半张量积下矩阵方程组AX=B,XC=D的最小二乘解

本文研究了半张量积下矩阵方程组AX=B,XC=D在不同情况下的最小二乘解X*∈R~(p×q),其中矩阵A∈R~(m×n),B∈R~(h×k),C∈R~(a×b),D∈R~(l×d)给定.根据半张量积的定义将其转变为普通乘积下的矩阵方程组,再结合矩阵奇异值分解及矩阵微分给出该方程组在不同情况下最小二乘解的解析表达式,并用数值算例加以验证.     

线性流形上矩阵方程B^TXB=D的加权最小二乘对称解和解的最佳逼近

本文利用矩阵的奇异值分解（SVD）,给出了在一流形上矩阵方程B^TXB=D的加权最小二乘对称解的通解表达式,并解决了加权最小二乘对称解的最佳逼近问题。     

线性流形上反对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解

该文讨论了线性流形上矩阵方程AX=B反对称正交对称反问题的最小二乘解及其最佳逼近问题. 给出了最小二乘问题解集合的表达式, 得到了给定矩阵的最佳逼近问题的解, 最后给出计算任意矩阵的最佳逼近解的数值方法及算例.     

矩阵方程组AX=C,XB=D的公共最小二乘解

通过使用矩阵秩方法,我们给出了矩阵方程组AX =C,XB =D的公共最小二乘解的通解表达式,以及公共最小二乘解的极大秩和极小秩.     

Hermitian自反矩阵反问题的最小二乘解

本文研究了Hermitian自反矩阵反问题的最小二乘解及其最佳逼近.利用矩阵的奇异值分解理论,获得了最小二乘解的表达式.同时对于最小二乘解的解集合,得到了最佳逼近解.     

线性子空间上求解AX=B的最小二乘问题的迭代算法

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程AX=B在任意线性子空间上的最小二乘解问题.在不考虑舍入误差的情况下,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程AX=B的最小二乘解、极小范数最小二乘解及其最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.     

矩阵方程AXB+CY D=E的三对角中心对称极小范数最小二乘解

本文研究了矩阵方程AXB+CY D=E的三对角中心对称极小范数最小二乘解问题.利用矩阵的Kronecker积和Moore-Penrose广义逆方法,得到了矩阵方程AXB+CY D=E的三对角中心对称极小范数最小二乘解的表达式.     

秩约束下矩阵方程AX=B的反对称解及其最佳逼近

本文研究了秩约束下矩阵方程AX=B的反对称解问题.利用矩阵秩的方法,获得了矩阵方程AX=B有最大秩和最小秩解的充分必要条件以及定秩解的表达式,同时对于最小秩解的解集合,得到了最佳逼近解.     

矩阵方程A×B=D的(R,S)-斜对称解

矩阵方程A×B=D是教学、理论研究和工程实践中常见的一种矩阵方程.给出了A×B=D具有(R,S)-斜对称矩阵解的充分必要条件,及其解存在条件下全体解集合Sx的表达式.此外,还讨论了任意给定矩阵(X)在仿射子空间Sx中的最优近似解,并给出了最优解的显示表达式.     

矩阵方程AXB+CYD=E的对称极小范数最小二乘解

对于任意给定的矩阵A∈Rm×n,B∈Rn×s,C∈Rm×k,D∈Rk×s,E∈Rm×s,本文利用矩阵的Kmnecker积和Moore-Penrose广义逆,研究矩阵方程AXB CYD=E的对称极小范数最小二乘解,得到了解的表达式．并由此给出了矩阵方程AXB=C的双对称极小范数最小二乘解的表达式．此外,我们还给出了求矩阵方程AXB=C的双对称极小范数最小二乘解的数值算法和数值例子．     

线性子空间上求解矩阵方程组A_1XB_1=C_1,A_2XB_2=C_2的迭代算法

应用共轭梯度方法,结合线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程组A_1XB_1=C_1,A_2XB_2=C_2在任意线性子空间上的约束解及其最佳逼近.当矩阵方程组A_1XB_1=C_1,A_2XB_2=C_2相容时,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程组的约束解、极小范数解和最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.     

THE GENERALIZED REFLEXIVE SOLUTION FOR A CLASS OF MATRIX EQUATIONS （AX- B, XC- D）

In this article, the generalized reflexive solution of matrix equations （AX = B, XC = D） is considered. With special properties of generalized reflexive matrices, the necessary and sufficient conditions for the solvability and the general expression of the solution are obtained. Moreover, the related optimal approximation problem to a given matrix over the solution set is solved.     

Least-Squares Mirrorsymmetric Solution for Matrix Equations （AX=B, XC=D）

In this paper, least-squaxes mirrorsymmetric solution for matrix equations (AX = B, XC = D) and its optimal approximation is considered. With special expression of mirrorsymmetric matrices, a general representation of solution for the least-squares problem is obtained. In addition, the optimal approximate solution and some algorithms to obtain the optimal approximation are provided.     

