旋转变换综合问题的解决策略探析

旋转变换是新课程标明确规定的重要内容之一,由于它有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识,故在各地中考中,出现了将旋转变换融人到几何图形的证明和计算中的综合试题,使问题充满着动感,富于变换,本文试就旋转变换思想在中考数学试题中的应用加以说明. 一、旋转变换知识归纳 1.定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形,这样的图形运动叫做图形的旋转,这个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫做旋转角.旋转变换分为全等变换和相似变换.     

旋转中心与相似

<正>旋转的定义:把一个平面图形E绕着平面内某一点O转动一个角度,得到另一个图形F,这样的图形变换叫做旋转变换.其中,点O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角.旋转的性质之一,旋转前、后的图形全相等,即对应边、对应角相等.提到旋转大家想到的一定是全等,其实旋转中也有相似,下面以三角形旋转为例,谈一谈旋转中的相似.△ABC以A为旋转中心,逆时针旋转α度,连接BD,CE.如图1,当α为任意角度时,     

以图形的旋转为背景的中考试题赏析

在平面内将一个图形绕着这个平面内的某个固定点旋转一个角度,这样的变换叫做旋转变换.在初中数学学习过程中,经常会碰到这类问题.随着新课程改革的实施,近几年来,中考中出现了很多有关旋转方面的题型.有些命题是直接通过图形旋转变换后,要求你进行     

从课例出发谈“旋转变换”方法在几何学习中的作用

在同一平面内,把一图形绕定点沿着某一方向转动一个角度,叫做图形的旋转变换．图形旋转有两个重要元素：旋转中心0和旋转角．在旋转过程中图形的形状大小不发生改变,只是位置改变．我们在运用图形旋转变换时,要始终把握图形运动的旋转中心与旋转角这两个要素．旋转角、旋转中心往往为添加辅助线、构造中心对称图形提供了参考条件;图形旋转的不变性也是寻找全等形的依据．本文结合实际的教学实践,从几个方面来阐述旋转变换思想方法在几何学习的作用．     

高中数学小单元自测题

高中数学小单元自测题直线和平面（高一）张军徐和郁（浙江普陀中学３１６１００）第一套平面的性质１．如果点Ｐ在直线ｌ上，而直线ｌ又在平面α内，则可记作（）（Ａ）Ｐｌα．（Ｂ）Ｐ∈ｌ∈α．（Ｃ）Ｐ∈ｌα．（Ｄ）Ｐｌ∈α．２．已知相交直线ＡＢ，ＡＣ确...     

用变换方法解决立体几何问题

变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1　变换位置1.1　变换点的位置命题 1　 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1　例 1图例 1　如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解　连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ…     

旋转体的一个体积公式

在高二的学习当中 ,我发现了这样一个命题 .命题　在同一平面内有一条直线ｌ和位于ｌ一侧的平面图形 ,设此图形的面积为Ｓ ,它的重心到ｌ的距离为Ｒ ,则此图形绕ｌ旋转一周所得的几何体的体积Ｖ =Ｓ·2πＲ .证　设平面α内有一条直线ｌ和位于它一侧的平面图形Ｔ ,Ｔ的面积为Ｓ ,它的重心到ｌ的距离为Ｒ .现可将Ｔ看成无穷多个“点”的组合 ,设每个“点”的面积均为Ｓ0 ,它们到ｌ的距离分别为ｒ1,ｒ2 ,ｒ3,… .可将图形Ｔ看作质量均匀分布的木板 ,则将这些“点”看作物理上的“质点” ,则Ｓ0 就相当于每个点的“质量” ,同理 ,Ｓ为整个图形…     

点到直线距离的一种新求法

已知点Ｐ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ的值。全日制高中教材《平面解析几何》及成人中专教材《数学》都是通过“讨论”、“过Ｐ点作 ｙ轴的平行线”、“运用三角知识”导出ｄ的 ,笔者认为两教材的求法思路自然、灵活 ,也易为学生理解 ,但也有不足之处 ,如过多地依赖图形 ,出现了多次讨论等 ,本文将独辟蹊径 ,通过求函数最小值来导出ｄ的值 .众所周知 ,点Ｐ到直线ｌ的距离就是点Ｐ到直线ｌ上任一点Ｍ的距离的最小值ｄ .设Ｍ (ｕ ,ｖ)是直线ｌ上任意一点 ,则　 |ＰＭ|=(ｕ -ｘ0 ) 2 (ｖ -…     

充分利用图形,简化解析几何中的计算

《解析几何》是数形结合的典型范例,然而,有一些师生重视了数式的运算,却忽略了图形的重要性．下面举二例说明图形在简化解析几何计算中的作用．例１　已知两点Ｐ（－２,２）,Ｑ（０,２）以及一条直线ｌ：ｙ＝ｘ,设长为２的线段ＡＢ在直线ｌ上移动,求直线ＰＡ和ＱＢ的交点Ｍ的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．分析：如果对“长为２的线段ＡＢ在直线ｌ上移动”这句话仅作表面的理解,就会机械地去套用两点间的距离公式,先设Ｍ点的坐标为Ｍ（ｘ,ｙ）,再写出直线ＰＭ与ＱＭ的方程,并求出（ｘＡ,ｙＡ）,（ｘＢ,ｙＢ）,然后…     

双曲线的几何变换

<正>几何变换是全等变换,包括平移、旋转、翻折,它们只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.几何变换将图形的部分或全部变换到一个新的位置研究,常见于几何题目中,出现在双曲线的考题则是一个新动向,我们一起来看:     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

