加性非平稳激励下结构速度响应的FPK方程降维

结构在随机激励下的非线性响应分析是具有高度挑战性的困难问题.对于白噪声或过滤白噪声激励,求解FPK方程将获得结构响应的精确解.遗憾的是,对于非线性多自由度系统,FPK方程难以直接求解.事实上,其数值解法严重受限于方程维度,而解析求解则仅适用于少数特定的系统,且多是稳态解.因此,将FPK方程进行降维,是求解高维随机动力响应分析问题的重要途径.本文针对幅值调制的加性白噪声激励下多自由度非线性结构的非平稳随机响应分析问题,将联合概率密度函数满足的高维FPK方程进行降维.针对结构速度响应概率密度函数求解,通过引入等价漂移系数,原FPK方程可转化为一维FPK型方程.建议了构造等价漂移系数的条件均值函数方法.进而,采用路径积分方法求解降维FPK型方程,得到速度概率密度函数的数值解答.结合单自由度Rayleigh振子、十层线性剪切型框架和非线性剪切型框架结构在幅值调制的加性白噪声激励下的非平稳速度响应求解,讨论了本文方法的精度和效率,验证了其有效性.     

加性非平稳激励下结构速度响应的FPK方程降维

结构在随机激励下的非线性响应分析是具有高度挑战性的困难问题. 对于白噪声或过滤白噪声激励,求解FPK方程将获得结构响应 的精确解. 遗憾的是,对于非线性多自由度系统,FPK方程难以直接求解. 事实上,其数值解法严重受限于方程维度,而解析求解 则仅适用于少数特定的系统,且多是稳态解. 因此,将FPK方程进行降维,是求解高维随机动力响应分析问题的重要途径. 本文针 对幅值调制的加性白噪声激励下多自由度非线性结构的非平稳随机响应分析问题,将联合概率密度函数满足的高维FPK方程进行降 维. 针对结构速度响应概率密度函数求解,通过引入等价漂移系数,原FPK方程可转化为一维FPK型方程. 建议了构造等价漂移系数 的条件均值函数方法. 进而,采用路径积分方法求解降维FPK型方程,得到速度概率密度函数的数值解答. 结合单自由度Rayleigh 振子、十层线性剪切型框架和非线性剪切型框架结构在幅值调制的加性白噪声激励下的非平稳速度响应求解,讨论了本文方法的精 度和效率,验证了其有效性.      

随机外激励作用下非线性系统响应演变概率密度

对随机高斯外激励作用下强非线性振动系统响应演变概率密度函数求解问题进行探讨.应用随机函数空间的正交分解理论,将由熵方法定义的指数形式概率密度函数表达式在随机泛函空间中展开,推导了展开级数所满足的FPK方程.运用加特金方法,将概率密度与系统状态向量共同表征的偏微分方程求解问题转化为求解逼近系数的一阶常微分方程组形式,使得问题求解成为可能.数值算例中研究了随机外激励作用下下一阶与二阶随机非线性系统响应概率密度函数求解问题,初步讨论了随机非线性系统响应概率密度函数的瞬态演化过程.     

广义密度演化方程的δ函数序列解法

随机动力系统响应或状态向量的概率密度函数一般遵循概率密度演化方程,如Liouville方程、FPK方程和Dostupov-Pugachev方程,但是上述方程均属于高维偏微分方程,求解相当困难. 基于概率守恒原理的随机事件描述导出的广义密度演化方程,其维数与系统自由度无关,为随机动力系统分析提供了可能的途径. 从广义密度演化方程的形式解出发,引入δ函数的渐近序列,获得了广义密度演化方程的一种新的数值解法------广义密度演化方程的δ序列解法. 将建议方法与非参数密度估计进行了对比,指出非参数密度估计是该方法的一个特例. 最后,分别采用重构实例和演化实例验证了该方法在一维和多维情形下的有效性.      

