数列与上、下极限

一、引言高等数学与初等数学的区别,除了研究对象不同外,主要是研究方法上的不同,而理解极限概念、掌握极限方法,是能否学好数学分析的关键,数列极限的学习又是学习极限理论的重要基础. 关于收敛数列的极限和性质等内容,在各类教材和有关材料中都有较详尽的讨论.这里,将对数列作进一步的讨论,介绍上,下极限的概     

渗透极限思想优化解题过程

极限思想在数学中占有举足轻重的地位,早在公元3世纪,我国杰出数学家刘徽在创立“割圆术”的过程中,就丰富和发展了极限思想,奠基并使用了极限方法,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,就是他对极限思想和方法的精辟论述.事实上,利用极限思想使人们能够从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变成为可能.现行高中教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法,如“球的体积和表面积”、“双曲线的渐近线”等,但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广,学生对这种思想方法相当陌生.下面是笔者…     

浅谈二重极限与累次极限

在学习二元函数极限的过程中,一般的高等数学教材,只介绍二重极限的概念及求法,即当P(x,y)→P_o(x_o,y_o)时,函数Z=f(x,y)的极限,记作(?)或(?).但有些初学者会提出这样的问题:若先将y固定,让x→X_0,然后再让y→y_0,这是什么类型的极限呢?与(?)有何区别?下面就这个问题作一点讨论.对任一给定的y(y≠y_o),若极限(?)存在,结果是y的函数,不妨记作v(?)(y)=(?);又假设极限(?)存在,则称A为f(x,y)先对x后对y的累次极限,记作(?).类似地可以定义先对y后对x的累次极限(?).求累次极限,实质上每一次都是先固定一个变量后对另一个变量求极限.二重极限的定义虽然形式上与一元函数极限的定义相似,但它是一元函数极限概念的推广.     

非ε-极限理论与微积分的教学改革

讨论了由第一作者提出的“非ε-极限理论”,它所提出的缘由、理论体系 ,它的合理性 ,它所需要加以解决的问题及其改进方案 .同时 ,还介绍了第二作者根据这种理论编写的教材《新微积分学》及其在教学中的实践效果 .     

讲评数学试卷的方法与实践

如何评讲试卷 ,不同的教师会采用不同的方法 ,方法不同 ,效果当然也不尽相同 .怎样才能取得好的评讲效果呢 ?本文谈谈笔者的思考和实践 .1　照顾一般 ,突出重点不管是单元测试还是综合测试 ,试卷都必须覆盖测试范围的绝大部分知识点 .不同的知识点难易程度不同 ,在教材中的轻重地位不同 ;不同的题型考查的能力层次不同 ,能力要求的侧重点不同 ;不同题型的试题所描述的数学过程简繁程度不同 ,破题难度不同 .因此 ,在评讲试卷时 ,不应该也不必要平均使用力量 ,有些试题只要“点到为止”,有些试题则需要“仔细解剖”.对那些涉及重难点知识及能…     

关于求函数极限的两点注记

本文针对学生在利用等价无穷小求函数极限时出现的常见错误进行较深入的分析，并对教材中较少涉及的一类求极限的方法进行举例说明，旨在拓宽学生的解题思路。主要在于两个方面：（一）如何正确使用等价无穷小求极限，本文给出两个推论。（二）Taylor公式在求极限中的应用。（一）如何正确使用等价无穷小求极限定理设有无穷小量a、尸、a’、尸，且a～al，。～／，timS存在，则有timp一tim4．”—————’“”—“”“——－”‘”－”””———一’”””““”””a，’‘“””“”“““““““”“”al’对于此定理，在积与商的情…     

从Riemann积分到Lebesgue积分——用完备化思想建立Lebesgue积分(连载)

用距离空间完备化思想,通过极限过程,借助于连续函数的Reimann 积分建立Lebes-gue 积分理论,包括积分收敛定理和空间L~P(a,b)的理论.编者不直接利用完备化定理的结论,也不要求读者事先了解完备化定理.因此读者在阅读本文时不会感到抽象.仅在最后以距离空间完备化的观点对全部工作作了简短的评注,了解完备化思想的读者会对本文有更深的理解.同时编者又认为,作为实变函数的一种可供选取的教材,这仍不是一种最好的方案,也不会完全取代目前通用的教材.但是编者愿意借这个机会,就实变泛函教材的改革(特别以工科大学生、研究生为对象的教材)与大家一起开展讨论.Lebesgue 积分是近代数学的重要基础,是联结初等微积分与近代分析的桥梁。本文从连续函数及Riemann 积分出发,通过将极限过程直接定义Lebesgue 积分,力图以较小的篇幅向读者介绍Lebesgue 积分理论。文中所贯穿的空间完备化的思想将指导读者进一步学习近代分析数学的理论.阅读本文仅要求读者了解集合论的基础知识。     

