圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明

本文是[1]的继续.在[1]中,我们利用四阶行列式的特征证明了下面的定理. 定理 设Ai(acosθi,bsinθi)(i=1,2,3,4;0≤θi<2π)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(其中a≠b)上互异四点,则四点共圆的充要条件是θ1+θ2+θ3+θ4=2π,4π,6π.     

关于Vandermonde矩阵及其行列式的注记

给出Vandermonde矩阵及其行列式的若干应用,揭示它在高等代数和矩阵分析等方面的重要地位.具体来说,运用Vandermonde行列式来计算几个与之相关的行列式,运用线性方程组来证明组合恒等式,给出两个特殊的Vandermonde矩阵的应用,特别是用Schur矩阵给出了樊畿不等式的一个证明,给出了Vandermonde矩阵与Cauchy矩阵的一个恒等式.     

Winter定理和Dietz定理的推广

设G是由中心扩张1→Z_p^m→G→Z_p×…Z_p所决定的有限p-群,且|G’|≤p.确定了G的自同构群结构,推广了Winter和Dietz的工作     

有限秩的幂零群的自同构(I)

研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1其商因子分别为有限循环群、拟循环~$p$-\!群、无挠的局部循环群时. \qquad 特别地, 当群~$K$ 是一个~$FC$-\!群时, 在上述后4种情形下,~$\alpha$ 和~$\beta$生成的群也是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad 运用发展出来的方法, 还证明了几类有限秩的幂零群的自同构群的有限生成子群是剩余有限的.     

Euler公式对几道三角赛题的应用

学过复分析的人都知道如下的 Euler公式 :eix =cos x isin x,其中 i2 =- 1 .由此我们可以解出sin x =eix - e-ix2 i ,cos x =eix e-ix2 ,这是两个基本的三角函数 ,其它的几个三角函数 tan x,cot x,sec x,csc x是次要的 ,它们可由 sin x和 cos x表示出来 .从这个观点看 ,这 6个三角函数都是 eix的有理函数 ,从而每个三角函数问题可以化归到 eix 的有理函数问题加以解决 ,这是一种高等数学的视野 .为说明这点 ,我们给出上述的三角函数表达式对几道三角赛题的应用 .例 1　设 n是大于 1的自然数 ,则cos2πn cos4πn cos6πn … cos2 nπn =0…     

漫谈余弦定理

平面三角形里,我们有如下熟知的余弦定理:如图1,在△ABC中,c2=a2 b2-2abcosC.图1 图2在中学课本里,余弦定理是用坐标法证明的.如图2,建立直角坐标系,则A、B的坐标分别为A(bcosC,bsinC)、B(a,0),于是c2=|AB|2=(a-bcosC)2 (bsinC)2=a2 b2-2abcosC.     

Maschke定理的一点应用

给出了Maschke定理的两种无限变体,并应用于带子群极小条件的Abel群,深化了Berkovich的有关结果.     

无限可解群的强剩余有限性

本文讨论了无限可解群的强剩余有限性,证明了一个 o-群G是强剩余有限的当且仅当G的谱Sp(G)是个空集.这包含了Malcev关于多重循环群的一项有名工作.     

Profinite群的共轭分离性和全形

本文讨论了profinite群的共轭分离性和全形，把关于无限群的结果推广到了profinite群。     

有限群的广义交换度

给出了有限群广义交换度的一些性质.某种意义下,广义交换度测度了所有子群正规化子阶的平均值.通过考虑一类内交换群,探索了有限群的幂零性(可解性)与其广义交换度之间的关系.对于二面体群及含有循环极大子群的P-群,给出了其广义交换度的详细公式.