拟哈密顿系统非线性随机最优控制

主要介绍近十几年来拟哈密顿系统非线性随机最优控制理论方法及其应用的研究成果, 包括基于拟哈密顿系统随机平均法与随机动态规划原理的非线性随机最优控制基本策略, 即响应极小化控制、随机稳定化、首次穿越损坏最小化控制、以概率密度为目标的控制, 为将它们应用于工程实际而作的部分可观测系统最优控制、有界控制、时滞控制、半主动控制、极小极大控制的进一步研究, 以及综合考虑这些实际问题的非线性随机最优控制的综合策略, 非线性随机最优控制在滞迟系统、分数维系统等中的若干应用, 介绍与这些研究有关的背景, 并指出今后有待进一步研究的问题.     

哈密顿正则方程、正则变换和泊松括号 (Ⅰ)哈密顿函数不显含时间t的

微分几何是力学的自然框架.本文叙述了有关辛流形的一些基本事项,并利用它们对在哈密顿函数不显含时间t的情况下的哈密顿正则方程、正则变换等物理概念作了统一的处理,阐明了它们的几何意义, 并澄清了一些容易混淆的概念.     

Birkhoff系统的广义正则变换及其基本形式

动力学方程的积分问题是分析力学研究的一个重要方面．由于求解一般的动力学方程往往会遇到很大困难,因此可利用变量变换,使方程变得容易求解．文章研究Birkhoff系统的广义正则变换．首先,建立Birkhoff系统的广义正则变换的充分必要条件;其次,基于该条件,给出Birkhoff系统的广义正则变换的六种基本形式,导出每一种情况下新旧变量之间的变换关系．作为特例,文中给出Hamilton方程的正则变换．文末,给出算例以说明结果的应用．     

变质量系统哈密顿正则方程和哈密顿原理

从理想完整约束变质量系统的拉格朗日方程出发,导出了这种系统的哈密顿正则方程．从理想约束系统动力学普遍方程出发,导出了理想约束变质量系统哈密顿原理．     

哈密顿正则方程、正则变换和泊松括号 (Ⅱ)哈密顿函数显含时间t的情

本文利用切触流形的基本理论讨论了在哈密顿函数显含时间t 的情况下,哈密顿正则方程等物理概念的几何意义,从而阐明了正则变换问题并证明了泊松括号在含时的正则变换下也是一个不变量等结论.     

计算最优控制辛数值方法

针对最优控制问题（OCP）的辛数值方法研究及应用进行综述。主要涉及内容包括,动力学系统为常微分方程描述的一般无约束、含不等式约束和状态时滞的最优控制问题,微分代数方程描述的一般无约束、含不等式约束和含切换系统的最优控制问题,以及闭环最优控制问题。从间接法和直接法两个求解框架出发,重点介绍本课题组在保辛算法方面的研究工作。在间接法框架下,首先基于生成函数和变分原理,将OCP保辛离散为非线性方程组,再数值求解方程组。在直接法框架下,将OCP保辛离散为有限维的非线性规划问题（NLP）,再数值求解。针对闭环最优控制问题,提出了保辛模型预测控制、滚动时域估计和瞬时最优控制算法。研究表明,保辛算法具有高精度和高效率的特点,在航空航天和机器人等领域有着广泛应用前景和价值。     

近哈密顿系统的Hopf分岔

简化了Wiggins提出的关于近哈密顿系统的Hopf分岔条件,并结合硬弹簧Duffing系统,研究了该类系统的Hopf分岔行为,并用数值积分的方法验证了结果的正确性。     

向量V函数方法与时变非线性大系统的轨线性态

本文分析时变非线性大系统的不变集与稳定性。利用向量Ｖ函数建立大系统的Ｗａｚｅｗｓｋｉ型时变非线性集结模型，即“比较系统”，根据比较原理得以直接的检验性判据。避免了求解比较系统的困难。同时还得到时变线性系统稳定性的新结果。     

哈密顿体系在断裂力学Dugdale模型中的应用

利用平面扇形域哈密顿体系的方程，通过分离变量法及共轭辛本征函数向量展开法，以解析的方法推导出基于Dugdale模型的平面裂纹弹塑性解析元列式。将该解析元与有限元相结合，构成半解析的有限元法，可求解任意几何形状和荷载平板裂纹的Dugdale模型问题。数值计算结果表明本文方法对该类问题的求解是十分有效的，并有较高的精度。     

