两点看法

Ⅰ.秦元勋著,《几何学通论》,湖南科学技术出版社,1981年5月第一版。 秦先生在该书第15—16页上写道: “三种几何学(指欧氏几何学、罗氏几何学和黎氏几何学——评者)的基本差异只限于平行公设,因此,凡与平行公设无关的欧氏几何学的定理,在三种几何学中都是成立的。” 在同书82—87页,秦先生列出了欧氏几何的五类公理,并在88页上又写道: “如果把公理4改为下面的两条:     

读《普通高中数学课程标准》(实验)立体几何部分

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．传统的欧氏几何以严格的公理化体系、严谨的逻辑推理而著称．它不仅成为演绎科学的一种范例，也是最古老的教学法的范例．20世纪，特别是希尔伯特通过对欧氏几何公理体系的研究，揭示了传统几何所存在的缺陷，     

只保留結合公理的几何——一般体上的三維射影几何

一、引言学过几何的同志們都很熟悉希尔伯特(Hilbert)的几何公理体系,在这体系中基本元素是:点、綫、面。这些元素滿足五組公理:結合公理、順序公理、合同公理、平行公理和連續公理。在本文中我們将研究一种几何,它的基本元素还是点、綫、面,但是只保留一組結合公理。希尔伯特在建立他的公理体系时,事实上并不很关心連續公理,在他所写的經典著作“几何基础”的第一版里,实貭上沒有提到康托尔(Cantor)公理或与其等价的公理。后来由于潘加来(Poincaré)等人提了意見,他才在第二版中添加了和康托尔公理等价的完备性公理,并証明了体系的完备性。因此,希尔伯特书的中心思想按其实貭来說是要发展一种和連續公理无关     

几何中的变换思想

前苏联几何学家亚格龙曾经指出:“在初等几何中…,包含了两个重要的有普遍意义的思想,它们构成了几何学的一切进一步发展的基础,其重要性远远超出了几何学的界限.其中之一是演绎法和几何学的公理基础;另一个是几何的变换和几何学的群论基础.”[1]几何变换包含了两个思想:转化思想和不变量思想.转化是指将图形进行变换,把一般情形转化为特殊情形,使问题化难为易.不变量是指(图形)经过变换后不改变的性质和量.按照克莱因的观点,一种几何学其实就是研究一种变换群下的不变量.几何变换既是几何学研究的对象,又是几何学的研究方法.平移、旋转和轴…     

几何学的发展与公理方法

在数学领域中,围绕着几何学的发展和几何学的公理系统的问题,历来存在着唯物论和唯心论的激烈斗争.资产阶级唯心论者,把欧氏几何公理系统和罗巴切夫斯基几何的诞生,作为鼓吹“头脑制造数学”论的“王牌”,竭力否定几何公理来自社会实践,蛊惑人心地宣扬数学公理是天赋真理,把公理方法推崇到至高无上的地位.这种唯心主义的哲学观点,在刘少奇一类骗子的反革命修正主义路线的扶持下,长期以来也充斥在我国数学领域,成了数学工作者的精神枷锁.在全党深入开展批修整风运动的今天,我们一定要对此进行彻底批判,肃清它的流毒,进一步分清什么是唯物论的反映论,什么是唯心论的先验论,从而使数学研究和数学教学沿着毛主席的革命路线不断深入发展.     

漫谈几何中的公理法

<正>前苏联几何学家亚格龙曾经指出:"在初等几何中,……包含了两个重要的有普遍意义的思想,它们构成了几何学的一切进一步发展的基础,其重要性超出了几何学的界限.其中之一是演绎法和几何学的公理基础;另一个是几何的变换和几何学的群论基础."这就告诉我们,在几何学习中,学习"逻辑推理"和"几何变换"的重要性.本文谈一谈与前者有关的公理法方面的问题.     

