建立在同伦基础之上的一种非线性分析方法（2）：单自由度守恒系统周期的通用

本文以非线笥的单自由度守恒系统为例，描述了一种新的非线性分析方法。此方法建立在光滑映射的基础上，不依赖于小参数，从而特点适合于求解不具有小参数的强非线性问题。本文所给近似公式的精确度对参数值的变化不敏感，对任意大小的参数都是一致有效的。     

建立在同伦基础之上的一种非线性分析方法

本文描述了一种新的，不依赖于小参数的非线性分析方法，并分析，比较了该方法与摄动展开方法的优缺点，本文所述方法建立在拓扑的同伦理论之上。彻底抛弃了摄动方法的小参数假设，从而可以求解更强的非线性问题，特别是那些不含小参数的非线性问题。     

同伦分析方法：一种不依赖于小参数的非线性分析方法

本文进一步一般化了作者所提出的一种新的非线性分析方法，称为“同伦分析方法”。“同伦分析方法”的最大优点，在于其不依赖小参数，从而可求解更多的非线性问题，甚至包括那些不含小参数的问题。本文给出了几个应用实例，以说明“同伦分析方法”的有效性及巨大的潜力。     

水平地震时斜面水坝受到的非线性动水压力的全过程的解析解

本文给出在非线性Ｒａｙｌｅｉｇｈ阻尼作用下，由水平地震激发的水库内动水压力变化全过程的解析解：在激发初期其幅值较小，可用小参数法使控制方程线性化，从而求得各阶渐近控制方程的解析解；当动水压力的幅值增大到小参数展开不适用时，用ｖａｎ ｄｅｒｐｏｌ法求得非线性控制方程的渐近解，从而显示了动水压力的幅值从有序变化到发生突然跳跃的多值性的非线性本质。     

一类弱非线性振动问题的插值摄动解法

用插值摄动法［１］求解一类有阻尼的弱非线性振动问题。算例表明，当小参数很小时，本文结果和多尺度法的一级近似结果十分接近。当小参数不是很小时（即接近于强非线性振动时），本文结果，仍然相当准确，并优于多尺度法的一级近似结果。     

轮对非线性动力学系统蛇行运动的解析解

在对铁路车辆系统的极限环幅值和非线性临界速度进行分析时通常采用数值方法, 不便于研究其随系统参数的变化规律. 轮对系统保留了影响车辆系统动力学性能的几个关键要素: 如轮轨几何非线性约束、轮轨接触蠕滑关系和悬挂系统等, 可以反映铁路车辆系统蛇行运动的本质特性. 轮对系统自由度少、参数少, 可以采用解析方法进行分析. 本文选取合适的特征量把轮对非线性动力学方程无量纲化, 得到了带有小参数的两自由度微分方程; 采用多尺度方法对该方程进行了解析求解; 给出了轮对系统极限环幅值的解析表达式并对其稳定性进行了判定; 给出了轮对系统的分岔速度解析表达式, 并进而获得系统的非线性临界速度的解析表达式. 在对得到的解析解用数值结果进行验证后, 用得到的解析解进行了系统参数影响分析. 传统的分岔图计算方法(如降速法、路径跟踪法等)需对微分方程进行大量数值积分计算方可求解系统的非线性临界速度值, 而通过本文获得的解析表达式可直接给出系统的非线性临界速度值和极限环幅值, 便于研究轮对系统动力学特性随参数的变化规律,进行快速方案比对和筛选, 为转向架结构优化设计提供参考.      

非线性Duffing方程的高精度近似解

由参数迭代法得到非线性Duffing方程的高精度近似解,即使在小参数ε＝1的强非线性情况下,方程的误差函数在整个解域小于1％     

一类强非线性振动系统的分叉

对于参数激励和强迫激励共同作用的一类强非线性系统，本文先用改进的Ｌ－Ｐ方法求出了变换参数，使该系统的解能展为小参数的幂级数．然后利用多尺度法求出了该系统的分叉响应方程．研究了这类强非线性系统的余维１分叉问题，画出了转迁集和分叉图     

一种新的求解非线性系统周期解方法

本文利用切比雪夫多项式的若干良好性质,对非自治强非线性动力系统进行分析。将状态矢量在主周期上先展开谐波级数的形式,再将各谐波展开为切比雪夫多项式的形式,从而将求周期解的问题转变为非线性代数方程组的求解问题,得出一种可以方便、迅速地获得近似周期解的解析方法。此方法不依赖于小参数假设,可以用于分析强非线性问题和高维问题,而且对参数激励系统同样有效。以Duffing系统周期解的计算为例,通过与标准谐波平衡方法和四阶Runge-Kutta数值积分结果比较,说明此方法的有效性。     

周期集中载荷作用下球形扁壳的非线性振动问题

本文用半解析法推导了周期集中载荷作用下,周边固定球形扁壳的非线性振动微分方程.然后用小参数法求出了非线性的非共振周期解和共振周期解.绘出了不同几何特征参数下的振幅——频率图.     

Accurate Higher-Order Analytical Approximate Solutions to Large-Amplitude Oscillating Systems with a General Non-Rational Restoring Force

A new approximate analytical approach for accurate higher-order nonlinear solutions of oscillations with large amplitude is presented in this paper. The oscillatory system is subjected to a non-rational restoring force. This approach is built upon linearization of the governing dynamic equation associated with the method of harmonic balance. Unlike the classical harmonic balance method, simple linear algebraic equations instead of nonlinear algebraic equations are obtained upon linearization prior to harmonic balancing. This approach also explores large parameter regions beyond the classical perturbation methods which in principle are confined to problems with small parameters. It has significant contribution as there exist many nonlinear problems without small parameters. Through some examples in this paper, we establish the general approximate analytical formulas for the exact period and periodic solution which are valid for small as well as large amplitudes of oscillation.     

