题意易混的两个小题

题 1　函数ｙ =ｌｇ(ｋｘ2 -ｋｘ +1 )定义域为Ｒ ,求ｋ的取值范围 .解　由题意得ｘ∈Ｒ时 ,ｋｘ2 -ｋｘ +1 >0恒成立 ,则　 ｋ >0Δ <0 　或ｋ =0 ,解得　 0≤ｋ <4.题 2　函数ｙ =ｌｇ(ｋｘ2 -ｋｘ +1 )的值域为Ｒ ,求ｋ的取值范围 .解　由题意得ｋｘ2 -ｋｘ +1能取到所有正实数 ,则　 ｋ >0Δ≥ 0 ,解得　ｋ≥ 4.对以上两个题理解的难点是两个画横线部分的区别搞不清 ,要知道二者所要求的条件是不同的 ,下面借助二次函数的图像解释一下 .设 :二次函数ｙ =ｋｘ2 -ｋｘ +1 ,当ｋ >0或ｋ <0抛物线与ｘ轴的位置关系如下 :(1 ) (2 ) (3 ) (4 )…     

综合题新编选登

题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

貌似神异题目的并组辨析

数学中有很多题目 ,表面相似 ,实质存在着差异 ,学生们常分辨不清 .通过并成题组 ,进行类比辨析 ,在比较之中加深理解 ,才能明确似在那里 ,异在何处 .例 1　 1)已知函数ｆ(ｘ) 的定义域为 [- 1,1],求函数 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域 .2 )已知函数 ｆ[ｌｏｇ12 ( 3-ｘ) ]的定义域为 [1,52 ],求函数ｆ(ｘ) 的定义域 .3)已知函数 ｙ =ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域为 [12 ,2 ],求函数 ｆ[( 12 ) ｘ- 2 ]的定义域 .解　 1)求 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域是求其中ｘ的取值范围 ,而ｌｏｇ12 ( 3-ｘ)∈ [- 1,1],由 - 1≤ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ)≤ 1,…     

一类不宜提倡的问题

参考资料上常见如下类型的题目 :“若函数 ｙ =ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],则 ｙ=ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 .”本题目的实质是“已知ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,再求ｆ[(ｘ) ]的定义域”的问题 .其解法是∵ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],∴ - 2≤ｘ≤ 3.∴ｘ 1∈ [- 1,4 ].又由 - 1≤ 2ｘ - 1≤ 4　得 0≤ｘ≤ 52 .∴ｙ =ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 [0 ,52 ].上述解答中 ,由ｆ[ｇ(ｘ) ]定义域求ｆ(ｘ)定义域的过程中 ,用到了如下假设 :即内函数 ｇ(ｘ)的值域与外函数ｆ(ｘ)的定义域相等 .而此假设在复合函数中是不恒成立的 .众…     

课外练习

高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶…     

课外练习

高一年级1.已知关于ｘ的不等式 (ｘ -1)ｌｏｇ3ａ2 -6ｘｌｏｇ3ａ +ｘ + 1>0在 [0 ,1]上恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .(浙江绍兴市第一中学 (3 12 0 0 0 )　虞金龙 )2 .某人从 1月起 ,每月第 1天存入 10 0元 ,到12月最后一天取出全部本金及其利息 :已知月利率是 0 .165 % ,税率 2 0 % ,那么实际取出多少钱 ?(江苏苏州市苏苑中学 (2 15 12 8)　周　松 )3.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 -1(ｘ≥ 1)的图像是ｃ1 ,曲线ｃ2 与ｃ1 关于直线ｙ =ｘ对称 .(1)求曲线ｃ2 的方程ｙ =ｆ(ｘ) ,(2 )设函数ｙ =ｇ(ｘ)的定义域为Ｍ ,ｘ1 ,ｘ2∈Ｍ且ｘ1 ≠ｘ2 .求证 :|…     

y的范围就是函数的值域吗?

