关于投影角的一个错例剖析

笔者在一份试卷中发现了这样一道题 :如图 1,已知平面α的两条斜线ＰＡ ,ＰＢ ,且Ａ ,Ｂ∈α ,ＰＯ⊥α于Ｏ ,则∠ＡＰＢ与∠ＡＯＢ的大小满足 (　　 )图 1　线面示意图(Ａ)∠ＡＰＢ >∠ＡＯＢ .(Ｂ)∠ＡＰＢ <∠ＡＯＢ .(Ｃ)∠ＡＰＢ =∠ＡＯＢ .(Ｄ )两角大小无法确定 .几乎所有同学都选择(Ｂ) .且理由“充足” :三角形一边ＡＢ不变 ,而ＰＡ >ＯＡ ,ＰＢ >ＯＢ ,显然∠ＡＰＢ <∠ＡＯＢ .而事实确实如此吗 ?例 1　如图已知 ,ＰＡ⊥面ＡＢＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,垂足Ｄ在ＢＣ延长线上 ,且ＢＣ =ＣＤ =ＤＡ =1.1)设ＰＤ =ｘ ,∠ＢＰＣ =θ ,试把ｔ…     

一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

数学问题解答

20 0 1年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 46　已知 :点Ｐ是△ＡＢＣ内一点 ,∠ＰＡＢ =∠ＰＢＣ =∠ＰＣＡ=α.Ａ′Ｂ′,Ｂ′Ｃ′,Ｃ′Ａ′分别过Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点 ,且分别垂直于ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ .求证 :Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ｓｉｎ2 α(江西省宜丰县二中　龚浩生　 3 3 63 0 0 )证明　如图 ,过点Ｃ′作Ｃ′Ｄ⊥Ｂ′Ｐ于Ｄ ,连结ＣＤ .因为　ＰＡ⊥Ａ′Ｂ′ ,ＰＢ⊥Ｂ′Ｃ′所以　Ａ ,Ｂ′,Ｂ ,Ｐ四点共圆所以　∠ＤＢ′Ｂ =∠ＰＡＢ =α又显然 ,Ｐ ,Ｂ ,Ｃ′,Ｄ ,Ｃ五点在以ＰＣ′为直径的圆上 .所以　∠ＰＤＣ =∠Ｐ…     

综合题新编选登

题 1 8　△ＡＢＣ是以Ｂ为直角顶点的直角三角形 ,ＡＢ =1 ,ＢＣ =2 ,Ｄ为ＢＣ中点 .直线ｌ过点Ａ且垂直于平面ＡＢＣ ,Ｐ是ｌ上异于Ａ的点 .1 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,恒有∠ＢＰＤ<∠ＢＡＤ ;2 )证明 ,Ｐ在ｌ上运动时 ,∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ并不恒成立 ;图 1　题图3 )求∠ＣＰＤ的最大值 .解　 1 )由ＰＡ⊥面ＡＢＣ和ＣＢ⊥ＡＢ ,知ＣＢ⊥ＰＢ ,于是有ｔｇ∠ＢＰＤ=ＤＢＰＢ <ＤＢＡＢ=ｔｇ∠ＢＡＤ ,而这两个角都是锐角 ,∴∠ＢＰＤ <∠ＢＡＤ .2 )∠ＣＰＤ ,∠ＣＡＤ也都是锐角 ,故∠ＣＰＤ <∠ＣＡＤ等价于ｃｏｓ∠ＣＰＤ >ｃｏｓ∠ＣＡ…     

数学问题解答

20 0 1年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 30 6　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ=70° ,∠ＡＣＢ =30° ,Ｐ为形内一点 ,∠ＰＢＣ =40°,∠ＰＣＢ =2 0° .求证 :ＣＡ·ＡＢ·ＢＰＡＰ·ＰＣ·ＣＢ =1(黑龙江绥化教育学院　田永梅　 1 52 0 54)证明　如图 1 ,以ＡＢ为一边在△ＡＢＣ内作正△ＤＡＢ ,连ＤＰ ,ＤＣ .在ＡＣ上取一点Ｅ ,使ＥＣ=ＤＣ ,连ＰＥ .由∠ＡＣＢ =30° ,可知Ｄ为△ＡＢＣ的外心 ,有∠ＤＣＢ =∠ＤＢＣ =1 0° .由∠ＤＣＰ=1 0°=∠ＡＣＰ ,可知Ｅ与Ｄ关于ＰＣ对称 ,有∠ＰＤＣ =∠ＰＥＣ ,ＰＥ =ＰＤ .由∠ＰＢＡ =30°…     