均布载荷作用下具有光滑中心波纹膜片的非线性分析

采用轴对称旋转壳体的简化Reissner方程，研究了在均布载荷作用下具有光滑中心波纹膜片的非线性弯曲问题。应用格林函数方法，波纹膜片的非线性边值问题化为了非线性积分方程的求解。为了求解积分方程并防止发散，一个插值参数被引入到迭代格式中。计算表明，当载荷很小时，任何插值参数值均能保证迭代的收敛性，取插值参数值接近或等于1获得较快的收敛速度，而当载荷较大时，插值参数值不能取得过大。绘出了波纹膜片的特征曲线，得到的特征曲线可供设计参考。可以断言，当载荷不大时，特征曲线是近似线性的，随着载荷的增大，特征曲线开始向上弯曲，明显偏离线性。本文中提出的解决方法适应于任意轴向截面的波纹壳体。     

A brief review of the homotopy analysis method

本文简述同伦分析方法基本思想、最新理论进展及其在流体力学、固体力学、一般力学、量子力学、应用数学、金融等科学和工程领域的应用.同伦分析方法不依赖物理小参数, 适用范围更广,而且提供了一种简单的途径确保级数解收敛, 适用于强非线性问题.同伦分析方法已被成功应用于求解一些具有挑战性的力学问题,并获得一些全新的、 从未见报道的解. 这些成功的应用,证明了同伦分析方法的普遍有效性和原创性.     

同伦分析方法进展综述

本文简述同伦分析方法基本思想、最新理论进展及其在流体力学、固体力学、一般力学、量子力学、应用数学、金融等科学和工程领域的应用.同伦分析方法不依赖物理小参数, 适用范围更广,而且提供了一种简单的途径确保级数解收敛, 适用于强非线性问题.同伦分析方法已被成功应用于求解一些具有挑战性的力学问题,并获得一些全新的、 从未见报道的解. 这些成功的应用,证明了同伦分析方法的普遍有效性和原创性.      

一种土的非线性弹性本构模型参数的反演方法

旨在提出一种土的非线性弹性本构模型参数反演的方法。以现今普遍实行的地基载荷试验为基础,依据遗传算法的组合优化理论,采用正演计算和遗传算法优化相结合的方式,建立了土层非线性弹性本构模型参数反演的方法;并依据某黄土场地地基载荷试验数据,实施了黄土土层非线性弹性本构模型参数反演的全过程。计算结果表明,所建立的方法可以实现土层非线性弹性本构模型中相互关联的多个参数的组合优化,并在对初始值要求较低的情况下,可以获得良好的参数反演精度。从而为土的变形特性分析和土与其中及相邻结构的共同作用分析,提供了较好的土体本构模型参数的确定方法。     

考虑弯扭形变的薄壁箱形梁的非线性后屈曲

在大位移和扭转的前提下,通过一中等弯曲扭转的位移场描述了薄壁箱形梁在偏心载荷作用下的静稳定性问题.该非线性公式可用于分析简支薄壁箱形梁在不同载荷作用下的屈曲和后屈曲行为.采用伽辽金方法将非线性微分系统离散,并通过牛顿-拉普森增量迭代法求解得代数方程组.数值计算结果表明,当前屈曲位移不可忽略时,经典的横向屈曲预测是保守的...     

On the reduction of some second-order nonlinear ODEs in physics and mechanics to first-order nonlinear integrodifferential and Abel’s classes of equations

Second-order ordinary differential equations (ODEs) with strong nonlinear stiffness terms (cubic nonlinearities) governing wave motions, dynamic crack propagations, nonlinear oscillations etc. in physics and nonlinear mechanics are analyzed. Selecting as guide line a second-order nonlinear ODE of the form of the forced Duffing equation and using admissible functional transformations it is possible to reduce it to an equivalent first-order nonlinear integrodifferential equation. The reduced equation is exact. In the limits of small or large values of the parameter characterizing this nonlinear problem, it is shown that further reductions lead to a nonlinear ODE of the Abel classes. Taking into account the known exact analytic solutions of this equivalent equation it is proved that there does not exist an exact analytic solution of this type of equations. However, in cases when convenient functional relations connecting all parameters of the corresponding null equation and the characteristics of the driving force exist, approximate analytic solutions to the problem under consideration are provided.     

Nonlinear axisymmetric deformations of an elastic tube under external pressure

The problem of the finite axisymmetric deformation of a thick-walled circular cylindrical elastic tube subject to pressure on its external lateral boundaries and zero displacement on its ends is formulated for an incompressible isotropic neo-Hookean material. The formulation is fully nonlinear and can accommodate large strains and large displacements. The governing system of nonlinear partial differential equations is derived and then solved numerically using the C++ based object-oriented finite element library Libmesh. The weighted residual-Galerkin method and the Newton-Krylov nonlinear solver are adopted for solving the governing equations. Since the nonlinear problem is highly sensitive to small changes in the numerical scheme, convergence was obtained only when the analytical Jacobian matrix was used. A Lagrangian mesh is used to discretize the governing partial differential equations. Results are presented for different parameters, such as wall thickness and aspect ratio, and comparison is made with the corresponding linear elasticity formulation of the problem, the results of which agree with those of the nonlinear formulation only for small external pressure. Not surprisingly, the nonlinear results depart significantly from the linear ones for larger values of the pressure and when the strains in the tube wall become large. Typical nonlinear characteristics exhibited are the “corner bulging” of short tubes, and multiple modes of deformation for longer tubes.