在解有关函数值域问题时 ,不少同学误将函数 ｙ所应满足的一个不等式的取值范围当作函数的值域 .下面举例予以剖析 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ)的值域为 [- 1 ,2 ],求函数 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)的值域 .错解 :∵ - 1≤ｆ(ｘ)≤ 2 ,　　　 1≤ ｆ(ｘ) + 2 ≤ 2 ( 1 )　　　 - 2≤ - ｆ(ｘ)≤ 1 ( 2 )∴ - 1≤ ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)≤ 3,即函数 ｇ(ｘ)的值域是 [- 1 ,3].剖析　这里利用不等式的性质推导得ｇ(ｘ) 的取值范围 .但是 ,( 1 )式在 ｆ(ｘ) =2时取最大值 2 ,而 ( 2 )式当 ｆ(ｘ) =- 1时取最大值 .所以 ,( 1 ) ,( 2 )式同时取最大值…     

函数问题疑难解析

函数是高中数学中的重要内容 ,学习函数时如果概念不清 ,性质理解不深刻 ,就会造成许多后遗症 ,影响后续知识的掌握 .下面提出有关的若干疑难问题进行剖析 .1　表达式相同的两个函数是否相同很多学生容易把具有相同表达式的两个函数看作同一个函数 .其实 ,由函数的表达式相同 ,只能知道它们的对应法则相同 ,但还有定义域是否相同的问题 .例如 ｆ(ｘ) =2ｘ + 1和 ｇ(ｘ) =2ｘ + 1　 (ｘ∈Ｒ+ ) ,尽管ｆ(ｘ) 和ｇ(ｘ)的表达式相同 ,但由于它们的定义域分别为Ｒ ,Ｒ+ ,故它们是不同的两个函数 .2　定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一个…     

例说函数概念的理解

函数是由对应法则、定义域、值域三部分构成 ,这是高一同学学习函数后都知道的 ,但要达到正确运用函数概念解决问题的水平 ,对函数概念仅处于一种表面的认识是不够的 .下面举几个例子说明 .题 1　函数 ｙ =(2 +ｘ) (3-ｘ)的定义域为集合Ａ ,函数 ｙ =ｌｇ(ｋｘ2 + 4ｘ +ｋ + 3)的定义域为集合Ｂ ,当Ｂ Ａ时 ,求实数ｋ的取值范围 .有的同学认为 ,因为Ｂ Ａ ,所以对集合Ｂ应该分成空集和非空集两类情况来处理 .从集合的角度看 ,的确应该这样做 ,那么在本题中到底该不该这样做呢 ?我们先来看看“函数”的定义 :如果Ａ ,Ｂ是非空的数集 ,那么…     

关于复合函数的三个问题

复合函数是形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的函数 ,如 ｙ =ｌｏｇ3(ｘ2 -2ｘ 3 )由 ｙ =ｌｏｇ3ｕ ,ｕ =ｘ2-2ｘ 3复合而成 ;ｙ =( 3ｘ 1) - 13是由 ｙ =ｕ- 13,ｕ =3ｘ 1复合而成 ,ｙ =ａｓｉｎｘ(ａ >0且ａ≠ 1)由ｙ =ａｕ,ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 ,其中ｇ(ｘ) 称为内层函数 ,ｙ =ｆ(ｕ)称为外层函数 ,且均为基本函数 .关于复合函数一般有三个问题要研究 .1　已知 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式 ,求 ｆ(ｘ)的表达式 .例 1　已知 ｆ( 2ｘ -1) =ｘ2 (ｘ∈Ｒ) ,求ｆ(ｘ) 的表达式 .解法 1　 (换元法 )令 2ｘ -1=ｔ ,则ｘ =ｔ 12 .∴ ｆ(ｔ) =14 (ｔ 1) …     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

“由反函数的定义域求给定函数的值域法”是错误的

若已知函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)是函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,那么 ,由函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)的定义域求得函数ｙ=ｆ(ｘ)的值域是无可非议的 .但是现在许多高中数学课外读物 (甚至教材[1 ] 上所介绍的“由反函数的定义域求给定函数的值域”法却值得商榷 .1　“由反函数的定义域求给定函数的值域法”在理论和实践上的失误以下两例 (或类似的例题 )常常被引为“由反函数的定义域求给定函数的值域法”的典型例题 :例 1　求函数ｙ =2ｘｘ 2 (ｘ≠- 2 )①的值域 .解　因为函数①的反函数是ｙ=2ｘ2 -ｘ它的定义域是 :(-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ ) .所以函数①的值…     

