一类两点边值问题的正解个数

本文讨论边值问题y'+λ(yp+μp+yp)=0,y(-1)=y(1)=0,其中λ>0是正参数,μ≥0.对(1-p)(1-q)>0的情形得出了正解的存在唯一性.对(1-p)(1-q)<0的情形,其主要结论是:若p>1>q>-(25+23p)/(23+25p),μ≥0,则存在λ*>0,使得当0<λ<λ*时,此边值问题恰好存在两个正解,当λ=λ*时,存在唯一正解,当λ>λ*时,不存在正解.     

函数为主线，串联知识点

函数在整个高中数学中占有十分重要的位置 ,具有主导作用 .因此 ,我们应把函数的概念和性质把握好、运用好 .特别是综合复习时更应以函数为主线串联其他各知识点 ,使之形成网络 .这样就能“以纲带目 ,纲举目张” ,就更有利于扩展知识面 ,拓宽解题思路 ,就可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 .1　函数与方程问题例 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｌｇ(ｓｘ-ｔｘ) ,常数ｓ >1 >ｔ >0 ,不等式ｆ(ｘ) ≥ 0的解集是[1 , ∞ ) .求证 :ｓ=ｔ 1 .证　由题知ｓｘ -ｔｘ >0 (ｓｔ) ｘ>1ｓｔ>1 ｘ >0 .设 0 <ｘ1<ｘ2 ,∵ｓ>1 >ｔ>0 ,∴ｓｘ1<ｓｓ2 ,ｔ…     

不等式的几个性质

不等式的性质是后继学习的基础 ,熟练掌握并能灵活运用不等式的性质 ,是提高解题准确性和快捷性的关键 .这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质 ,以供参考 .1　乘方、开方性质1)若ａ >ｂ ,则有 :①ａ2ｎ 1 >ｂ2ｎ 1 ;② 2ｎ 1 ａ >2ｎ 1 ｂ (ｎ∈Ｎ) .2 )若 0 >ａ >ｂ ,则ａ2ｎ<ｂ2ｎ(ｎ∈Ｎ ) .3)若 0 <ａ <ｘ2 <ｂ ,则 -ｂ <ｘ <-ａ或ａ <ｘ <ｂ .2　取倒数性质1)若ａ >ｂ >0或 0 >ａ >ｂ ,则 1ａ<1ｂ.2 )若 0 <ａ <ｘ <ｂ或ａ <ｘ <ｂ <0 ,则1ｂ<1ｘ<1ａ.3　取绝对值的性质1)ａ2 >ｂ2 |ａ| >|ｂ| .2 )若ａ <…     

极大代数上线性系统的3维最小实现的研究

研究了极大代数上线性系统的3维最小实现问题,给出了特征方程为λ<'3> c<,0>λ<'0>=c<,2>λ<'2> c<,1>λ,当c<,1>=c<'2><,2>,c<,0>=C<,1>C<,2>时,无穷序列{g<,2>}<,0><'∞>存在3维最小实现的充要条件.     

一个容易被忽视的问题——对一道习题答案的纠正与讨论

在职高教材通用本数学第一册中有这样一道题 ,比较ｍ ,ｎ的大小 ,其中有一小题是ｌｏｇｍ5 4>ｌｏｇｎ5 4,新版与旧版教参中答案均为ｍ <ｎ .可以看出 ,这是不全面的 .比如取ｍ =5 4,ｎ =0 1 ,显然ｌｏｇ5 45 4>ｌｏｇ0 1 5 4,而 5 4>0 1 ,即ｍ >ｎ .下面就一般情况做如下讨论 .若ｌｏｇｍｘ >ｌｏｇｎｘ ,比较ｍ ,ｎ的大小 .1　当ｘ>1时 ,即在直线ｘ=1右侧研究图象即可 ,有下面三种情况 :(1 )当ｍ >1 ,ｎ >1时 ,见图象ａ(1 ) .　　 (2 )当 0 <ｍ <1时 ,0 <ｎ <1时 ,见图象ａ(2 ) .(3)当ｍ >1 ,0 <ｎ <1时 ,见图象ａ(3) .显然在 (1 )及 (…     

注意三角形中的一个隐含条件

在三角形中 ,隐含着一个非常重要的条件 ,而同学们在解题时常常忽略该条件 ,从而造成解题失误 .这个条件就是 :三角形中 ,任意两内角的余弦之和为正 ,即△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 ,ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .证明　∵△ＡＢＣ中 ,0 <Ａ Ｂ <π ,∴ 0 <Ａ <π -Ｂ <π ,又余弦函数在 (0 ,π)上是减函数 ,∴ｃｏｓＡ >ｃｏｓ(π -Ｂ) ,即ｃｏｓＡ >-ｃｏｓＢ ,故ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 .同理可证 :ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .下面举例说明这一条件的应用 .例 1　已知△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ…     

