关于充分条件和必要条件

充分条件和必要条件是在构成許多数学命題时要用到的最重要的概念。不了解它們的邏輯关系,学生就不能透彻地理解定理的含义,不能深刻地認識定理的証明和解題过程。因此,为提高学生数学知識的貭量以及对他們加强邏輯推理和分析問題的訓练,就不得不要求学生对同一个命題中的前提和結論之間的关系以及命題与命題之間的关系有清楚的認識。本文就我們在这方面教学实践中得到的点滴体会来談一談,以供同志們参考并請指教。     

数学归納法教学探討

数学归納法是数学中一种重要証題工具。但是,高中学生往往难以理解它的实貭,对它的証題步驟,也往往是死記硬套,因此数学归納法是中学数学课中較大难点之一。下面对这一段教学及学生常出現的問題提出几点意見。 (一)怎样提出数学归納法人們进行邏輯推理时有归納和演繹二种方法。演繹法是由一般命題推出特殊命題的方法。例如:任何平行四边形其对角綫互相平分。菱形是平行四边形, 所以菱形的对角綫互相平分。与此相反,归納法是由特殊命題概括出一般命題的方法。     

关于解析几何教学的几点注意

本文拟环繞解析几何中的一些概念,关于在数学教学中如何对待“直观与論证”談一些个人的看法。內容包括:一、数学中的邏輯論証及直观說明;二、解析几何教学中一些問題的商榷;三、关于綫段的量的一个定理;四、关于三角形面积公式的一个証明;五、关于二次曲綫中心的定义問題。一、数学中的邏辑論证及直观說明先談談数学中的邏輯論証。通常在数学中的論証属于形式邏輯中論証的范畴。形式邏輯中的任何証明都是由下列三部分构成:(一)論題,(二)論据,(三)論証。論題是需要加以証明的判断,論据是被用来作为論題底充足理由的諸判断,論証是組成从論据推出論     

关于不等式的証明

在代数“不等式”一章中,不等式的証明是个难点。証明方法多种多样,往往因題而异,缺少一定的途径。但是,如果能牢固地掌握不等式的性貭,认識基本不等式的特点,认真地审題;并且运用比較、分析和綜合等推理方法,进行思考探索,也不难找到証題的途径。目前,学生的邏輯推理能力很差。因此,抓住这单元的数材,培养学生仔細审題和认真思考,进一步培养学生的邏輯推理能力,就显得十分必要。 (一) 引导学生认識基本不等式的特点掌握証題的一般方法学生对不等式的証明,往往停留在模仿范例,做些类似的推理。遇有外形略异的題目,就束手无策。究其原因不外是:(1)教师对于常用的不等式的特点沒有透彻地讲解。学生在証題时,不能根据需要选择应用已知的不等式,进行推理論証。(2)教师对于一般的推理方法,沒有使学生很好地掌握。因此,学生在証题时,就不会运用严謹的推理方法,逐步地进行探索和論証。因此,教师在教学中,应該注意解决由于上述原因     

数理邏輯和自动化

建立以概念和命題为对象的字母演算的最早想法和尝試皆属于十七世紀著名的数学家和哲学家萊布尼茲(1646-1716)。根据这种邏輯演算的思想,他曾幻想有一天人們可以用計算去代替辯論。因而萊布尼茲设法使邏輯和計算結合起来,使邏輯代数化,把組合分析的思想灌輸到邏輯中去,即建立現在称为数理邏輯的这門科学。数理邏輯发展到今天已达高度完善的程度,并成为最主要的数学学科之一。数学基础和数理邏輯現在也几乎变为同义語了。今天任何一篇有关数学現状及其发展的途的較长的綜合性文章部首先要考察数学基础和数理邏輯。这很自然,因为一方面研究数理邏輯并不需要任何的数学預备知識,另方面数理邏輯对現代数学的所有各分支却是必不可少的,因为現代数理邏輯的研究对象是建立数学証明的方法和工具。現代的数理邏輯可定义为研究数学証明的科学。     

談談作图題

以下所談,有些观点不一定正确,仅供大家参考。一、作图題在几何課程中的重要性在一些数学书里,即使它下是研究几何,我們也常常看見附有不少的几何图形。这是什么緣故呢?原因不是別的,是由于几何图形具有直观性,利用它可以帮助我們容易理解抽象的数学事理,几何学的研究对象是图形,当然更少不了要画图的了。从理論上讲,要使几何学的研究对象不落空,就需要有一系列的存在命題——公理和定理——保証它的存在。存在命題是本门科学所論各种事理的根基,根基虛无,便属空中楼阁。所以严格地說,每当提出命題的时候,首应討論題設的图形是否存在,如其烏有,     

