2011年清华金秋营数学试题及解答

1.求sinπnsin2πn…sin(n-1)πn的值.解设ε=cosπn+isinπn(i为虚数单位),则1,ε,ε2,…,ε2(n-1)为x2n-1=0的根,且sinkπn=εk-ε-k2i=ε2k-12iεk,所以sinπnsin2πn…sin(n-1)πn=(ε2-1)(ε4-1)…[ε2(n-1)-1]2n-1in-1ε12n(n-1)()n-1(2)(4)…[2(n-1)]     

空间理性八节点块体元

推导出空间八节点块体理性有限元列式，采用具有直到三次多项式的空间问题的微分方程的解作为插值的近似函数，数例结果表明空间理性八节点块体元的有效性。     

二次多项式微分系统的广义反射函数

利用广义反射函数理论,讨论多项式微分系统的广义反射函数的结构形式.并利用所得结论探讨二次多项式微分系统的周期解的几何性质.     

划分格中的Mbius函数和秩生成函数

设S={1,2,…,n},P(n)是由S的所有划分组成的集合.对于π,σ∈P(n),如果π中的每个块包含在σ的一个块里,就定义π≤σ,那么P(n)作成一个格.如果M(n,k)是由S的所有k部划分组成的集合,而L(n,k)是由M(n,k)生成的格.在P(n)和L(n,k)中,给出M(o|¨)bius函数,并且确定了特征多项式和秩生成函数的表示式.     

线性变换的特征多项式诱导的直和分解

从线性变换的特征多项式的因式分解入手,研究由特征多项式诱导的全空间的若干种直和分解,得到Jordan标准形理论的一个几何证明,全空间关于线性变换不可分解的刻画以及只存在平凡的不变子空间的刻画.     

基于Chebyshev多项式的神经网络中长期负荷预测研究

高精度负荷预测在提高电力系统的安全性和经济性方面有着极其重要的意义,而现有的负荷预测方法因参数有限,难以完全反映其内在规律,因而导致预测结果不够准确.为此提出了一种基于Chebyshev多项式神经网络模型的预测方法.该方法使用递推最小二乘法训练神经网络权值系数,以获得高精度的参数估计,从而实现Chebyshev多项式神经网络模型对负荷量的最优拟合,再利用训练好的Chebyshev多项式神经网络模型实现中长期负荷预测.研究结果表明,该方法能较好模拟负荷变化规律,有效提高了负荷预测精度,在电力系统负荷预测中有较大的应用价值.     

多项式环中单项式理想的分解

利用单项式理想生成元的性质,给出了一类特殊单项式理想(生成元是变量的纯幂)的幂的分解表达式,这不仅拓宽了我们对多项式理论内容的认识,而且这样的分解表达式提供了这类单项式理想正则度(Castelnuovo-Mumford regularity)计算的方法.     

一类多项式系数二阶线性微分方程解法的研究

给出了一类具有多项式系数的二阶线性微分方程有多项式型特解和通解的充要条件,并在Maple下实现了这类微分方程具有多项式型特解和通解自动判定和求解的算法.     

利用多项式拟合测量飞机油箱油量

飞机飞行中,测量剩余油量是关乎飞行安全的重要工作。以往采用的查表法存在存储数据量过大的问题,而插值法的计算又过于复杂,为此,提出了一种基于多项式数据拟合的油箱剩余油量测量方法,该方法通过存储多项式系数减少数据存储量,通过将多元插值计算改为多项式计算降低运算量。实验中,首先通过地面实验数据拟合获取多项式参数,再利用飞机飞行中获取的测量数据进行计算,所得结果与油箱内剩余油量的实际测量结果相比较,测量误差满足使用要求。通过理论和实验分析,在多项式拟合的阶数选择上明确了使用三阶多项式的合理性。该方法有较好的实用性,已在实践中应用。