张景中院士讲数学

共边定理的条件是两直线相交 ,我们从反面想 :如果不相交呢 ?结果想出了共边三角形与平行线的关系 ,颇有成效 .共角定理的条件是两角相等或互补 ,那么 ,从反面想 ,如果既不相等又不互补呢 ?这种想法果然有道理 ,由此引出了一个重要的命题 :共角不等式　如果∠ＡＢＣ >∠Ａ′Ｂ′Ｃ′ ,而且两角之和小于 1 80°,则有△ＡＢＣ△Ａ′Ｂ′Ｃ′>ＡＢ·ＢＣＡ′Ｂ′·Ｂ′Ｃ′.图 1证明　记∠ＡＢＣ=α ,∠Ａ′Ｂ′Ｃ′=β.如图 1 ,作一个顶角为α -β的等腰三角形△ＰＱＲ ,延长ＱＲ至Ｓ使∠ＲＰＳ=β,则∠ＱＰＳ =α,由共角定理可知△ＡＢＣＡＢ…     

“三线合一”的应用

一 .什么是“三线合一”在等腰三角形中 ,顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 ,简称“三线合一” .二 .“三线合一”的应用如右图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,(1 )∵ＡＢ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,ＢＤ =ＤＣ .(2 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＢＤ =ＤＣ ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,∠ 1 =∠ 2 .(3 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,∴ＢＤ =ＤＣ ,∠ 1 =∠ 2 .根据以上三个推理 ,灵活运用它们 ,是解题的关键 .例 1　一个等腰三角形底边上的高为 3ｃｍ ,那么它底求证 :ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ .(2 )当Ｐ不是边ＡＢ的中点时 ,ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ 是否仍然成立 ?请证明你的结论 .(北京市宣武区 2 0 0 1年初中升学统一考试题 )(1 )分析 :由于Ｐ是ＡＢ的中点 ,所以ＰＡ =ＰＢ ,从而 ＰＡＰＢ=1 .欲证 ＰＡＰＢ =ＣＭＣＮ,只需证 ＣＭＣＮ =1 ,即证ＣＭ =ＣＮ .连结ＰＣ ,因为ＡＣ =ＢＣ ,ＰＡ =ＰＢ ,根据“三线合一” ,得ＰＣ⊥ＡＢ ,ＰＣ平分∠ＡＣＢ ,即∠ＡＣＰ =∠ＢＣＰ .依题意得折痕ＭＮ⊥ＰＣ ,所以ＭＮ∥ＡＢ ,从而得∠ＣＭＮ=∠...     

数学问题解答

20 0 1年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 1　ＡＢ是⊙Ｏ非直径的弦 ,半径ＯＣ ⊥ＡＢ于Ｍ ,Ｄ是ＯＢ的中点 ,Ｅ在劣弧ＢＣ上 ,且∠ＡＥＤ =∠ＡＣＯ ,ＡＥ交ＣＢ于Ｆ ,交ＣＯ于Ｎ .求证 :Ｓ△ＦＣＮＳ△ＤＭＯ =ＣＮＭＯ.(重庆市合川太和中学　陈开龙　 40 1 555)证明　如图 ,延长ＣＯ交⊙Ｏ于Ｐ ,连结ＥＰ ,ＦＤ .∵ＣＰ是直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,∴ＡＰ =ＢＰ ,故∠ 1 =∠ 2 ,ＡＣ =ＢＣ .∵∠ＡＥＤ =∠ＡＣＰ ,又∠ＡＥＰ =∠ＡＣＰ ,∴∠ＡＥＤ =∠ＡＥＰ ,即Ｅ ,Ｄ ,Ｐ三点共线 .∵ＯＢ =ＯＣ ,∴∠ 3=∠ 2 ∠ＯＢＣ =2∠ 2 …     