带位移偶次方项非线性随机振子在位移参数激励下的概率解

论文用指数多项式闭合或EPC(Exponential Polynomial Closure)法分析了具非零均值响应的带位移偶次方项非线性随机振子在参数激励下响应的概率密度函数解.给出了求解过程并通过算例分析验证了指数多项式闭合法在此情况下的有效性.数值结果显示,指数多项式闭合法得到的响应概率密度结果与蒙特卡洛模拟的结果符合较好,尤其是在对系统可靠性分析起主要作用的概率密度函数尾部区域符合很好.     

基于state-space-split法的滞回非线性系统随机动力响应分析

采用SSS(state-space-split)法,建立了引入Bouc-Wen滞回模型的杜芬非线性系统在高斯白噪声激励下的概率密度函数(PDF)的近似求解方法,分析了其随机动力响应变化规律.首先,将Bouc-Wen滞回模型引入杜芬非线性系统,分别考虑非线性系统中的几何非线性和材料非线性对动力响应的影响.随后,对该模型进行了等效线性化(EQL)处理,基于等效线性化法结果,介绍了SSS法的简化方法和计算原理,并通过该方法求解了三维FPK方程的近似联合概率密度函数.最后,将该方法应用于三个案例和一个工程实例,通过求解其概率密度函数分布及动力可靠度验证了提出方法的适用性、可行性和优越性.     

用差分法与超松弛迭代法求高维平稳FPK方程的解

用不同精度的差分格式将高维平稳FPK方程离散化为线性代数方程组,然后用超松弛迭代法求解该线性代数方程组得到平稳FPK方程的近似解。讨论了不同的差分格式、网格密度及超松弛因子对解精度及收敛速度的影响,并与其他方法的计算精度进行比较,提出用多重网格算法提高计算效率。研究了典型的二维及四维随机系统的稳态响应,算例表明,该算法具有简洁、节省存储量且精度高的特点,是求解高维平稳FPK方程解的有效算法。     

基于路径积分法的悬索非线性随机振动响应分析

随机荷载激励下悬索过大的动力响应将影响其正常使用与安全,对其响应概率密度函数的求解与分析是评估悬索随机动力响应的重要途径之一。针对悬索在高斯白噪声激励下的随机振动模态响应,利用基于Gauss-Legendre积分和短时高斯转移概率密度假定的路径积分法,研究了模态振动响应的概率密度函数的平稳数值解与非平稳数值解,并进一步开展了参数研究,揭示了不同参数影响下概率密度函数的分布规律。将路径积分法所得的平稳解和非平稳解,分别与FPK方程的精确平稳解、等效线性化法所得平稳解及蒙特卡罗模拟非平稳解进行对比,结果表明,路径积分法所得的概率密度函数解分别与精确平稳解及蒙特卡罗模拟非平稳解符合良好。对于平稳响应,由于位移二次非线性项的存在,位移概率密度函数分布呈非对称分布形式,但速度概率密度函数并不受其影响,仍服从对称分布;非平稳响应概率密度函数初始时刻峰值较大,且在初始阶段峰值是随着时间不断变化的,波动较明显,随着时间推移逐渐平稳。研究结果对于悬索非平稳响应研究具有重要的工程意义。     

指数多项式闭合法求带位移偶次方项非线性随机振子响应的概率解

本文用指数多项式闭合(Exponential Polynomial Closure,EPC)法分析了具非零均值响应的带位移偶次方项非线性随机振子的响应概率密度函数解。给出了求解过程并通过算例分析验证了指数多项式闭合法在此情况下的有效性。数值结果显示,指数多项式闭合法得到的响应概率密度结果与蒙特卡洛模拟的结果符合较好,尤...     

求解非线性动力系统周期解的改进打靶法

针对有周期解的动力系统边值问题可以转化为初值问题这一特点，改进了周期解的打靶 法数值求解. 在计算边界条件代数方程关于待定初值参数导数的过程中利用前一次 Runge-Kutta方法计算得到的节点函数值并通过再次利用Runge-Kutta方法获得了该导数值. 用此方法求解了Duffing方程及非线性转子---轴承系统的周期解,用Floquet理论判断了 周期解的稳定性,与普通打靶法作了比较,验证了方法的有效性.     

