求解张量随机互补问题的光滑牛顿算法

近年来, 越来越多的人意识到随机互补问题在经济管理中具有十分重要的作用。有学者已将随机互补问题由矩阵推广到张量, 并提出了张量随机互补问题。本文通过引入一类光滑函数, 提出了求解张量随机互补问题的一种光滑牛顿算法, 并证明了算法的全局和局部收敛性, 最后通过数值实验验证了算法的有效性。     

求解张量随机互补问题的光滑牛顿算法

近年来, 越来越多的人意识到随机互补问题在经济管理中具有十分重要的作用。有学者已将随机互补问题由矩阵推广到张量, 并提出了张量随机互补问题。本文通过引入一类光滑函数, 提出了求解张量随机互补问题的一种光滑牛顿算法, 并证明了算法的全局和局部收敛性, 最后通过数值实验验证了算法的有效性。     

求解张量互补问题的一类光滑模系矩阵迭代方法

本文提出了求解张量互补问题的一类光滑模系矩阵迭代方法.其基本思想是,先将张量互补问题转化为等价的模系方程组,然后引入一个逼近的光滑函数进行求解.我们分析了算法的收敛性,并通过数值实验验证了所提出算法的有效性.     

基于指标形式张量的微分几何定理机器证明

提出了一个基于指标形式张量的微分几何定理的机器证明算法.该算法将微分几何定理转化成带指标的张量多项式的计算问题,然后通过利用重写规则,挖掘等价条件和分次选取条件等方法大大减少了这个多项式系统的方程个数.再利用这个多项式系统本身和关于哑元的方程三角化这个多项式系统,将所得到的首项代入结论, 从而得到了该定理的机器证明.该算法不仅能够证明基于指标形式张量的微分几何定理,也可以用于张量方程的求解.     

修正共轭梯度算法求解四元数Sylvester张量方程

本文提出一类张量形式的修正共轭梯度算法求解四元数Sylvester张量方程.证明在不计舍入误差的情况下,所提方法可在有限迭代步内获得张量方程组的解.进一步,通过选择特殊类型的初始张量,可获得方程组的唯一极小Frobenius范数解.通过数值算例验证了所提出算法的可行性和有效性.     

圆锥规划问题的光滑牛顿方法

给出求解圆锥规划问题的一种新光滑牛顿方法.基于圆锥互补函数的一个新光滑函数,将圆锥规划问题转化成一个非线性方程组,然后用光滑牛顿方法求解该方程组.该算法可从任意初始点开始,且不要求中间迭代点是内点.运用欧几里得代数理论,证明算法具有全局收敛性和局部超线性收敛速度.数值算例表明算法的有效性.     

张量空间上的线性互补问题

借助于一类张量收缩积,本文定义一类张量空间上的线性互补问题,简称张量线性互补问题.当所涉及的张量变量退化为向量时,所考虑的问题退化为经典的线性互补问题.对此,首先讨论张量收缩积的一些性质,然后建立张量线性互补问题的理论与算法.具体地,讨论张量线性互补问题的等价模型、可行性与可解性理论、解集的凸性等,提出一个求解张量线性互补问题的外梯度算法,在一定条件下证明算法的收敛性,并给出初步的数值实验结果.     

解非线性互补问题的光滑牛顿方法

由于退化解会导致再生方程的奇异性,非线性互补问题的求解通常采用基于半光滑技术的广义牛顿法.基于2-正则性的概念,提出了一类利用光滑互补函数求解互补问题的光滑牛顿算法.算法采用积极集技术,能在解的附近估计出退化指标,并把原问题降阶为一个非奇异方程组,从而保证了迭代效率.算法具有整体收敛性和局部超线性收敛性,数值实验显示算法是有效的.     

一种改进的FastICA算法

FastICA算法是一种快速独立分量分析(Independent Component Analysis:ICA)算法,但它是基于牛顿迭代方法和合理近似的一种算法,所以具有改进空间.近年来提出了许多改进的具有更高阶收敛性质的牛顿迭代方法.将一种3阶收敛的牛顿迭代方法引入ICA算法的推导中,在合理近似的基础上,提出了一种改进的两步迭代FastICA算法.与传统FastICA算法相比,提出的改进的FastICA算法一次迭代的计算量有所增加.但是,实验结果表明,新提出的改进的FastICA算法更稳健、具有更快的收敛速度.     

两个基于不同张量乘法的四阶张量分解

提出了两个基于不同张量乘法的四阶张量分解. 首先, 在矩阵乘法的基础上, 定义第一种四阶张量乘法(F-乘), 基于F-乘提出了第一种四阶张量分解(F-TD). 其次, 基于三阶张量t-product给出了第二种四阶张量乘法(B-乘)和分解(FT-SVD). 同时, 利用两种分解方法, 分别给出两个张量逼近定理. 最后, 三个数值算例阐明提出的两种分解方法的准确性和可行性.     