用解递推关系法求数列的极限

本文给出两个递推关系的求解公式,对某些递推关系通过变换化为可求通项的递推关系式,从而求出极限。如果数列的通项已知,那么,其极限就比较容易求得.而对于象由递推关系等所确定的数列,一般《高等数学》教材上,大多采用诸如单调有界有极限的原理以及级数理论等方法.但有时证明极限存在比较困难,即使假定极限存在,要求出来也并不容易。工科院校学生的数学基础理论一般比较薄弱,对求解此类极限往往不易掌握。而实际上有些由递推关系确定的数列的极限是有简便方法可寻的。本文给出两个公式,对于某些递推关系的通项的求解显得非常简单。     

关于函数极限概念的一点注记

教材 [1 ]给出极限的一般概念为 :在自变量的某个变化过程中 ,如果对应的函数值无限接近某个确定的数 ,那么 ,这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限 .用这一观点 ,教材把数列极限和函数极限统一起来 ,把函数的各种不同的极限过程也纳入了这个统一的极限框架中 .在这个极限的一般概念中应注意两点 .一是极限是考察在自变量的某个变化过程中函数值的变化情况的 ,因而该函数的极限值本身可以不是函数值 ,因而可以定义函数 (包括数列 )在±∞处的极限 ,特别是对于 limx→ x0f (x) ,函数 f (x)可以在点 x0 处没有定义 .二是自变量可以形…     

极限概念讲法探讨

<正> 由于“极限”这个概念贯串着整个高等数学,许多概念的引入,某些基本理论的论证都是建立在极限概念的基础上的,就是在其他自然科学中它也占有极其重要的地位,因此,极     

风险型混合多属性消错决策方法

针对同时包含可线性补偿和不可线性补偿两种属性且属性值为确实数、区间数、语言信息的风险型多属性决策问题,提出一种基于消错理论的决策方法。首先,在消错理论的基础上将属性分为关键型、重要型和冗余型三类,结合属性值的类型分别给出对应的错误函数和极限损失值;接着,对关键型属性赋予极小权重,在保留关键型属性“一票否决”功能的同时又突出重要属性的作用;最后,根据对待错误损失的不同态度,建立计算错误损失值的三种方法,通过计算期望错误损失值对备选方案进行排序。通过新市民信息服务项目的例子,说明该方法的有效性和可行性。     

重视课本资源,促进数学发现——一道“幻方填数题”的教学及反思

近读《中学数学》,不少教师针对离开教材搞教学的现象多有批判,以笔者所见,当前由于所谓的“导学案”的流行,有些同行确实把教材置于一旁,只是组织学生练习导学案、教辅资料,对教材的研究不够,特别是对教材上一些特色栏目缺少关注和研究.本文结合新人教版七年级上册第21页“实验与探究”中的一道幻方填数题,谈谈在教学过程中引导学生展开发现式学习,实现神机妙算的一些做法,提供研讨.一、教学案例教材原题:有人建议向火星发射如图1所示的图案,     

科学处理教材深刻理解数列极限概念

“极限”二字已频频出现在我们的生活里 ,如商家打出的降价条幅……极限价格 ,体育健儿爱说的一句话……挑战极限运动等等 ,“极限”到底是什么呢 ?“极限”这一概念往往含有“不可超越”的涵义 ,也有那种不断努力 ,可总难达到目标的感觉 ,这也是生活中最朴素的极限思想 .那我们数学里又是如何定义这个概念呢 ?我们先看教材的安排 ,在数列极限这一节中 ,课文首先安排观察两个无穷数列的例子和它们在数轴上的变化趋势 ,是感性材料 ,便于引起学生的概念意象 ;接着通过两个表格进一步从量化方面对概念进行深刻的分析 ,说明极限概念遵循从具体到…     