几何学

几何学是研究物体的形态,大小以及它们相互之间的位置关系的科学。相传四千年前,由于尼罗河的泛滥需要经常测量土地,测地学随之产生。这种传说有一定的可靠性,因为我们现在使用的“几何学”一词便是西方的“测地学”译过来的。在很长的时间内,人类对几何知识是建立在实验性的基本事实上的,是感性的,我们称这一段时期的几何学为实验几何学。后来泰勒斯,毕达哥拉斯,柏拉图等人逐渐将它向理论方面发展。特别是公元前三世纪欧几里得用逻辑的链子由不多的定义、公理、公     

三点共线的向量表示及其应用

三点共线是几何学研究的热点问题,在平面几何里,可以利用梅涅劳斯定理证明;在解析几何里,可以利用任意两点的斜率相等（斜率存在）证明;在立体几何里,可以利用公理2（若两平面有一个公共点相交,则他们有且仅有一条通过该点的公共直线）加以证明,足见三点共线问题在几何学中的地位.     

几何教学中贯彻辩证唯物主义思想教育的点滴体会

(一)反复说明几何学的现实性几何学是研究物体的形状,大小和相互位置的科学,它是客观事物的抽象,它是由于人类在生产和生活实践中的需要而产生和发展起来的,它决不是唯心论者所说的“数学是建立在几条不可证明的公理基础上的纯粹抽象的东西,是人凭空想出来的”.它虽有它的抽象性,但     

中学"边角边"公理教学中的思考

0 引言 近年来,在中学数学课程的不断调整过程中,一个一直有争议的问题是如何处理几何教程中的公理.这个问题也涉及对希尔伯特公理体系的理解,事实上,希尔伯特当初建立一个完整的欧几里德几何公理体系,是为了回答当时很多人对欧几里德几何的严格性的质疑.这个问题是"初等的"几何,但它本身绝不是初等的,恰恰相反,它是很深很困难的,是当时数学的顶尖工作(在今天属于数理逻辑的范围).这项工作说明,欧几里德几何体系完全可以严格化和完备化,并且是不矛盾的.但严格化的方法并不止一种,例如张景中就曾给出与希尔伯特公理体系等价的其他公理休系.     

基于数学史的平面概念的教学案例设计

19世纪,希尔伯特把点、线、面三个概念作为他的几何公理系统的基础．他没有给出定义,但由形成的公理系统定义了它们之间的关系．从此数学教材普遍地遵循希尔伯特的公理系统的模式,认为这些概念易于理解,不需要定义．但是简单地认为这些概念很基本,可能带来一些教学上的问题：学生在多大程度上理解这些基本概念,学生能理解这些基本概念背后的思想吗？     

三点共线的向量表示及其应用

<正>三点共线是几何学研究的热点问题,在平面几何里,可以利用梅涅劳斯定理证明;在解析几何里,可以利用任意两点的斜率相等(斜率存在)证明;在立体几何里,可以利用公理2(若两平面有一个公共点相交,则他们有且仅有一条通过该点的公共直线)加以证明,足见三点共线问题在几何学中的地位.向量作为"数"与"形"的结合体,为处理三点共线的问题也提供了一个非常重要的依据.     

对“几何学中的研究对象”一文的意见

数学通报1958年9月号刊登的张素诚先生写的"几何学中的研究对象"一文,我反复地读了几遍,感觉得这篇文章,作者是以什么观点来写的呢?是值得研究的,下面是我的意见,提出来请大家研究和指正!第一,张先生说:"公理系统往往选择作常识所能够判断的显然成立的一些事实,这样可使我们研究的对象接近生活中客观世界,……"这样提法,不能赞同.因为,用常识判断的显然成立的事实作公理系统,是靠什么作为指导思想用常识就能判断显然成立的公理系统     

格化拓扑的公理描述

格化拓扑的邻元结构与收敛关系已由汪培庄提出[1],考虑公理的独立性,[1]中公理描述可以简化。本文重新给出邻元结构与收敛关系的公理体系,并证明公理的独立性,由于简化了公理体系,在证明它们刻划格化拓扑的等价性时比[1]简单容易。     

浅談邏輯推理在数学发展中的地位

一、公理方法为数学这門科学带来的特点在数学中,有些命題不加証明,直接用作邏輯推理时的依据,这类命題叫作公理;用巳知概念說明使用概念的意义的命題叫作定义。任何一个数学命題,不管直观看来多么明显,但是只要它不是公理,都要求严格地証明。一个命题,只有当它作为定义、公理的邏輯結果,才算是被証明了的定理。这种用定义、公理作为選輯推理的基础、以建立科学体系的方法叫作公理方法。公理方法是建立数学这门科学体系的重要方法,尤其自20世纪以来,它已成为現在数学各个分支建立科学体系的基本方法。使用这种方法的結果,就为数学带来两个明显的特点。     

《平面几何》改造计划

在中学数学课程中对欧几里得“原本”中的平面几何部分进行改造始于上世纪初,主要目标是使平面几何的教学直观化,运动化,见“二十世纪的数学教育”(陈建功,《中国数学杂志》第二期).这种改造一要有利于学生的学习,二要在数学上有严密的逻辑,因而不是一件简单的事情.东北师范大学史宁中校长在本文中提出了他对平面几何的改造思路,并准备用十年的时间按照这一思路在东北的一些学校进行试验.学术问题可以以自由讨论的方式进行,仁者见仁,智者见智.自西学东渐以来,我国平面几何的教学就使用过多种公理体系.比如上世纪二,三十年代,恰逢当时的大数学家们如Hilbert刚刚为欧氏几何补充了完整的公理体系,我国接受过西方科学思想的知识精英,包括他们当中的杰出代表,中国数学教育的先躯傅种孙先生曾系统地为中学生讲述过这种公理体系,培养出一批科研领域的栋梁之材.比如上世纪三十至五十年代我国普遍使用过的3S几何(由三位姓氏以S开头的美国数学教师所编),基本承袭了欧氏几何的原始体系.又如上世纪五十年代直到本世纪初我国中学课本使用的扩大化公理体系,兼顾了学生的接受能力和公理的完备性两个方面.再如美籍华人几何学家项武义先生主张的返璞归真,基于欧几里得“原本”中的物理运动而避开了现代的公理体系.凡此种种,不一而足.史校长在本文中讨论的公理体系也是平面几何教学中的一种选择,我们在这里刊出,与教学第一线的中学老师和广大的数学工作者共同探讨.     

六年制重点中学高中数学课本《立体几何》第一章编写中的几点想法

《立体几何》第一章“直线和平面”的主要内容是空间的线、面关系及其性质,共28课时。其中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系是本章的重点。本章的内容既是全书的理论基础,又是全书教学中的难点。下面介绍一下,本章编写中的想法和做法。一、扩大公理体系这一章是以四个公理为基础,扩大了公理体系。原则上是只保证公理的不矛盾性,而不要求公理的完备性和独立性。和十年制教材相比,在公理之中又增加了“两个平面交线的唯一性”,这主要是为了使用上的方便。扩大了公理就可以节约出一些课时,省去一些对学生来说并不感到必要而又繁难的证明,从而可以更快地进入主要内容的学习。而对于学生的逻辑推理能力的培养,也不会有什么妨碍。     

L-拓扑空间的新U0公理

在L-拓扑空间引入了一种新的U0公理,它被叫做次U0公理。次U0公理蕴涵次T0公理。次U0公理是一般拓扑中U0公理的好的扩张。另外,L-实直线和L-单位区间满足次U0公理。     

从变量数学到现代数学(续一)

§4新几何,新世界 1.直观几何学.从直观出发,我们会看清楚为什么会有多种几何学,而不是一种几何学.借此,我们也就容易理解在19世纪几何学中发生了什么.     

数学教学中要处理好三种关系

数学课堂教学过程中应注意处理好三种关系.第一,正确处理好数学知识体系和数学教学体系的关系.数学知识有它的固有体系,如欧几里德几何是建立在严格的公理体系之上,从而构成了一套严密的数学知识体系,这种体系讲究的是严密性和逻辑性,所有问题的解决都必须要有定义、公理、性质作保证.但数学的教学体系不同于数学的知识体系,它的特征是要兼顾学生的认知基础和认知规律,讲究的是快速易懂,即便是给学生所提供的某个问题情景也是被高度抽象化的,具有明显的教学模型的特征.如等差数列前n项和公式这一节的教学,从数学知识体系角度来看,这一知识点…