提高初二学生証題能力的体会

初学几何証明題的困难究竟在哪里?从学生的反映,作业中发現的問題以及平时观察了解,不外有下列几点: 1.缺乏叙述問題的能力。当学生初接触几何証明,就会感到这种証明的叙述过程不同子在算术或代数里的解題方法,不习慣于层层推理論証,叙述吋詞語不通,例如把“以A点为圓心,4cm为半径作弧交CE于B”。叙述成:“以A点为圆心,半径4cm为弧到B”。往往用冗长的文字叙述代替用数学符号来表达問題。对于常用的詞,如相同与相等、平分与平均、含有与具有等往往区别不清。 2.概念不清,表达錯誤。我們常見学生把△ABC三内角和等于180°写成△ABC=180°;把图1中的∠BDC和∠CEB写成∠D和∠E,或写成∠1和∠2(图中未标∠1,∠2);分不清三角形的高与垂綫;     

略談数学中的符号

数学是研究現实世界中量的关系的科学,全面而又系統地使用符号表示它的所有概念、运算与关系,是数学的一个特点。比如,通常用“∞”表示无穷大量、用“+”表示加法运算、用“=”表示两个“量”之間的相等关系等等。用数学方法計算实际問題,总是先用符号表示具体問題中的“量”和关系,然后将实际問題化为“公式語言”,再对它进行推理与計算,就得出所要求的答案。在初等数学内,用方程解应用問題,就是这方面的很好例子。数学的发展从根本上来說,是依赖于生产实践,但是簡明而又精练的数学符号,对数学的发展又能起一     

行列式(续)

四.行列式的基本性質2) 主对角元素都是1,其余的元素都是0的行列式,它的值等于1. 很容易可以用对阶数n作归納法来証明这个命題.当n=1时命題显然成立.对于任意n,所說行列式有形狀     

数学归納法的教材研究与教法建議

从現行代数課本来看,数学归納法是由学习“第一项相同而第二項不同的若干个二项式的积”这一課題而引出的,而这一課題的目的又在于导出“二项式定理”这一重要內容;从以后的习題內容来看,我們又将这一証明方法用之于等差数列和等比数列的通項公式以及求和公式的証明,以后又将这一証明方法用之于其他多种类型的问題,如排列、組合、复数的若干性质,不等式的证明,恆等式的証明,在几何里又可以用之于尤拉公式——“f v=l 2”的証明,等等,总之,对于和自然数有关的命題,一般都可以应用数学归納法。因此,在中等数学的許多章节里,以及在高等数学学习中,数学归納法都是一个重要的推理工具,同时,数学归納法也是发展与培养学生的邏輯思維能力的很好题材。但是,历来中学生学习这一节內容时感到困难,不易掌握其精神实貭,或者不能熟练运用这一証明方法,这給中学生进一步学习高等数学带来不便。現在,我們根据自己几年来的教学实践,把有关这一节的教材研究和致法建議写出来供同志们教学中参考,并请指正。     

实数的連續性

在高中代数課本第二册83。“关于极限的定理”这一节中,列举了关于极限的六个定理。除了第二个定理外,其余五个定理,在任何一本数学分析課本中,都可找到証明。但是,对于第二个定理,通常的数学分析課本上,有着不同的处理方式:有的采取作为不加証明的基本命題;有的从实数的連续性出发,当作一个定理来証明它。由于对实数連續性的叙述,有各种不同方式,因而,对这个定理的证明,也是各式各样的。这里,我們将从高中代数課本第一册的实数字义出发,介紹这个定理的証明。实数是什么?可以有各种不同方式来回答这个問題:中学代数是用无限小数来作为实数定义的。而在高等数学中,最常见的有两种方式:按照德得金(Dedckind)的实数理论,实数是有理数的分划;按照康脱(Cantor)的实数理論,实数是有理数的正則序列的类。可以証明,这几种定义是等价的。由于定义实数     

一个几何問題在农业密植上的应用

一、几个預备命題:它是中学平面几何中的問題,提出来为了便于理解現在农业密植問題的科学处理方法。 1.在图1中,正方形ABCD同平行四边形A＇B＇C＇D＇的边长相等,而正方形的面积大于平行四边形的面积。 証明 設□A＇B＇C＇D＇的高D＇E=h。     

数学思維中的归納与类比

翻开一般的数学課本,就会看到:定义—定理—証明—推論,最多再举几个例,或者在定义前面有个小敍,说明一下理論发展的簡略情景。但要問,这个定理是怎么发現的?数学家怎样找到了証明?証明的过程为什么必須是这样的?如此等等数学家們真实的思維过程在写书时都被抽掉了。在一般的数学文献中,这样做也许是必要的,但在数学教科书与数学教学中,注意适当地发掘这种思維过程就显得很重要了,它将对培养初学者的数学能力起很好的作用。近来讀到一本书:“数学与似然推理”(原书是英文,有俄文譯本),是数学家波利亚(Polya)根据自己数学研究和教学的經驗写成的。这本书的主要目的在于肯定地回答諸如“在通常的自然科学中所应用的归納、类比、观察、实驗、概括等方法在严謹的科学,例如数学     