数学问题解答

20 0 0年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 81　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ=50°,Ｐ、Ｑ为形内两点 ,∠ＰＣＡ =∠ＱＢＣ =1 0°,∠ＰＡＣ =∠ＱＣＢ =2 0°.求证 :ＢＰ =ＢＱ .(黑龙江省绥化地区教育学院田永海　 1 52 0 54)证明　如图 ,过Ａ作ＢＣ的垂线 ,在该垂线上取一点Ｄ ,使∠ＤＣＡ =2 0°,连ＤＰ、ＤＢ、ＤＣ .由∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ =50°,可知ＡＣ =ＡＢ ,∠ＢＡＣ =80°,有ＡＤ为ＢＣ的中垂线 .易知ＰＡ平分∠ＤＡＣ ,ＰＣ平分∠ＤＣＡ ,可知Ｐ为△ＡＤＣ的内心 .有∠ＰＤＡ=∠ＰＤＣ =60°.由∠ＤＢＣ =∠ＤＣ…     

都是“高”惹的祸

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的三种重要线段 ,与三角形的中线和角平分线不同的是三角形的三条高不一定都在三角形的内部 ,而同学们在实际解题中常常淡忘了这一点 ,从而造成解题的漏解错误 .下面举例说图 1明 .例 1　若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45° ,则这个等腰三角形的底角为.错解　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,∠ＡＣＤ =45° ,则∠Ａ =45° ,所以底角∠Ｂ =12 (180° -4 5°) =67.5°.图 2剖析与改正　本题符合条件的等腰△ＡＢＣ有两种 :顶角∠Ａ为锐角 ,高ＣＤ在△ＡＢＣ内部 (如图1) ,…     

空间两直线所成角的一个性质

平面Ｍ内的一条直线和平面Ｍ的斜线及其在Ｍ内的射影间所成的角有下述关系 :图 1　命题 1图命题 1　如图 1所示 .平面Ｍ内的一条直线ＢＣ和Ｍ的斜线ＰＡ成角θ ,ＢＣ与斜线ＰＡ在平面Ｍ内的射影ＯＡ成角 ,则1)当 0 <θ<π2 时 ,θ> ;2 )当 π2 <θ <π时 ,θ < ;3)当θ=π2 时 ,θ = .证　 1)如图 1,∠ＰＡＣ =θ ,且 0 <θ <π2 ,∠ＣＡＯ= .过点Ｐ作ＰＣ⊥ＢＣ于Ｃ ,连ＯＣ .由三垂线逆定理知ＯＣ⊥ＢＣ .显然由ｃｏｓ∠ＰＡＣ =ｃｏｓ∠ＰＡＯ·ｃｏｓ∠ＣＡＯ ,有ｃｏｓ∠ＰＡＣ <ｃｏｓ∠ＣＡＯ .∵在 ( 0 ,π)内余弦函数为…     

用模型探究三角形内角和

在数学实验课上 ,我利用硬纸块三角形模型探究“三角形三个内角的和有什么规律” .其探究如下 :先用硬纸块制出两个完全一样的三角形△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′(图 1、图 2 ) ,再把△Ａ′Ｂ′Ｃ′沿虚线剪下∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,随意在△ＡＢＣ模型的顶点处拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,惊奇地得到图 3、图 4的情形 ,发现∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角刚好拼成一个平角 .显而易见 ,三角形三个内角的和等于 180° .图 1　　　　　　　　　图 2图 3　　　　　　　　　图 4为了验证上面的结论 ,我又重新拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,拼成图 5情形 …     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

上期课外练习参考解答

初一年级1.50 .2 .令　Ｃ =1× 2× 3×…× 10 0 2 ,Ｄ =2× 4× 6×…× 2 0 0 4 .∵　Ａ·Ｃ =Ｂ·Ｄ ,∴　 ＡＢ =ＤＣ =2 10 0 2 .3.周长为 3× ( 43) 3 =6 4初二年级1.∵　ｐ2 +ｑ2 =ｐ2 ·ｑ2 ,　∴　 1ｐ2 +1ｑ2 =1.∴　原式 =ｐ|ｑ|- ｑ|ｐ|.当 ｐ <0 <ｑ时 ,原式 =ｐ2 +ｑ2ｑ·ｐ =ｐｑ ,当ｑ <0 <ｐ时 ,原式 =- ｐｑ .图 12 .如图 1,由于ＡＢＣＤＥＦ的各内角都是钝角 ,那么ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三边所在直线 ;ＢＣ、ＤＥ、ＡＦ三边所在直线 ,分别可构成△ＰＱＲ、△Ｐ′Ｑ′Ｒ′ ,而∠Ｐ =∠ＡＢＣ -∠ＰＣＢ ,∠Ｐ′ =∠ＤＥＦ -∠…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