课外练习

高一年级1 .已知集合Ａ ={ｍ ,ｎ},问集合Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ},Ｃ ={ｘ|ｘ Ａ}中的元素分别是什么 ?(贵州开阳县教育局教研室 (5 5 0 3 0 0 )　张廷均 )2 .已知ａ—→ 与ｂ—→不共线 ,试判断关于ｘ的方程ａ—→·ｘ2 +ｂ—→·ｘ+ｃ—→=0—→ 的实数解的个数 .(河北石家庄四十二中 (0 5 0 0 61 )　于润兴 )3 .设函数ｆ(ｘ) =1 -2ｘ1 +ｘ ,若将ｙ=ｇ(ｘ)的图像与函数ｙ =ｆ- 1(ｘ +1 )的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,求ｇ(2 )的值 . (山东沂水县第二中学 (2 7640 0 )　沈　韦华)高二年级1 .已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ-2 -ｘ,数列 {ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2 …     

两道数学高考题答案的几何解释

题 1　 ( 2 0 0 2年全国统一高考 (理科 )第2 1题 )设ａ为实数 ,函数ｆ(ｘ) =ｘ2 + |ｘ -ａ|+ 1 ,ｘ∈Ｒ .1 )讨论函数 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )求 ｆ(ｘ)的最小值 .评析　第 1 )问 (答案略 ) ;第 2 )问答案是 :当ａ≤ - 12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =34-ａ ;当 - 12 <ａ <12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =ａ2 + 1 ;当ａ≥12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =34+ａ .下面给出该答案的几何解释 :设 ｇ(ｘ) =ｘ2 + 1 ,ｈ(ｘ) =- |ｘ -ａ| ,那么 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) -ｈ(ｘ) ,ｙ =ｇ(ｘ)的图象是开口向上的抛物线 ,ｙ =ｈ(ｘ)的图象是从点Ａ(ａ ,0 )发出的两条射线 (以下简称“角形线”) …     

求函数值域时的常见错误分析

函数值域是函数的三大要素之一 (另两个为定义域和对应法则 ) ,求值域的问题 ,能综合地体现出学生运用函数性质、运用不等式等数学知识的能力 ,同时更能促进学生对函数概念的理解 ,所以它成为练习和考试的热点之一 .在求值域时 ,最容易出现下列的错误 .1　草率代入例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ + 2 ,ｘ∈ [0 ,3]的值域 .错解 :代入得 ｆ(0 ) =2 ,ｆ(3) =5 ,故值域为 [2 ,5 ].分析 :没有考虑在所给区间 [0 ,3]上函数是否单调 .事实上只有当ｆ(ｘ)在定义域 [α ,β]上单调递增时 ,才可以说值域是 [ｆ(α) ,ｆ(β) ],递减时值域为[ｆ(β) ,…     

关于分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的 ,并未作深入说明 ,许多同学对此认识往往比较肤浅 .本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下 :1.分段函数的含义所谓“分段函数” ,习惯上指在定义域的不同部分 ,有不同的对应法则的函数 ,对它应有以下两点基本认识 :(1)分段函数是一个函数 ,不要把它误认为是几个函数 ;(2 )分段函数的定义域是各段定义域的并集 ,值域是各段值域的并集 .2 .求分段函数的函数值例 1已知函数 ｆ(ｘ) =2 ｘ3ｌｏｇ13ｘ(ｘ <0 ) ,(0≤ｘ≤ 1) ,(ｘ >1) ,求ｆ(ｆ(ｆ(ａ) ) ) ,(ａ <0 ) .分析　求分段函数的函数值时 ,首先应…     