初等数学中的定义和証明

在学习数学的过程中,如果能自覺地运用正确的思維形式,那末对于透澈理解与牢固掌握数学的基础知识和提高应用数学方法解决实际問題的技能都将获得显著效果。因此在数学教学中,教师不但应当自觉地运用正确的思維形式,而且必須通过数学內在的逻輯因素,有意識地向学生介紹邏輯方法。下面就通过初等数学的內容对定义和証明作簡略的論述。 給数学概念下定义,通常是采用“种属定义”。所谓“种属定义”,是指通过揭露邻近的种和属差来給概念下定义,即首先找出被下定义的概念的邻近种,然后再找出它与同一种概念中其他概念的差别。“种属定义”的公式是     

多面角的面角性質

在“三面角的面角性貭”一文里(見本通报1958年8月号),証明了三个面角构成一个三面角的充要条件是:三个面角和小于360°,且任一面角小于其他两个而角之和。最近有讀者提問:对于任意多面角是否也有类似的命題成立?在現行立体几何課本里已証明构成多面角的必要条件是“各面角和小于:360°,且任一面角小于其他各面角和”。这一条件是否也是充分的呢?回答是肯定的,即要証明定理符合下列两条件的n个(n≥3)面角可以构成一个凸n面角: 各面角和小于360°; (A) 任一面角小于其他各面角和。 (B) 让我們用数学归納法进行証明。 設此命題对于n=k(k≥3)时成立,即符合条件     

关于点、直线和平面的定义问题

要建立一种几何学的一种公理体系,选擇不给定义的基本概念問題具有决定性的意义。由于基本概念的不同选取,就决定了这种几何学的不同結構的公理系統。这个事实在現代公理法的研究里,特別表現在初等几何公理体系的多样性方面。     

命題演算和某些邏輯推断方法的根据

在过去两千年的时期內,邏輯被应用来发展数学,但数学却没有被用来发展邏輯。仅仅在19世紀数学才开始渗透到邏輯中去,并产生了巨大的效果。由于应用数学方法于形式邏輯的問題,結果出現了一个新的科学部门——数理邏輯(或譯数学邏輯,下同——譯者注)。数学学科的演繹体系提出研究它們的邏輯結构,查明在这个体系中应用的邏輯方法的問題。邏輯推断方法的理論的研究即是数理邏輯的对象。在本文中只討論数理邏輯的最簡单的部分——命題演算。     

关于反証法在中学代数教学中的一些运用

在中学数学中,某些理論若用直接証明,便会太复杂,使学生不易掌握;另外,有时学生还不具备用来証明理論的一些知識,使理論不能得到应有的邏輯上的承认。在这种情况下,若用反証法来讲解是很有成效的,可以达到讲透教材的目的;可以給学生解答一些比較困难的問題。現在举几个例題說明如下: 例1.当我們讲高中代数第七章內“§94对数的定义”时,教材中写着“……我们可以証明(証明很繁,这里省略不讲),一定有唯一的值x=b能够使 2~b=5. 这里所說的“証明很繁”,指的是直接証明很繁,但是我們如果用反証法可証明如下,中学生接受起来并不觉得困难。 証.假设当x=b及x=b′时,都能使2~x=5成立,即2~b=5,2~(b′)=5。     

略談几何証明的邏輯联系

中学几何的理論与初等邏輯(形式邏輯)紧密地联系着。关于邏輯学中的名詞术語,一般不宜在几何課中向学生介紹,但对于教师本身来說,应当不断加强邏輯理論的修养,才可能有效地培养学生的邏輯思維,提高他們的推理論証能力。本文試从以下几个方面簡要地談談邏輯的証明在几何証明中的体現。一、証明的涵义与結构人們对于客观事物的属性的肯定或否定的思維形式叫做判断。引用其他真确的判断來証实某一判断的真确性,叫做对于这一判断的証明(本文前后所称証明同此义)。几何教材中便是引用前面的定义、公理、定     

关于几何作图的几点意見

我脫离中学教学多年,对于中学教学已不大熟悉了。不过我还愿意对几何作图的教学提出几点意見,并提出几个問题与大家商榷,并希指正。一、把证題和作图題密切結合起来几何問題虽属千差万別,但要按性质来区分,不外証明題和作图題两大类。給出图形,証明它适合某种条件,这是証明題;給出条件,求作一图使适合某种条件,这是作图題。作图之后,照例应有証明,証明題中也少不了作图。这两件事是互相联系,互相启发,原无先后之分的。有时在寻找或証明充分必要条件时,更是难舍难离,所以除非为了特殊目的(例如着重讲作图方法、讲制图术),不宜把証明题和作图題割裂开来,使互不相干。因此对每一章的証明題应該配合以适当的作图題。作图題与証明題如果配合得好,可使学过的定理益加巩固,理解更为深刻,而作图因有理論作根据,也可以減少差錯或弥补不足。二、把几何作图与制图課密切结合起来这一点也应該是努力实現的目标。大家知道,几