充分利用定义中的条件

二次根式的定义为 :式子 ａ(ａ≥ 0 )叫做二次根式 .这一定义中的条件ａ≥ 0极为重要 ,同学们在学习时应特别注意并在解题时充分利用 .现分几种情况举例说明 .一、若ａ有意义 ,则ａ≥ 0例 1　要使根式 1-ｘ有意义 ,那么ｘ的取值范围是 .( 2 0 0 2年福建省龙岩市中考试题 )解 :要使 1-ｘ有意义 ,必须 1-ｘ≥ 0 ,得ｘ≤ 1.例 2　ａｂ≠ 0 ,则等式 - - ａｂ5=1ｂ3 -ａｂ成立的条件是 (　 ) .Ａ .ａ >0 ,ｂ>0　　　Ｂ .ａ >0 ,ｂ <0Ｃ .ａ <0 ,ｂ >0Ｄ .ａ <0 ,ｂ <0( 2 0 0 2年山东省淄博市中考试题 )解 :∵ - - ａｂ5=1ｂ3 -ａｂ ,∴ｂ3 <0 ,…     

不等式f(x)·(g(x))~(1/2)≥0的解法

解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0极易出现漏解或增解 ,最常见的错误解法是 ,将 f(x)·g(x) ≥ 0转化为不等式组 f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0 .须知 f(x)·g(x) >0与 f(x) >0 ,g(x) >0同解 ,但是 f(x)· g(x) ≥ 0与f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0并不同解 .那么 ,怎么解此类不等式呢 ?下提供三种基本的解法供参考 .方法 1　将关系符号分解符号“≥”是由“ >”与“ =”复合而成 ,这样解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0可以转化为解不等式 f(x)· g(x) >0与解方程 f(x)·g(x) =0 .例 1　解不等式 (x - 4 ) x2 - 3x - 4 ≥ 0 .解　原不等式可以转化为 (x - 4 )x2 - 3x - 4>0或 (…     

常微分方程边值问题分歧解的例子

本文的目的是给出简单非线性二阶常微分方程边值问题具有分歧解的一些例子。在区间[-R,R]上,考虑常微分方程及边值条件 u(-R)=u_0,u(R)=u_0, (2)其中R>0,u_0>0为给定常数,λ为参数,已知函数K(u)与F(u)是光滑的,并且当u>0时K(u)>0,F(u)>0。从方程及边值条件的对称性,可知当x=0时u＇(0)=0。记u(0)=u~*为待定常数。积分一次得     

构造几何图形证明不等式

不等式的证明是中学数学的基本内容 ,证明不等式的方法也很多 :分析法、综合法、反证法、放缩法、判别式法 ,三角置换法等是常用的思路 ,而利用构造几何图形来证明不等式在教材中却不常见 .这是由于构造几何图形证明不等式技巧性比较强 ,以至于这种方法多应用于数学竞赛 .现举几例 ,以说明构造法的应用 .例 1　若 m >n >0 ,试证 :m2 - n2 2 mn - n2 >m.分析　由题设 m >n >0和 m2 - n2 >0的形式 ,可考虑构造一个 Rt△ ABC(如图1 ) ,使 AB =m,BC =n,C =90°,显然AC =m2 - n2 ,∴　 m2 - n2 n >m,又∵　 m >n >0 ,∴　 mn >n2 ,　 2 …     

Behaviour of solutions of the quasilinear wave equations for mechanism with a boundary piston possessing mass

1. IntroductionFor the initial-boundary Value problem of the one-dimensional quasilinear wave eqllationwhere ms r, k 2 0 are constants, there are the following known results: For m ~ r = k = 0,[1] obtained the blow-up behaviour for the solution of (1.1), and [2,3] also got the blow-upbehaviour when m = r = 0, k > 0 and m >> 1, r,k > 0 separately. [3-5] discussed thecases of m = k = 0, r > 0 and m ~ 0, r, k > 0 respectively and obtained the existence anduniquness of the global solution.In this …     

从一个问题的求解谈极值概念的教学

20 0 0年 7月前高中数学所用的教材关于极大极小值的概念 ,是在高中代数下册关于“函数的极限”部分给以介绍的 ,现用的全日制普通高中 (试验修订本 )课本中也是将此知识放在高三教学内容的相关部分 ,而这一部分知识由于以前高考不考 ,大都无人问津 ,但与极大值、极小值相关联的最大值、最小值这两个概念在初三、高一、高二上学期均已出现 ,因而与此相关的问题便会出现 .如　已知ａ>0 ,ｂ >0且ｌｏｇ2 ａ·ｌｏｇ2 ｂ=1 6 ,求ａ·ｂ的最值 .学生解　因为ａ>0 ,ｂ>0　　所以ｌｏｇ2 ａ ,ｌｏｇ2 ｂ均有意义 .(1 )如若 0 <ａ<1且 0 <ｂ <1时 ,…     

独立同分布和的完全收敛性的一点注记

称函数ψ(t)>0,t>0为亚单调不减的,若(?)C≥1,t_0>0,使对(?)t_0≤t_1≤t_2,均有ψ(t_1)≤Cψ(t_2).称函数ψ(t)>0,t>0为亚单调不增的,若(?)00,使对 (?)t_0≤t_1≤t_2,均有ψ(t_1)≥Cψ(t_2).     