矩阵方程组$AX=B,XC=D$的Hermitian自反(反Hermitian自反)最小二乘解及其最佳逼近

In this paper,the Hermitian reflexive（Anti-Hermitian reflexive）least-squares so-lutions of matrix equations（AX = B,XC = D）are considered.With special properties of partitioned matrices and Hermitian reflexive（Anti-Hermitian reflexive）matrices,the general expression of the solution is obtained.Moreover,the related optimal approximation problem to a given matrix over the solution set is considered.     

一类四元数受限矩阵表达式的最大秩（英文）

确立了一类分块矩阵M11 M12 XM21 M22 M23Y M32 M33的最大秩公式,其中,X和Y是两个受限于四元数线性矩阵方程A_1X=C_1,XB_1=C_2,A_3XB_3=C_3,A_2Y=D_1,YB_2=D_2.的变量矩阵。作为该公式的一项应用,我们推导出上述矩阵方程解集等同于另一四元数二次矩阵方程组解集的条件。     

Ranks of Solutions of the Matrix Equation AXB = C

The purpose of this article is to solve two problems related to solutions of a consistent complex matrix equation AXB = C : (I) the maximal and minimal ranks of solution to AXB = C , and (II) the maximal and minimal ranks of two real matrices X₀ and X₁ in solution X = X₀ + iX₁ to AXB = C . As applications, the maximal and minimal ranks of two real matrices C and D in generalized inverse (A + iB)^- = C + iD of a complex matrix A + iB are also examined.     

矩阵不等式约束下矩阵方程AX=B的双对称解

本文讨论矩阵不等式CXD≥E 约束下矩阵方程AX=B的双对称解,即给定矩阵A,B,C,D和 E, 求双对称矩阵X, 使得AX=B 和 CXD≥E, 其中CXD≥E表示矩阵CXD-E非负.本文将问题转化为矩阵不等式最小非负偏差问题,利用极分解理论给出了求其解的迭代方法,并结合相关矩阵理论说明算法的收敛性.最后给出数值算例验证算法的有效性.     

垂直线性互补问题的一步全局线性和局部二次收敛光滑Newton法

基于凝聚函数,提出一个求解垂直线性互补问题的光滑Newton法.该算法具有以下优点:(i)每次迭代仅需解一个线性系统和实施一次线性搜索;(ⅱ)算法对垂直分块P0矩阵的线性互补问题有定义且迭代序列的每个聚点都是它的解.而且,对垂直分块P₀+R₀矩阵的线性互补问题,算法产生的迭代序列有界且其任一聚点都是它的解;(ⅲ)在无严格互补条件下证得算法即具有全局线性收敛性又具有局部二次收敛性.许多已存在的求解此问题的光滑Newton法都不具有性质(ⅲ).     

Superfast algorithms for Cauchy-like matrix computations and extensions

An effective algorithm of [M. Morf, Ph.D. Thesis, Department of Electrical Engineering, Stanford University, Stanford, CA, 1974; in: Proceedings of the IEEE International Conference on ASSP, IEEE Computer Society Press, Silver Spring, MD, 1980, pp. 954–959; R.R. Bitmead and B.D.O. Anderson, Linear Algebra Appl. 34 (1980) 103–116] computes the solution to a strongly nonsingular Toeplitz or Toeplitz-like linear system , a short displacement generator for the inverse T⁻¹ of T, and det T. We extend this algorithm to the similar computations with n×n Cauchy and Cauchy-like matrices. Recursive triangular factorization of such a matrix can be computed by our algorithm at the cost of executing O(nr²log³ n) arithmetic operations, where r is the scaling rank of the input Cauchy-like matrix C (r=1 if C is a Cauchy matrix). Consequently, the same cost bound applies to the computation of the determinant of C, a short scaling generator of C⁻¹, and the solution to a nonsingular linear system of n equations with such a matrix C. (Our algorithm does not use the reduction to Toeplitz-like computations.) We also relax the assumptions of strong nonsingularity and even nonsingularity of the input not only for the computations in the field of complex or real numbers, but even, where the algorithm runs in an arbitrary field. We achieve this by using randomization, and we also show a certain improvement of the respective algorithm by Kaltofen for Toeplitz-like computations in an arbitrary field. Our subject has close correlation to rational tangential (matrix) interpolation under passivity condition (e.g., to Nevanlinna–Pick tangential interpolation problems) and has further impact on the decoding of algebraic codes.     

界约束下算子方程最小二乘问题的条件梯度法

研究如下界约束下算子方程最小二乘问题:min x∈Ω‖L(X:A_1,…,At;B_1,…,B_t)-T‖~2,其中‖.‖为Frobenius范数,L(X:A_1…A_t;B_1,…,B_t)为关于X的线性矩阵算子(或齐次线性变换),Ai∈R~(p×m),B_j∈R~(n×q)i,j=1,…,n为算子L的系数矩阵,丁为右端矩阵,ΩR~(m×n)为界约束凸集合.提出了求解问题的条件梯度迭代算法及其简要收敛性分析,并给出条件梯度算法的几类加速形式.随机数据和图像恢复模型数据的实验结果表明说明算法是可行高效的.