低秩张量填充的加速随机临近梯度算法

本文提出了一种求解低秩张量填充问题的加速随机临近梯度算法.张量填充模型可以松弛为平均组合形式的无约束优化问题,在迭代过程中,随机选取该组合中的某一函数进行变量更新,有效减少了张量展开、矩阵折叠及奇异值分解带来的较大的计算花费.本文证明了算法的收敛率为$O (1/k^{2})$.最后,随机生成的和真实的张量填充实验结果表明新算法在CPU时间上优于现有的三种算法.     

张量分裂可行域问题的有效投影迭代法

投影法是解决多集分裂可行域问题的广泛且有效的研究方法.本文从分裂迭代视角出发,研究了求解张量可行域问题的高效投影分裂迭代方法.首先,利用投影算子将张量分裂可行域问题转化为多线性方程组.然后,借助加速超松弛法和对称(交替)加速超松弛法的高维化处理方式,推广到适合多线性方程组的求解框架.最后,通过对新的张量分裂迭代格式的谱半径的理论分析,证明了算法的收敛性.充分的数值测试验证了算法的有效性.     

求解二阶锥绝对值方程组的非单调光滑牛顿算法

本文提出了求解二阶锥绝对值方程组(SOCAVE)的非单调光滑牛顿算法.在适当的条件下分析了算法的全局收敛性和局部二次收敛性.数值结果表明用非单调光滑牛顿算法求解SOCAVE是可行且高效的.     

对称锥互补问题的一种非精确光滑牛顿算法

基于一个光滑函数,就单调对称锥互补问题,给出了一种解决高维对称锥互补问题的非精确光滑牛顿算法.在适当条件下,证明了该算法具有全局收敛性和局部二次收敛性.数值试验证实了算法对大规模对称锥互补问题的可行性和有效性.     

分片线性NCP函数滤子QP-free算法

本文定义了分片线性NCP函数,并对非线性约束优化问题,提出了带有这分片NCP函数的QP-free非可行域算法.利用优化问题的一阶KKT条件,乘子和NCP函数,得到对应的非光滑方程组.本文给出解这非光滑方程组算法,它包含原始-对偶变量,在局部意义下,可看成关扰动牛顿-拟牛顿迭代算法.在线性搜索时,这算法采用滤子方法.本文给出的算法是可实现的并具有全局收敛性,在适当假设下算法具有超线性收敛性.     

张量鲁棒主成分分析的增广拉格朗日交替方向方法

张量的鲁棒主成分分析是将未知的一个低秩张量与一个稀疏张量从已知的它们的和中分离出来.因为在计算机视觉与模式识别中有着广阔的应用前景,该问题在近期成为学者们的研究热点.本文提出了一种针对张量鲁棒主成分分析的新的模型,并给出交替方向极小化的求解算法,在求解过程中给出了两种秩的调整策略.针对低秩分量本文对其全部各阶展开矩阵进行低秩矩阵分解,针对稀疏分量采用软阈值收缩的策略.无论目标低秩张量为精确低秩或近似低秩,本文所提方法均可适用.本文对算法给出了一定程度上的收敛性分析,即算法迭代过程中产生的任意收敛点均满足KKT条件.如果目标低秩张量为精确低秩,当迭代终止时可对输出结果进行基于高阶奇异值分解的修正.针对人工数据和真实视频数据的数值实验表明,与同类型算法相比,本文所提方法可以得到更好的结果.     

局部误差的有界约束非线性方程组的非单调信赖域算法

本文提供了在没有非奇异假设的条件下,求解有界约束半光滑方程组的投影信赖域算法.基于一个正则化子问题,求得类牛顿步,进而求得投影牛顿步.在合理的假设条件下,证明了算法不仅具有整体收敛性而且保持超线性收敛速率.     

关于Lemaréchal高阶算法的研究——概念性算法

对于非光滑的极小化问题,C.Lemaréchel在[1]中对凸函数的无约束极小化问题提示了一个高阶σ-牛顿型算法的思想,并讨论了某些性质。本文对[1]的高阶σ-牛顿型算法作了进一步研究,并提出一个概念性算法,证明了算法的全局收敛性。     

QDB-张量和SQDB-张量

在文中,我们提出了四类新的结构张量: QDB(QDB0)-张量和SQDB(SQDB0)-张量,并证明了对称偶数阶的QDB-张量和SQDB-张量的正定性,对称偶数阶的QDB0-张量和SQDB0-张量的半正定性.     

自适应非张量积小波紧框架图像去噪

本文研究了图像去噪的问题.利用光滑余因子协调法,构造了样条空间S_6~4(?_(mn)~(2))中的二元六次样条函数,以此作为尺度函数,并基于酉延拓定理,构造了非张量积小波紧框架.利用构造的非张量积小波紧框架,提出了基于香农熵自适应确定最优小波紧框架分解层数以及改进的Normal Shrink自适应阈值算法,并给出了图像去噪实例和结果分析,获得了理想的数值结果,显示了本文方法的有效性.