争鸣

问　题问题 2 7　设函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ(ｘ2 -ａｘ +1 )的值域为Ｒ ,求实数ａ的取值范围 .观点 1　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,因ｆ(ｘ)的值域为Ｒ ,故只须ｕ(ｘ) >0恒成立 .即　ｘ2 -ａｘ +1 >0恒成立 .∴　Δ =ａ2 - 4 <0 ,∴　 - 2 <ａ <2 .观点 2　令ｕ(ｘ) =ｘ2 -ａｘ +1 ,要使ｆ(ｘ) 的值域为Ｒ ,只需ｕ(ｘ)的值域包含 (0 ,+∞ ) ,∴　Δ =ａ2 - 4≥ 0 ,∴　ａ≤ - 2或ａ≥ 2 .观点 1是否正确 ?有无合理性成份 ,对观点 2同学们的疑问是Δ≥ 0怎能保证ｕ(ｘ)≥ 0 ?这是一道流传十分广泛的题目 ,怎样给学生一个满意的解答 ,敬请大家积极讨…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦函数、不等式、数列

(接第 1 8期Ｐ48)　　解答题1.由 ｆ(2 ) =ｇ(2 ) - 1知点 (2 ,1)是两函数图象的公共点 .假定 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ)的图象还有一个公共点(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｆ(ｘ0 ) =ｇ(ｘ0 ) =ｙ0 (1) ,ｌｇ3(1+ｘ0 ) =ｌｏｇ2 ｘ0 (ｘ0 >0 )即 1+ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,即 1+ 2 ｌｏｇ2 ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,令ｔ =ｌｏｇ2 ｘ0 ,∴ 1+ 2 ｔ=3ｔ,∴ (13) ｔ+ (23) ｔ=1(2 ) ,而 (13) ｔ+ (23) ｔ 为单调递减函数 ,故 (2 )仅一解ｔ =1,从而 (1)只有唯一解ｘ0 =2 .2 .1)由已知 ,将函数 ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ + 1)进行坐标变换ｘ→ｘ + 1,ｙ→ ｙ2 . 得 ｙ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 1…     

高中数学“陷阱”题

高中数学中常有这样的习题 :一看就能做 ,一做就易错 .为此 ,我们将 4 1道易错题汇集在一起 ,供同学们参考 .建议同学们先独立做一遍 ,然后对照题后的错点分析 ,找寻一下自己可能存在的误区 ,从而不断降低解题的错误率 .填空题1　已知集合Ａ ={ｘ|ｘ2 - 3ｘ 2 =0 } ,Ｂ ={ｘ|ｘ2 -ａｘ 2 =0 } .若Ｂ Ａ ,则实数ａ的取值范围是.2　已知集合Ｐ ={ ｙ|ｙ =-ｘ2 2 ,ｘ∈Ｒ} ,Ｑ ={ ｙ|ｙ =-ｘ 2 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ｐ∩Ｑ =.3　已知实数ｘ ,ｙ满足 2ｘ2 ｙ2 =6ｘ ,则ｘ2 ｙ2 2ｘ的最大值是 .4　已知 ｆ(ｌｇｘ 1)的定义域是 ( 0 ,1].则 ｆ(ｘ…     

从两道试题谈条件功能的挖掘

问题 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ -2ｘ 2 (ａ >0 ,ａ≠ 1) .1)求 ｆ(ｘ) 的定义域 ,并判定ｆ(ｘ) 在定义域内的单调性 ;2 )若ｘ∈ [ｍ ,ｎ] (ｎ >ｍ )时 ,ｆ(ｘ) 的值域为 [1 ｌｏｇａ(ｎ -1) ,1 ｌｏｇａ(ｍ -1) ] ,求ｍ和ａ的取值范围 .分析 :1)定义域为 (-∞ ,-2 )∪ (2 , ∞ ) ;当ａ∈ (0 ,1)时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递减 ;当ａ∈ (1, ∞ )时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递增 .2 )先由条件中的对数表达式ｌｏｇａ(ｍ -1)和ｌｏｇａ(ｎ -1)有意义知ｍ >1,ｎ >1,又由[ｍ ,ｎ] (-∞ ,-2 )∪…