数学趣题

题目 1　空间中能否存在一种多面体 ,它有奇数个面 ,并且每个面又有奇数条边 ?解　设该多面体有ｎ个面 ,ｎ是奇数 ,这ｎ个面的边分别有ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 条 ,则这个多面体的总棱数为12 (ａ1+ａ2 +… +ａｎ) .因为ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 均为奇数 ,ｎ也为奇数 ,所以ａ1+ａ2 +… +ａｎ 为奇数 ,12 (ａ1+ａ2 +… +ａｎ)不为整数 ,产生矛盾 !说明这样的多面体不存在 .题目 2　古书上说 ,今有枯木一根直立地上 ,高二丈 ,周三尺 ,有葛藤自根均匀绕缠而上 ,七周而达其顶 ,问葛藤之长几何 ?(1丈 =1 0尺 )解　假设葛藤攀援而上的轨迹是一条螺旋线 (即自…     

一个定理的再推广

定理若函数f-1(x),g-1(x)分别是函数f(x),g(x)的反函数(下同),且g-1(x)=g(x),则方程f(x)=g(x)有根a方程f-1(x)=g(x)有根g(a).证由f(a)=g(a),可得f-1(g(a))=a=g-1(g(a))=g(g(a)),即方程f-1(x)=g(x)有根g(a).由f-1(g(a))=g(g(a))=g-1(g(a))=a得f(a)=g(a),即方程f(x)=g(x)有根a.推     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

直线与中心二次曲线相切的充要条件

若直线l:Ax+By+C=0与以坐标原点为中心的二次曲线(即圆、椭圆、双曲线的统称)Γ:λx2+μy2+p=0(λμp≠0)相切,则l不经过Γ的中心(0,0),即C≠0,由此可得直线与中心二次曲线相切的充要条件:     

问题181——不能把必要条件当成充分条件

本问题收稿11篇,均认为解法1结论正确,推理不够严谨（由√2=q^m只能得｜q｜=2^1/2m,不能得q=2^1/2m;解法2错误．来稿前3名的作者是：北京朝阳区南沙滩甲1号马殿荣,江苏盐城师院一附中曹大方,江苏省江浦高级中学冯仕虎．     

又一广义勾股数组

定义[1]设a1＜an,a1,a2,…,ak,ak 1,…,an是连续正整数,若∑ki=1a2i=∑ni=k 1a2i,则称a1,a2,…,an为一个广义勾股数组,记作(a1,…,ak|ak 1,…,an).     

库珀教授的数学课

一天,美国斯坦福大学商学院的数学教授库珀让同学们把自己的生日写在小纸片上,然后把所有的小纸片都折起来放在讲台上.他拿出一张5美元的钞票放在讲台上,问:我用5美元打赌,你们中至少有两个人同月同日生.有人敢跟我     

湖北卷理15的"名题"背景

题目 (2009,湖北理15)已知数列an满足:a1=m(m为正整数),an+1=(an)/(2),(当an为偶数时)3an+1,(当an为奇数时).若a6＝1,则m所有可能的取值为____.……     

2011年高考数学湖北卷创新点预测

2011年的全国普通高考湖北卷是使用老教材(即大纲教材)最后一次高考,在这新旧交替之际的高三复习备考中,数学这一科自然也会有不少问题备受关注:高考试卷将有何特点?难度如何?体现新教材(即新课标教材)的成分有多少?在复习备考     

讨论方程x｜x-a｜=a的解的个数

问题 已知a∈R,讨论关于x的方程x｜x-a｜=a的解的个数．