求解非线性结构动力方程的预估校正-辛时间子域法

提出了求解非线性结构动力方程的预估校正-辛时间子域法。首先,将结构非线性动力方程转换为状态空间方程,在任一时间子域内利用改进的欧拉法对各离散时刻的状态变量值进行预估和校正。然后,将离散的非线性项用Lagrange插值多项式展开并视为外荷载,结合辛时间子域法即可求解非线性动力系统的响应。这种方法不必对状态矩阵求逆,无需计算高阶导数,计算简单,格式统一,易于编程。算例结果表明,本文方法具有较高的计算精度、效率和稳定性,是一种求解非线性结构动力方程的有效方法。     

拟不可积Hamilton系统响应的随机最优控制

提出了一种基于拟不可积Hamilton系统随机平均法和随机动态规划原理的控制策略,它可以对受高斯白噪声激励的拟不可积Hamilton系统进行非线性随机最优控制,以使系统的响应最小化,利用拟不可积Hamilton系统随机平均法可以将受控的拟不可积Hamilton系统降维成一维的It随机微分方程,利用随机动态规划原理可以为系统响应最小化问题建立动态规划方程,在控制力为有界的条件下,从动态规划方程中可以确定出最优控制规律,受控系统的响应是通过求解与It6随机微分方程相联系的FPK方程得到的,用一个例子阐述了这一随机最优控制策略的实施过程。     

非线性随机动力系统的概率密度演化分析

阐述了基于概率密度演化理论进行多自由度结构非线性随机动力反应分析的基本思想.采用随机过程的正交分解或物理系统建模的思想,实现随机激励的随机函数表述.对由此获得的随机状态方程采用概率密度演化理论求解,可以获得随机动力系统反应的概率密度函数及其演化.以某剪切型框架结构的非线性随机地震反应分析为例,说明了所发展方法的可行性和有效性.     

基于等效线性化法的弱非线性体系下的地震响应分析

对弱非线性单自由度非自由振动系统结构在白噪声地震激励下的随机响应问题进行了研究。首先,建立了结构的弱非线性响应方程;然后根据能量平衡原理对运动方程进行了等效线性化;最后获得了金井清谱(Kanai-Tajimi谱)下等效线性化方程的位移响应及速度响应的方差,将弱非线性随机响应问题简化为求解线性随机响应问题,并给出了算例验证。结果表明,该方法可以准确得到弱非线性随机响应问题的解。同时,建立了单自由度结构弱非线性随机响应频域分析的统一解析解法。     

可积反对称Duhem迟滞系统在非白噪声激励下的随机响应分析

运用随机平衡法，研究可积反对称Duhem迟滞系统在非白噪声激励下的随机响应根据能量等价性，将Duhem迟滞系统转化成非迟滞的非线性系统；再运用随机平均法，导出关于系统能量It^O随机微分方程与相应的FPK方程；求解该方程得到平稳概率密度，从而可计算响应统计量。通过例子分析表明，本文方法的结果与数字模拟非常吻合。     

随机桁架结构几何非线性问题的混合摄动-伽辽金法求解

提出应用混合摄动-伽辽金法求解随机桁架结构的几何非线性问题.将含位移项的随机割线弹性模量以及随机响应表示为幂多项式展开,利用高阶摄动方法确定随机结构几何非线性响应的幂多项式展开的各项系数.将随机响应的各阶摄动项假定为伽辽金试函数,运用伽辽金投影对试函数系数进行求解,从而得到随机桁架结构几何非线性响应的显式表达式.同已有的随机伽辽金法相比,本文所给的试函数由摄动解的线性组合而成,在求解非线性问题时,试函数的获取具有自适应性.数值算例结果表明,对于具有不同概率分布的多随机变量问题,本文方法无需对随机变量的概率分布形式进行转换,避免了转换误差,因而比同阶的广义正交多项式方法 (generalized polynomial chaos, GPC)计算精度高.同时,在结果精度相当时,和GPC方法相比,本文方法得到的试函数系数的非线性方程维度不大,方程的求解工作量小且更易求解.当随机量涨落较大时,混合摄动-伽辽金法计算所得的结构响应的各阶统计矩比高阶摄动法所得结果更逼近于蒙特卡洛模拟结果,显示了该方法对几何非线性随机问题求解的有效性.     