不等式的解法及其应用

解不等式的基本思想是化归转化 ,其理论依据是不等式的性质 .要熟练掌握以下几类不等式的解法 :1)一元一次、一元二次不等式的求解要准确、熟练、迅速 ,这是解其他不等式的基础 .2 )关于一元高次不等式 ,一般应先分解因式 ,再利用序轴法求解 .3)关于分式不等式 ,可先化为 ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) >0或ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <0 ,再转化为整式不等式求解 :ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) >0 ｆ(ｘ)·ｇ(ｘ) >0 ,ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <0 ｆ(ｘ)·ｇ(ｘ) <0 .4 )关于无理不等式 ,应转化为有理不等式求解 .ｆ(ｘ) >ｇ (ｘ ) ｇ(ｘ)≥ 0 ,ｆ(ｘ) >ｇ2 (ｘ) 或ｇ(ｘ) <0 ,ｆ(ｘ)≥ 0 .ｆ(ｘ…     

高二数学“不等式的性质与证明”自测题

选择题1　给出如下四个命题 :①若ａ >ｂ ,则ａｃ2 >ｂｃ2 ;②若 ａｃ2 >ｂｃ2 ,则ａ >ｂ ;③若ａ≥ｂ ,ａｃ≥ｂｃ,则ｃ≥ 0 ;④若ａ >ｂ ,则ｌｇ(ａ2 1) >ｌｇ(ｂ2 1) .其中正确命题的个数是 (　　 )(Ａ) 1个 .　 (Ｂ) 2个 .　 (Ｃ) 3个 .　 (Ｄ) 4个 .2　实数ａ ,ｂ满足 0 <ａ <ｂ且ａ ｂ =1,则下列四个数中最大的是 (　　 )(Ａ) 12 .　　　　 (Ｂ)ａ2 ｂ2 .(Ｃ) 2ａｂ . (Ｄ)ａ .3　设ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ｙ =1,则使 ｘ ｙ≤ａ恒成立的ａ的最小值是 (　　 )(Ａ) 22 .　　　　　　 (Ｂ) 2 .(Ｃ) 2 . (Ｄ) 2 2 .4　已知 0 <2ｍ <1,则…     

负侧相加正侧减 异侧取正同侧负

应用焦半径解题 ,在高考中屡见不鲜 ,怎样又快又准地写出焦半径公式呢 ?笔者在教学中总结其方法如下 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是焦点 ,易知椭圆的焦半径公式是 |ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )是焦点 ,易知双曲线的焦半径公式是 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ -ｅｘ0 | .椭圆和双曲线的焦半径公式均是 :当焦点Ｆ1在负半轴上时 ,公式为“ａ +ｅ…     

非线性特征值问题正解的存在性

证明了四阶边值问题y(4) =λα( x) f ( y( x) ) ,　 0 0且充分小时正解的存在性 .其中 ,α:[0 ,1 ]→ R连续 ,f ( 0 ) >0 .本文的工具是L eray- Schauder不动点定理 [4] .     

非线性四阶周期边值问题多个正解的存在性

利用不动点和度理论,证明了四阶周期边值问题u(4)(t)-βu″(t)+αu(t)=λf(t,u(t)),0≤t≤1,u(i)(0)=u(i)(1),i=0,1,2,3,至少存在两个正解,其中β>-2π2,0<α<(1/2β+2π2)2,α/π4+β/π2+1>0,f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是连续函数,λ>0是常数.     

一类三角级数的特征

<正> 若对于任意δ>0,存在 a>0,使当 x>a 时 l(x)>0,x~δl(x)↑及 x~(-δ)l(x)↓,则称l(x)为慢变函数.为简单计,本文的 l 都是慢变函数,不再特别声明.设β为实数.当下述级数收敛时,记     

一类具耗散项的拟线性方程初值问题整体光滑解的存在性

§1 序言本文考虑下述方程:这里 a>0是固定常数,σ:R→R,g:[0,+∞)×R→R,及 y_0,y_1:R→R 是给定的光滑函数,并假定:(σ):σ∈C~2(R),σ(o)=0,σ′(ξ)≥ε>0 (ξ∈R;ε>0)且有σ″(ξ)≠0.(g):g,g_x∈C([0,∞)×R),g(t)=(?)|g(t,x)|∈L~∞(0,∞)∩ L′(0,∞),