数学问题解答

20 0 2年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 71　如图 ,凸四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ ,延长ＡＢ、ＤＣ得交点Ｅ ,延长ＢＣ、ＡＤ得交点Ｆ .Ｍ、Ｎ各是ＡＣ、ＢＤ的中点 .且ＡＣ >ＢＤ .求证 :ＭＮＥＦ =12 · ＡＣＢＤ-ＢＤＡＣ(安徽省怀宁江镇中学　黄全福　2 461 42 )证明　先注意下述两个引理 .引理 1　图形与相关条件与题目相同 ,设ＡＣ、ＢＤ相交于Ｐ .求证 :　ＯＰ⊥ＥＦ .证明　设⊙Ｏ半径为Ｒ .在射线ＦＰ上取一点Ｋ ,使得Ｂ、Ｋ、Ｐ、Ｃ四点共圆 .此时∠ＢＫＦ =∠ＢＫＰ =1 80°-∠ＢＣＰ=1 80°-∠ＢＣＡ=1 80° -∠ＢＤ…     

对一个凸体分割问题的探讨

定理 1　过三角形的重心任作一条直线 ,把这三角形分成两部分 ,证明 :这两部分面积之差不大于整个三角形面积的 19.图 1　定理 1图分析　如图 1,过△ＡＢＣ的重心Ｇ的任意直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｅ ,Ｆ ,过Ｇ作平行于底边ＢＣ的直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｐ ,Ｑ .先证明 :ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ=Ｓ9,这里Ｓ表示△ＡＢＣ的面积 .事实上 ,ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ =Ｓ - 2ＳＡＰＱ=Ｓ - 2·4Ｓ9=Ｓ9.后证明 :ＳＥＢＣＦ-ＳＡＥＦ<ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ (1)由于∠ＥＰＧ =∠Ａ ∠ＡＱＰ >∠ＡＱＰ ,故能在△ＥＰＧ内作直线ＰＲ ,使∠ＲＰＧ =∠ＧＱＦ ,…     

数学问题解答

20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361　如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和…     

一个几何极值问题

如图 1 ,在河岸ａ同侧有两个村庄Ａ ,Ｂ ,要在河边Ｃ处建一水泵站 ,并沿ＣＰＡＢ的路线铺设水管 ,怎样选择Ｐ ,Ｃ两点可使所用的水管总长最短 ?因为ＰＣ⊥ａ ,关键是确定Ｐ点的位置 .因而问题可以简述为 :Ａ ,Ｂ是直线ａ同侧两点 ,在平面上求一点Ｐ ,使Ｐ到Ａ ,Ｂ及直线ａ的距离之和最小 .以下称这一问题为问题Ｌ .设Ａ ,Ｂ在ａ上的射影是Ｄ ,Ｅ ,ＡＤ=ｐ ,ＢＥ=ｑ ,ＤＥ =ｓ.恒设ｑ≥ｐ>0 ,ｓ>0 .如图 2 ,取Ｄ为原点 ,直线ａ为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ(0 ,ｐ)Ｂ(ｓ,ｑ) .作ＡＥ′∥ＤＥ .交ＢＥ于Ｅ′ .显然 ,若Ｐ是问题Ｌ的最小值点 ,则…     

构造相似三角形探讨三角问题

众所周知 ,相似三角形有许多重要的性质 .如果在探讨三角问题时 ,构造一些相似三角形 ,对我们研究问题和解决问题是大有帮助的 .下面不妨介绍一个重要性质及它在三角中的应用 .1　一个重要性质在△ＡＢＣ中 ,以ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＢ ,ｓｉｎＣ为边可以构造一个△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ,且△ＡＢＣ～△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .△Ａ′Ｂ′Ｃ′外接圆半径为 12 .图 1　三角形边角关系证　 (如图 1)设△ＡＢＣ外接圆半径为Ｒ ,由正弦定理有 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ =12Ｒ(ａ ｂ)>ｃ2Ｒ=ｓｉｎＣ .同理ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ .因…