在头脑中寻找观念——用导数沟通三角公式之间的联系

1引言在推进新课程改革的过程中,教育理论工作者总是抱怨一线教师理念、观念落后;而一线教师却总觉得教育理论工作者的理论“中听不中用”,回到课堂还是老套路·理论工作者和一线教师在两个不同的层面工作,思维方式不同、话语方式也不同,彼此之间不甚了解·一些教学理论工作者总爱讲一些适用各学科的理论,只教人“应该怎样做”,而不能教人“如何做”,这样,在一些实践者眼中这些理论工作者只是在“纸上谈兵”,所以对其理论不怎么认同·比如,“要加强知识的纵横联系”是一句适用于所有学科的教学理论,正因为其适用面广,所以显得“空泛”,若宣讲理论的人不能用丰富的实例加以诠释,听讲者很难真切认同这一理念,即使认同了,也难以在教学中有效的运用·张景中院士说得好“从头脑中找概念”,“从头脑中找概念”使概念、观念生发于内心,改变了观念的注入模式,使先进的教学理念易于用之于实践·本文提供了这样一个教育叙事研究的案例·2教育叙事笔者访谈了一位师范生·笔者问道,三角在教材(上海教材)中分为两大部分;三角比和三角函数·按我们的理解,三角比其实就是以角为自变量,比值为变量的函数,可是为什么教材不称其为三角函数呢,教材的意图是什么?她回答道,要是把三角比称为三...     

浅谈用换元法求不定式的极限

中学数学教材的微积分部分虽然没有明确提出不定式的定值问题,而在实际上处理了其中某些类型的不定式,这是不可避免的。两个重要极限就是0/0型和1~∞型的不定式,正确理解并计算一些不定式的极限,对于深入掌握极限、导数等基本概念是有益的,研究不定式通常要进行各种形式的变形,中学教材中没有列入的罗必达法则当     

含极限变量的定积分的极限

根据极限变量在定积分中位置不同对定积分的极限进行分类,并给出相应类型极限的求解方法。     

关于极限概念

§.1 引言“极限”这一章是比较难教的教材,再加上我们教学上存在着一些问题,往往学生学习时感到枯燥无味,或视为畏途,于是学生提出这样问题:“我们为什么要学习极限?学习极限能解决什么问题?”而教师的回答往往是这样:“今后你们到高等学校就会了解这一点,因为它跟高等数学有密切联系.”这种回答不能令人满     

“充分发挥教材中例、习题作用”初探

中学数学教材是学生在中学里学习数学的主要书籍,它里面的例题、习题都是经过精选、具有一定代表性的。因此,不论在平时教学中,还是在总复习中,都必须重视课本的作用,做到“以大纲为纲,以课本为本”,大面积提高教学质量。那么,如何最大限度地发挥教材的作用呢?如何利用教材中的例题、习题来指导学生的数学学习,提高学生的探索创造能力与求知欲望呢?本人在教学中,采用了“四不妨”:即:对有些公式、结论不妨来一个追根寻源;对有些解题方法不妨来个类比使用;对有些特例不妨探寻一下一     

妙用极限思想,优化解题过程

极限思想是中学数学中一种重要的数学思想,它从数量上描述变量在运动过程中的变化趋势.现行高中教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法,如"球的体积和表面积"、"双曲线的渐近线"等,虽然极限知识在试验区中学数学现行教材中已不出现,但是极限思想仍贯穿于高中教材的各个部分,极限内容与解析几何、立体几何、数列、三角函数、不等式也有着密切的联系,极限思想在解决数学各个分支的问题时有着不可忽视的作用.对于某些较难的数学问题,利用极限思想,把问题放置于极限状态,往往可以避开一些复杂抽象的运算,优化了解题过程和解题方法,降低解题的难度,真正实践"提高观点,降低难度,减轻负担"达到事半功倍的效果.     

Rssler原型4系统的Hopf分岔及幅值控制

主要研究了一类Rssler原型4系统的Hopf分岔行为及极限环幅值控制问题.首先,利用Hopf分岔理论讨论系统发生Hopf分岔的条件,利用规范形理论判定系统的Hopf分岔类型,并给出极限环幅值算式;然后,对系统施加非线性反馈控制器,判定受控系统的Hopf分岔类型,并给出极限环幅值算式,讨论控制参数对极限环幅值的影响.最后,对讨论结果进行数值仿真,通过理论与仿真结果得出结论:非线性控制器可以改变极限环幅值大小,但不能改变Hopf分岔位置.