Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

设p是大于3的奇素数.本文证明了:当p≡5或7(mod 8)时,方程y~2=px(x~2+2)无正整数解(x,y);当p≡1(mod 8)时,该方程至多有1组解;当p≡3(mod 8)时,该方程至多有2组解.     

椭圆曲线y~2=px(x~2+2)有正整数点的判别条件

设p是适合p≡1(mod8)的奇素数.运用四次剩余和Pell方程的性质,给出了椭圆曲线y~2=px(x~2+2)有正整数点(x,y)的若干判别条件.     

不定方程 x~3+y~3=z~2与 x~3+y~3=z~4

在 x,y 互素的条件下,本文给出不定方程 x~3+y~3=z~2所有的整数解,并证明不定方程 x~3+y~3=z~4无 xyz≠0之整数解.     

关于丢番图方程x~3±1=3·2~αpD_1y~2

设D_1=multiply from i=1 to s q_i(s=1或2),q_i≡-1(mod6)(i=1,2,…,s)是彼此不同的奇素数,p≡1(mod6)为奇素数.运用初等方法讨论了丢番图方程x~3±1=3·2~αpD_1y~2(α=0或1)的正整数解的情况.     

关于不定方程x~2-kxy+y~2+px=0

设p为奇素数.讨论了不定方程x~2-kxy+y~2+px=0,给出了这类方程求解的一些必要条件.     

关于丢番图方程 x~4-Dy~2=1

<正> 关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0且不是平方数,(1)有过一系列工作,其主要结果如下:Nagell 证明了 D≡3(mod 8)是素数,(1)无正整数解.Ljunggren 证明了(1)最多只有两组正整数解.Cohn 证明了 D 使得 x~2-Dy~2=-4有解 x≡y≡1(mod 2),则(1)除开有限个D 的值外,仅有整数解 x=1.     

关于不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解问题,得出了当n=4,5时无整数解;n=6是仅有整数解(x,y)=(64,2)和(x,y)=(-64,2)的结论,推进了不定方程整数解的研究.     

椭圆曲线y~2=px(x~2+2)在p≡1(mod 8)时的正整数点

设p是适合p≡1(mod 8)的奇素数.运用二次和四次Diophantine方程的性质给出了椭圆曲线E:Y²=px(x2=px(x²+2)有正整数点(x,y)的判别条件,并且证明了:当p<100时,该曲线没有正整数点.     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

关于不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4的解

设p1,…,ps(1≤s≤3)是互异的奇素数,则当D=p_1…p_s,1≤s≤3时,不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有正整数解D=195,(x,y,z)=(97,28,2).     

The Pell Equations x^2—8y^2=1 and y2—Dz^2=1

ＯｎｔｈｅＰｅｌｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｘ２－８ｙ２＝１,　ｙ２－Ｄｚ２＝１（１）ｗｈｅｒｅＤ＞０ｉｓａｓｑｕａｒｅ－ｆｒｅｅｉｎｔｅｇｅｒ．ＣａｏＺｈｅｎｆｕ［１］ｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｉｆＤ＝∏ｓｉ＝１Ｐｉ≡１（ｍｏｄ４）ｏｒＤ＝２∏Ｐｉ,１≤ｓ≤４,ｔｈｅｎｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ（１）ｈａｓｎｏｌｙｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｚ＝６（Ｄ＝２·１７）．ＣｈｅｎｇＪｉａｎｈｕａ［２］ｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｉｓＤ＝∏ｓｉ＝１Ｐｉ　１≤ｓ≤２,ｔｈｅｎｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ（１）ｈａｓｏ…     

关于Pell方程组X~2-3y~2=1与y~2-Dz~2=1的解

设D=2p_1…P_s(1≤s≤4),P_1…,P_s是互异的奇素数.证明了:Pell方程组x~2-3y~2=1,y~2-Dz~2=1除开D=2×7,2×3×5×7×13外,仅有平凡解(x,y,z)=(±2,±1,0).     

关于Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

设p_1,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数.利用同余、递归序列、Pell方程的解的性质等证明了:当D=2p1…p_s,1≤s≤4时除开D为2×241外,Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有平凡解(x,y,z)=(±11,±2,0).     

x^2＋y^2=N^2正整数解的结构与求法

研究勾股方程给定正整数N时,方程是否有解,有几组解,怎样求解.在证明N的解与N的因数的基本解和本原解三者之间存在着一一对应关系的基础上,利用素数的本原解和两组本原解的勾股积运算,经逐次递推,导出了计算N的各种不同类型因数的本原解的计算方法,得到了计算任意N的所有解的简捷方法,并给出了计算全部解的组数的初等公式.填补了多年来研究勾股数的一个空白.     

椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数

设p是奇素数,N(p)是椭圆曲线E:y2=2px(x2+1)的正整数点(x,y)的个数.主要讨论了N(p)的性质,运用初等方法及四次Diophantine方程的性质,对某些特殊素数p,给出了N(p)的上界.证明了当p≡1(mod 8)且p=s2+32t,其中s,t是正整数时,N(p)≤3;当p≡1(mod 8)且p+s...     

关于椭圆曲线E_D:y~2=x~3-D~2x的BSD猜想

本文证明了形如ｙ~２＝ｘ~３－ｐ-１~２…ｐ-ｎ~２ｘ的一类椭圆曲线的Ⅲ群２-分支在一定条件下同构于 Ｚ／２Ｚ × Ｚ／２Ｚ,其阶为 ４,与Ｌ函数部分的相应结果和 Ｒｕｂｉｎ Ｋ．关于有复乘的椭圆曲线的重要结果一起,我们知道ＢＳＤ猜想对本文定理中的椭圆曲线成立．     

联立Pell方程组x~2-ay~2=1和y~2-bz~2=1的解数

设a,b是正整数.我们研究了联立Pell方程组x~2-ay~2=1,y~2-bz~2=1的正整数解(x,y,z)的个数.本文利用Bennett关于联立Padé逼近的一个结果,证明了该方程组至多只有两组正整数解(x,y,z),从而改进了Bennett(1998),袁平之(2004)等人的结论.