算过程繁杂,导致半途而废的现象,因此,解答圆锥曲线问题时,解题策略的选择应以减少计算量为准则,解题策略的选择是否恰当,对优化解题过程、简化圆锥曲线运算量起着关键作用。下面提供几种策略,供读者参考。     

巧用圆锥曲线定义

<正>圆锥曲线的定义体现了其上的点所满足的本质特征,深入理解并灵活应用定义解决问题能够有效地简化解题过程,提高解题效率.本文以椭圆为例来说明运用圆锥曲线定义解题的优势.如图1,根据椭圆定义,当已知点M在椭     

一道高考题错误解法的纠正及其他

文[1]利用圆锥曲线的定义解决了与圆锥曲线焦点、焦半径比、直线斜率有关的一类试题,读后很受启发.但美中不足的是,例5的解法中出现了错误.本文纠正错误,并将焦点一般化,给出与椭圆焦点、焦半径比、直线斜率有关的一类试题的推广.先把文[1]中的例5抄录如下: