几何学中的研究对象

几何学者研究抽象空间的性质,这些性质互相间有些关系,提出一部份性质A.作为公理系统。如果从这些公理可以推演出其他的性质B,那末当我们研究一个空间X的时候,如果在X里面A成立,就可以判断B亦成立不必经过重复的计算或证明。通过公理化的过程,可以把繁复的现象,归纳为原则性的几条性质,使     

有关《三角形的全等判定》教学的一个想法

在现行课本中 ,三个三角形全等判定的公理顺序为 :边角边 ,角边角 ,边边边 .在此我有一个教学的想法 ,将前两个公理的教学顺序交换一下 .这个想法来源于我对角边角公理的一次教学过程的设计 .1　角边角公理教学过程设计的中心内容对于角边角公理的教学过程我分了三个部分 :公理的引入 ,公理的明确 ,公理的巩固 .与教材不同的是 ,我用一个生活中的实例设计问题情景引入公理 .这就是问题一 :有一块三角形玻璃碎成如图所示的两块 ,如果要将其复原 ,是不是两块都要带去 ?面对这样的问题学生有了兴趣而且议论纷纷 ,答案不一 .在此时教师应提出问…     

反证法

一、什么是反证法一般地,在证明一个命题时,从命题结论的反面入手,先假设结论的反面成立,通过一系列正确的逻辑推理,导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个互相矛盾的结果,肯定了“结论反面成立”的假设是错误的,从而达到了证明结论正面成立的目的,这样一种证明方法就是反证法,反证法对大家来说并不陌生,它是一种最常见的证明     

分析法在证明不等式中的应用

<正>从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件(已知、定义、公理、定理、性质、法则等)为止,从而证明论点的正确性、合理性的论证方法,称为分析法.其证题思路是"执果索因",故也称为因果分析、逆推证法或执果索因法,分析法是一种证明不等式很有效的方法,也是解决数学问题的重要方法.     

聚焦反证法在解题中的应用

牛顿曾经说过:"反证法是数学家最精当的武器之一."它是指从与命题的结论相反的假设出发,经过正确的推理,推出与已知证明的定理、公理、定义或题设相矛盾的结果,这样就证明了与结论相反的假设不能成立,从而肯定了原来的结论成立.     

几何学的发展与公理方法

在数学领域中,围绕着几何学的发展和几何学的公理系统的问题,历来存在着唯物论和唯心论的激烈斗争.资产阶级唯心论者,把欧氏几何公理系统和罗巴切夫斯基几何的诞生,作为鼓吹“头脑制造数学”论的“王牌”,竭力否定几何公理来自社会实践,蛊惑人心地宣扬数学公理是天赋真理,把公理方法推崇到至高无上的地位.这种唯心主义的哲学观点,在刘少奇一类骗子的反革命修正主义路线的扶持下,长期以来也充斥在我国数学领域,成了数学工作者的精神枷锁.在全党深入开展批修整风运动的今天,我们一定要对此进行彻底批判,肃清它的流毒,进一步分清什么是唯物论的反映论,什么是唯心论的先验论,从而使数学研究和数学教学沿着毛主席的革命路线不断深入发展.     

关于点、直线和平面的定义问题

要建立一种几何学的一种公理体系,选擇不给定义的基本概念問題具有决定性的意义。由于基本概念的不同选取,就决定了这种几何学的不同結構的公理系統。这个事实在現代公理法的研究里,特別表現在初等几何公理体系的多样性方面。     

在一般观念引领下探索空间几何图形的性质(续)——“立体几何初步”内容分析与教学思考

3.3空间直线、平面的平行关系1.空间中直线与直线的平行平面几何中已经研究过平行线,立体几何中继续研究什么?首先是将平面几何中关于平行的结论推广到空间,得到"基本事实4".也就是说,平行关系的传递性在空间仍然成立.利用基本事实4,可以将"等角定理"推广到空间(如图2),其证明也是利用平行的传递性,通过构造全等三角形而得.     

集合与对应

1　集合和元素集合是某些对象的全体 ,判断一个对象是否为某个集合的元素 ,就是要检验这个对象是否具有这个集合的元素所共有的属性 ,用集合的语言表述 ,就是对于任何一个对象ａ与集合Ａ ,ａ∈Ａ或ａ Ａ二者必居其一 .例 1　如果凸ｎ边形Ｆ(ｎ≥ 4 )的所有对角线都相等 ,那么 (　　 )(Ａ)Ｆ∈ {四边形 }.(Ｂ)Ｆ∈ {五边形 }.(Ｃ)Ｆ∈ {四边形 }∪ {五边形 }.(Ｄ)Ｆ∈ {边相等的多边形 }∪ {内角相等的多边形 }.分析　显然 ,我们用正五边形作反例便可否定结论 (Ａ) ;用正方形作反例就可否定(Ｂ) ;而用等腰梯形作反例又可否定 (Ｄ) .因此正确…     

怀念恩师傅种孙先生

傅先生是我尊敬的恩师．我从一个不懂事的青年,成长成一个能为国家国防科研事业做了一些工作的人,这和傅先生的教导和榜样的力量有很大关系．自大学三年级起（1948）,傅先生来数学系任主任,他教我们近世代数课,使我接触到近代数学．一次在讲公理法时傅先生在黑板上写了"尽弃所学而学之",便下课了．过了好久,才理解到其中的含义,更觉得此话精辟．傅先生治学刻苦努力、严肃认真、一丝不苟,要求对问题的彻底解决．有一次傅先生谈研究问题时,他说陈垣校长曾说："陈垣之后就没事可做了"意思是说他把问题完全解决了．傅先生作研究,也是…     

綫段的长度

一、引言在这篇文章里,准备比較严謹地談談綫段的长度問題。从几何基础的观点来看,必須有了結合公理,順序公理和合同公理的基础,才能引进連續公理,也就是阿基米德(Archimeder)公理和康脫尔(Cautor)公理或等价的戴德金(Dedikind)公理,有了連續公理才能說清楚綫段长度的概念。在这里,我們假定讀者已經熟悉前三組公理。不过,即使不熟悉前三組公理看这篇文章,也不致发生什么困难。为了叙述上的簡单,我們采用了二进小数,并在第二节中簡要地介紹了一下二进小数。采用了二进小数对于平分一个綫段来說,不用平行公理就能作到。如     

略谈抽象化和公理化——现代数学发展的前奏

如果我们把数学的现况和本世纪初的状况作一番比较,我们就会为这期间发生的巨大变迁惊异不止．公理方法和抽象化正统治着每个领域,回顾一下历史可能有助于我们来了解这番变化．在这里,我想仅就纳数学来谈一谈,而把应用数学上内容繁富的各个领域暂时搁在一边．说到公理方法,首先就让人想到欧几里德和他的众所熟知的公设系统．事实上,直到今天,这一系统在结构上依然是堪作典范的;虽然有一些漏洞,它仍不愧是人类精神文明里最了不起的成就之一．但是,我们今天所理解的公理方法比起（古）希腊人那里的方法已经大为木同了．对（古）希腊…     

一般代数对象的挠理论

1993年Puczylowski在用公理系统构造的其中元素称为代数的对象类中建立了根与半单类的一般理论。本文的目的是在这种最具广泛性的代数系统中讨论挠理论，用格论方法给出它的一些特征刻划。     

什么是层叠集合观

七十年代布罗斯利用层叠集合对策梅洛集合论(简称Z)的公理系统作了推导.对集合的层叠观定性,一度被认为是完全自恰的.基于此,文中引入层叠集合观并重新刻画Z公理系统,对原文一些疏漏和不当之处作了补正,使之简明易懂.最后对层叠集合观提出了若干自己的认识.     

六年級幾何課的計劃(續)

第四十一课本课主题:平面上直线的相互位置,平行线定义本课主题Ⅰ.课外作业检查(在黑板上).Ⅱ.复习提问.已知底边,一底角及两腰之和,求作三角形,什么叫做公理、直线公理?Ⅲ.学习新教材.直线公理是说通过两点D与D_1可能且只能引一直线AB.假定仍通过此二点再引第二条直线A_1B_1时,则与第一     

关于空间中平行传递性的证明

<正>在阅读数学人教B版(2019)必修四教材的过程中,我发现有这样一段表述(P94):这两条命题并没有作为公理给出,也没有把它当成定理并给出证明,而是仅仅通过举例就得出了结论,于是引发了我的思考．因为在平面中成立的命题在空间中不一定成立,如:平面中垂直于同一条直线的两直线平行,但空间中垂直于同一条直线的两直线不一定平行．     

浅析用分析法证题常见的几种推理错误

分析法是一种重要的逻辑论证的思考方法,它是从待证命题“若A则B”的结论B出发,运用已知的定义、概念、定理或公理等逐步逆求结论B成立的充分条件(即每步推理可逆),最后得到待证命题的条件A或已证的事实,则待证命题获证。     

高一几何第一章复習提綱

第Ⅰ單元线段的度量的复習提綱 (甲) 关于阿基米德公理 1)阿基米德公理的內容是什么? 2)用数学式子怎样將它表出? 3)我們用它解决了什么問題? (乙) 公度 1)什么样的綫段叫做兩条已知綫段的公度? 2)兩条线段如果有公度,它有最小的嗎? 为什么? 3)怎样说明当兩条已知綫段有公度时一定有最大公度,並且还只有一个? 4)当兩条已知綫段有公度时用什么方     

改革立体几何教学的一点体会

在教学改革运动中,我們对立体几何的教学进行了改革。現在把我們的初步体会写在下面,请同志們指正。 1.大胆改革教材是提高效率提高質量的先决条件原教材是用公理法,以直接度量的方法推出长方体的体积计算公式,然后在这个基础上逐一地推出棱柱、棱錐和棱台的体积計算公式来。按照这个系統,讲授既費时間,学生又不易接受。因此我們用增加公理数目的办法来簡化証明。这样既节約了时間,又保証了学生的学习貭量。公理法是数学基础中的重要內容之一,高等数学中它也有重要的应用,在中学給予适当地訓练是必要     

平面几何定理的证明教学浅谈

几何课教学的主要内容之一是定理证明的教学。下面从四个方面谈谈定理证明的教学。一、认识定理证明的必要性,明确定理证明的重要性“定理是用推理的方法判断为正确的命题”。也就是说,几何中的定理,只有当它按照逻辑推理被证明之后,才认为成立。对于这点,在初学阶段,学生由于受小学直观几何的影响,对证明的必要性是认识不足的。在教学中,我们应向学生说清楚:定理中所引入的内容、从理论的角度来说,不过是一种猜想,猜想是否成立,必须根据已知定义、公理、定理(正确的命题)用逻辑方法来论证。科学的工作是不能随便的,不能凭感官、不能凭特例来判断的。例如,教