随机激励下滞迟系统的稳态响应闭合解

滞迟系统属于一类典型的强非线性系统,滞迟力不仅取决于系统的瞬时变形,还与变形历程有关.虽然滞迟系统的随机振动问题已被广泛研究,但至今尚未得到滞迟系统随机响应概率密度函数的精确闭合解.本文运用迭代加权残值法获得了高斯白噪声激励下Bouc-Wen滞迟系统稳态响应概率密度函数的近似闭合解.首先,运用等效线性化法求出系统的稳态高斯概率密度函数;然后以此构造权函数,应用加权残值法求得了系统指数多项式形式的非高斯概率密度函数;最后引入迭代的过程,逐步优化权函数,提高计算所得结果的精度.以随机地震激励下钢纤维陶粒混凝土结构的稳态响应作为算例,其中Bouc-Wen模型的参数是基于拟静力学试验数据,并应用最小二乘法辨识获得.与Monte Carlo模拟结果相比,等效线性化法得到的结果精度较差;由加权残值法得到的结果能够表现出非线性特征,但其精度依然无法令人满意;采用迭代加权残值法得到的近似闭合解与Monte Carlo模拟的结果吻合非常好;对于较强随机激励情形,采用渐进迭代加权残值法具有较高的求解效率,所获得的理论解析解具有较高的精度.结果表明,所获得的近似闭合解不仅对于土木工程领域具有重要的实际应用价值,而且还可作为检验其他非线性系统随机响应预测方法的精度的标准.     

坐标平面投影法及其在Lorenz混沌系统中的应用

坐标平面投影法（CPP）是研究搞维动力系统解性态的一种半解析半数值方法。它直接在状态空间中降维。通过保留2维物理空间变量，将其余变量设为该2维动力系统的虚拟参数，可研究该2维空间（降维系统RDS）中解的性态。所设虚拟参数由对原高维系统直接数值积分得到。由于在低维（2维）空间解析分析中引入由数值积分得到的虚拟参数，使得这一方法具有特色。本文通过Lorenz混沌系统，对CPP在研究高维系统解性态方面的有效性进行了探讨。结果表明，这一方法思想朴素，分析简单，从一个全新的角度对Lorenz混沌吸引子进行了解释，阐明了非线性混沌系统通向混沌的道路。本文还证明了降维系统（RDS）与高维系统（HDS）奇点之间的关系，对进一步研究HDS解的全面性态提供了条件。     

随机初始挠度结构的随机参数振动分析

本文运用随机平均法，分析随机参数载荷作用下具有随机初始挠度结构的参数振动，利用FPK方程导出结构位移、速度的稳态联合概率密度函数，给出响应幅值的矩分析表达式，由此推出矩响应稳定条件，文中还详细讨论几种特殊参数载荷作用下结构的幅值响应，分析随机初始挠度对结构响应的影响。     

多自由度非线性系统的同伦分析方法

大部分工程实际问题可以用多自由度非线性系统来描述,这些系统的数学模型是许多个耦合的两阶常微分方程.一般地,要精确求解这些方程非常困难,因此可以考虑它们的解析近似解.同伦分析方法是解非线性系统响应的有用工具,本文将它应用于多自由度非线性系统的求解中.利用求两自由度耦合van del Pol振子周期解的实例,展示了同伦分析方法的有效性和巨大潜力.同时,把得到的解析近似解与系统的Runge-Kutta数值解作了比较,结果表明同伦分析方法是求解多自由度非线性系统的有效方法.