随机和区间非齐次线性哈密顿系统的比较研究及其应用

随着计算机技术的飞速发展,更高效、更稳定和长时间模拟能力更强的数值算法需求迫切.哈密顿系统辛算法与传统算法相比在稳定性和长期模拟方面具有显著优越性.但动力系统中不可避免地存在大量不同程度的不确定性,动力学分析中需要考虑这些不确定性的影响以确保合理有效性.然而,目前考虑参数不确定性的哈密顿系统响应分析的研究基础还比较薄弱.为此,本文考虑随机和区间参数不确定性,对两种不确定性非齐次线性哈密顿系统分析计算结果进行了比较研究,从而突破了传统哈密顿系统的局限性,并应用于结构动力响应评估中.首先,针对确定性非齐次线性哈密顿系统,提出了考虑确定性扰动的参数摄动法;在此基础上,分别提出了随机、区间非齐次线性哈密顿系统的参数摄动法,得到了它们响应界限的数学表达;随后,用数学理论推导得到了区间响应范围包含随机响应范围的相容性结论;最后,两个数值算例在较小时间步长下验证了所提方法在结构动力响应中的可行性和有效性,体现了随机、区间哈密顿系统响应结果之间的包络关系,并在较大时间步长下与传统方法相比较凸显了哈密顿系统辛算法的数值计算优势、与蒙特卡洛模拟方法相比较验证了所提方法的精度.     

分析力学方法在平衡态热力学中的应用:分析热力学

分析热力学乃是用分析力学的方法来研究平衡态热力学.本文用较简单的方法证明了\"熵最大\"变分原理与\"Gibbs自由能最小\"变分原理或\"Helmholtz自由能最小\"变分原理是等价的;以这三个Gibbs变分原理为出发点,导出了平衡态热力学的正则方程.由平衡态热力学中的正则方程,可以证明热力学基本Poisson括号成立.本文的另一主要任务是借助于Gibbs变分原理,讨论平衡态热力学中热力学量的正则变换.可以得到热力学正则变换的四种形式.在分析(平衡态)热力学中也可提出\"化准Hamiltonian为压强或容积的正则变换技术\".作为应用正则变换的实例,讨论了理想气体并得到了简明的结果.     

Symmetry Breaking for a System of Two Linear Second-Order Ordinary Differential Equations

A new canonical form for a system of two linear second-orderordinary differential equations (odes) is obtained. The latter isdecisive in unravelling symmetry structure of a system of two linearsecond-order odes. Namely we establish that the point symmetry Liealgebra of a system of two linear second-order odes can be5-, 6-, 7-, 8- or 15-dimensional. This result enhances both the richness andthe complexity of the symmetry structure of linear systems.     

拟不可积Hamilton系统响应的随机最优控制

提出了一种基于拟不可积Hamilton系统随机平均法和随机动态规划原理的控制策略.它可以对受高斯白噪声激励的拟不可积Hamilton系统进行非线性随机最优控制,以使系统的响应最小化.利用拟不可积Hamilton系统随机平均法可以将受控的拟不可积Hamilton系统降维成一维的Ito随机微分方程.利用随机动态规划原理可以为系统响应最小化问题建立动态规划方程.在控制力为有界的条件下,从动态规划方程中可以确定出最优控制规律.受控系统的响应是通过求解与Ito随机微分方程相联系的FPK方程得到的,用一个例子阐述了这一随机最优控制策略的实施过程.     

STOCHASTIC OPTIMAL CONTROL FOR THE RESPONSE OF QUASI NON-INTEGRABLE HAMILTONIAN SYSTEMS~

A strategy is proposed based on the stochastic averaging method for quasi nonintegrable Hamiltonian systems and the stochastic dynamical programming principle. The proposed strategy can be used to design nonlinear stochastic optimal control to minimize the response of quasi non-integrable Hamiltonian systems subject to Gaussian white noise excitation. By using the stochastic averaging method for quasi non-integrable Hamiltonian systems the equations of motion of a controlled quasi non-integrable Hamiltonian system is reduced to a one-dimensional averaged Ito stochastic differential equation. By using the stochastic dynamical programming principle the dynamical programming equation for minimizing the response of the system is formulated.The optimal control law is derived from the dynamical programming equation and the bounded control constraints. The response of optimally controlled systems is predicted through solving the FPK equation associated with It5 stochastic differential equation. An example is worked out in detail to illustrate the application of the control strategy proposed.     

On the inverse optimization problem for periodic systems

Consideration is given to the problem inverse to the problem of designing the optimal (in the sense of minimization of a quadratic functional) controller for a linear periodic system. Problem statement: given matrices describing the dynamics of the system and a control matrix, determine the weighting matrices of the quadratic functional. To solve this problem, an algorithm based on linear matrix inequalities is proposed __________ Translated from Prikladnaya Mekhanika, Vol. 41, No. 12, pp. 100–106, December 2005.