求异面直线所成角的几种常用方法

求异面直线所成的角是立体几何中的一个重要内容 ,本文就一道习题的多种解法谈求异面直线所成角的几种常用方法 .图　 1题目　如图 1,已知两个边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ和ＡＢＥＦ所在平面互相垂直 ,求异面直线ＡＣ和ＢＦ所成角的大小 .解法 1　 (直接平移 )如图 1,在平面ＡＣ内过点Ｂ作ＢＰ∥ＡＣ与ＤＣ交于点Ｐ ,则∠ＦＢＰ与异面直线ＢＦ ,ＡＣ所成的角相等或互补 .由于正方形边长为ａ ,在△ＡＢＰ中用余弦定理计算得ＡＰ =5,在Ｒｔ△ＰＡＦ中 ,易得ＦＰ =6ａ ,在△ＢＰＦ中 ,由余弦定理知 ,ｃｏｓ∠ＦＢＰ =- 12 .∴ＡＣ与ＢＦ所成的角…     

有向线段的定比与分点

有向线段的定比与分点湖南沅江一中朱月琪江苏泰县第二中学石志群【基本概念】有向直线ｌ上的一点Ｐ，把ｌ上的有向线段分成两条有向线段和，和数量的比叫做点Ｐ分所成的比，点Ｐ叫做的定比分点．若点Ｐ在线段上，则点Ｐ叫做的内分点；若点Ｐ在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ２Ｐ１的延...     

旋转变换的应用

旋转变换的图形不仅具有丰富多彩、优美动人的图案,更具有很强的探索性和创造性,因此,它更是中考数学命题的热点之一·由于旋转变换图形的动态性、开放性、结论与题设之间关系的捉摸不定性,从而增加了解题的难度,如能充分利用旋转图形的特性,掌握旋转变换的原则,则对解决这类问题将简易得多·笔者精选了部分经典中考题探究如下:1巧用图形的旋转不变性“旋转不变性”是指当图形绕某个旋转中心旋转任意角度后,图形的形状与大小都没有发生变化,即对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等·解题时就要充分利用“变化过程中存在的不…     

“异面直线上两点间距离公式”教学探微

“异面直线上两点间距离公式”教学探微２０１５００上海市金山县中学戴丽萍现行高中课本《立体几何》（全一册）Ｐ４２上通过例２：已知两条异面直线ａ，ｂ所成的角为θ，它们的公垂线段ＡＡ’的长度为ｄ，在直线ａ，ｂ上分别取点Ｅ，Ｆ，设Ａ’Ｅ＝ｍ，ＡＦ＝ｎ，求ＥＦ...     

浅谈几何变换的运用

几何图形的运动称之为几何变换,常见的几何变换有平移变换、旋转变换和对称变换.三种变换可以改变点、线段、角等几何图形的位置,但不改变大小.有些几何问题的已知条件较为分散,相关图形又不集中,解题中不易发现图形中量与量之间的内在联系,难以找到恰当的图形性质和解题途径.……     

四种Fermat点及其作法

1　 0型Ｆｅｒｍａｔ点　定义 1　在空间里 ,若点Ｐ0 到已知的三点Ａ ,Ｂ ,Ｃ的距离之和最小 (此时必有Ｐ0 ,Ａ ,Ｂ ,Ｃ共面 ) ,则点Ｐ0 叫做Ａ ,Ｂ ,Ｃ的 0型Ｆｅｒｍａｔ点 .点Ｐ0 就是我们熟知的Ｆｅｒｍａｔ点 .读者可从文 [1]得出点Ｐ0 的作法 .2　 1型Ｆｅｒｍａｔ点及其作法定义 2　在空间里 ,若点Ｐ1 到已知的两点Ａ ,Ｂ及直线ｃ(Ａ ,Ｂ ,ｃ共面 )的距离之和最小 (此时必有Ｐ1 ,Ａ ,Ｂ ,ｃ共面 ) ,则点Ｐ1叫做Ａ ,Ｂ ,ｃ的 1型Ｆｅｒｍａｔ点 .图 1　情形 1图关于点Ｐ1 的作法 ,这里只给出Ａ ,Ｂ在ｃ的同侧的情形 (读者不难得到其余…     

1993年亚太地区数学奥林匹克试题及解答

１９９３年亚太地区数学奥林匹克试题及解答１．四边形ＡＢＣＤ的边全相等，∠ＡＢＣ＝６０°直线ｌ过Ｄ且不与四边形相交（除Ｄ点外）．Ｅ、Ｆ分别为ｌ与直线ＡＢ、ＢＣ的交点．Ｍ为ＣＥ与ＡＦ的交点．证明ＣＡ２＝ＣＭ又因为∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＦ＝１２０°，故，而ＺＡＣ...     

三角形某些“伴心“的性质

引理 设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上一点,且直线ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交直线ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于点Ｄ、Ｅ、Ｆ,Ｄ′、Ｅ′、Ｆ′分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ关于各自所在边的中点的对称点,则 ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′必交于一点Ｑ． 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,应用Ｃｅｖａ定理及其逆定理,即可证明． 这样,Ｐ和Ｑ就成为△ＡＢＣ的一对“伴心”．比如,若Ｐ为内心Ｉ,则Ｑ就是伴内心Ｉ′;若Ｐ是△ＡＢＣ的垂心Ｈ,则Ｑ就是伴垂心Ｈ′等等．若将Ｐ叫做“本心”,Ｑ就叫做伴心,相应的△ＤＥＦ叫本心三角形,△Ｄ′Ｅ′Ｆ′则叫做伴…     

借助轴对称与旋转变换的关系解中考几何综合题

<正>本文从几何变换的合成与分解二者的关系出发,在先讨论了对称轴交于一点的两个轴对称变换的合成为一个旋转变换之后,接着讨论了一个旋转变换可以分解成对称轴过旋转中心的两个轴对称变换．随后用上述观念讨论了北京市近年来的两个中考几何综合题,以便大家对这一观念的实际运用有所体会．