再探旁心三角形的性质

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc.     

三角形外角平分线三角形面积的性质

如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

三角形的一个共点线

定理　三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1　　　　　　　　图 2引理　如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明　连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF…     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

关于三角形外角三等分线的一个定理

费兰克·莫来是美籍英国数学家 . 190 0年 ,当他研究平面内 n条直线的质量几何时 ,发现了莫来定理 :三角形各内角的三等分线中 ,靠近每边的两条的交点 (共三个 )构成正三角形 (图 1中的△DEF) .这条美妙定理虽然姗姗来迟 ,近年来却给出了多种证明 ,其中 ,金兆斌曾在 90年代初得到了一个构造性证法 ;而满其伦和孔令恩在 1997年《数学通报》问题解答 10 80题中 ,不但给出了另一种构造性证法 ,而且证明了 DD1 ,EE1 ,F F1 分别垂直平分△ DEF的三边 ,且相交于△ DEF的中心 (图 1) .考虑三角形外角的三等分线 ,得到与莫来定理类似的一个结…     

rArBrC上界的估计

文[1]得到如下定理. 定理1 如图1,△DEF是由△ABC的三条外角平分线构成的三角形.     

外莫莱三角形的一个性质

将ABC的各外角三等分，每两个外角的相邻的三等分角线相交得DEF，称之为西ABC的外莫莱三角形．由文[1]知AD、BE、CF相交于一点．对于△ABC的外莫莱三角形△DEF,有如下性质．定理△ABC与其外莫莱三角形△DEF对应顶点连线AD、BE、CF共点于西ABC的内心的充要条件是bABC为正三角形．记bABC的三内角为A、B、C，定理的证明需用到如下事实：，＿。。＾．＿＿。＿，L—B、－1引理1在西ABC中，有sinz（士丁Q）＜十，同理可证其它两丸定理的证明：必要性容易证明，这里从略，下证充分性．本文绘出了文［2］提出的一个猜想的证明…     

外角平分线构成的三角形的又一个性质

定理如图,△DEF是△ABC的三条外角平分线构成的三角形,△ABC与△DEF的三条中线分别为ma、mb、mc及md、me、mf,则m2d+m2e+m2f≥4(m2a+m2b+m2c)(正三角形)(1)     

垂足三角形的又一性质

文[1]给出了垂足三角形的一个性质: 定理1若△DEF是非直角△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径是R,面积为S,△DEF的外接圆半径是R0,则有     

灵活利用三角形的外角

<正>三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.灵活利用这个性质将问题转化,能迅捷地解答一些与角有关问题.一、与角有关求值问题例1如图1,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线,∠B=30°,∠DAE=65°,则∠ACD的度数是     

垂足三角形的两个性质

文[1]证明了垂足三角形的一个性质: 定理若△DEF是非直角△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径为R,△DEF的外接圆半径为R0,有 R0=(1)/(2)R.     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

说说三角形的周长和面积平分线

<正>三角形的周积平分线(一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,这条直线本文称为周积平分线),一定经过此三角形的内心.证明如图1,设GH为△ABC的一条周积平分线,P为△ABC的内心,令△ABC的内切圆半径为r.不失一般性,设△ABC的三边长为a,b,c,三边两两互不相等,记1/2(a+b+c)=p,令G、H两点分别在边AB、AC上.     

三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

三角形正则点的尺规作图

关于三角形正则点的讨论 ,初步展现了这一新点的价值 ,值得重视 .但美中不足的是 ,三角形正则点都是间接构造得来的 .能不能直接用尺规作图找到正则点呢 ?本文给出肯定的答案 .情形 　不等边三角形已知 :△ ABC各边互不相等 .求作 :△ ABC的正则点 .作法 :1作∠ A的内角和外角平分线 ,与对边 BC(或延长线 )交于 D,D′;2以 DD′为直径作⊙ O1;3同样作∠ B的内、外角平分线 ,与对边交于 E,E′,再以 EE′为直径作⊙ O2 ;4⊙ O1与⊙ O2 的两个交点就是△ ABC的正则点 .证明　如图 1 ,首先要证明⊙ O1与⊙ O2 相交 .在此不妨设AB >B…     

三角形内外角平分线性质及其应用

在研究几何中,我们时常发现一些有趣的性质,如三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线分其对边及其延长线上的四条线段成比例.此性质充分揭示出三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线之间的内在关系,即由内、外角平分线所截得的四条共线线段成比例,它为我们证明此类问题开辟了一条行之     

三角形的一个不等式

中国科技大学常庚哲同志在文[1]中用复数证明了以下问题: [问题1] 从△ABC的顶点A、B、C各作角的平分线分别交对边于D、E、F,则成立: △DEF的面积≤1/4·△ABC的面积,式中等号当且只当△ABC为等边三角形时     

用三角形内角和定理解竞赛题

三角形内角和定理及其推论,在解与角有关的一些数学竞赛题中,有十分有趣的应用. 例1 如图1,在△ABC中,∠A=42°,∠B和∠C的三等分线分别交于D、E.则