精细时程积分法及其数值衍生格式应用评估

旋翼气动弹性耦合动力学方程本质上是一组刚性比较大的非线性偏微分方程。在有限元结构离散后，可改写为非齐次微分方程组，其中非齐次项是桨叶运动量（位移与速度）和气动载荷的函数。针对这类方程，本文尝试引入精细积分法及其衍生格式，借助数值方法计算Duhamel积分项。从积分精度与数值稳定性方面比较研究具有代表性的精细库塔法和高精度直接积分法。结合隐式积分算法，评估精细积分法应用于旋翼动力学方程的可行性。算例表明，精细积分法对矩形直桨叶动力学方程具有足够的求解精度。     

精细时程积分法及其数值衍生格式应用评估

旋翼气动弹性耦合动力学方程本质上是一组刚性比较大的非线性偏微分方程。在有限元结构离散后,可改写为非齐次微分方程组,其中非齐次项是桨叶运动量(位移与速度)和气动载荷的函数。针对这类方程,本文尝试引入精细积分法及其衍生格式,借助数值方法计算Duhamel积分项。从积分精度与数值稳定性方面比较研究具有代表性的精细库塔法和高精度直接积分法。结合隐式积分算法,评估精细积分法应用于旋翼动力学方程的可行性。算例表明,精细积分法对矩形直桨叶动力学方程具有足够的求解精度。     

Burgers方程的小波精细积分算法

求解偏微分方程的常用方法包括有限差分法、有限元法等。近年来,小波分析在偏微分方程数值求解中的应用已引起很多学者的关注,例如采用Daubechies小波或shannon小波构造的小波配置方法已经取得较好的结果。钟万勰院士提出的偏微分方程的子域精细积分方法是一种半解析方法,方法简单,精度高。将小波方法和精细积分方法相结合应用于偏微分方程的数值求解中将有利于提高算法的精度和稳定性,为此本文以Burgers方程为例,提出了一种求解一维非线性抛物型偏微分方程的小波精积分方法。该方法用拟小波配点法对空间域进行离散,建立起对时间的常微分方程组,然后采用精细时程积分方法对该方程组求解。数值计算结果表明,该方法同其它方法相比,具有计算格式简单,数值稳定性和精度较高的优点。     

粘弹性固体的精细积分有限元算法

粘弹性固体本构方程的数学表达式分为微分型和积分型两种，其数值求解主要是时域上离散计算。文中从微分型表达式出发导出其状态空间方程的数学表达式，通过严格推导论证了它与微、积分型表达式的等价性；引入状态空间方程，从而利用精细积分格式来求解粘弹性固体本构方程；给出了粘弹性固体本构方程的精细积分有限元算法，为求解粘弹性固体本构方程的数值解提供了一个新的途径，具有计算简便，求解精度高等优点。     

弹性板边界元中计算边界高阶导数的渐近收敛积分方程

本文针对板弯曲边界元方法中计算边界曲率等高阶导数项时边界积分方程中出现的高阶奇异积分项,通过对未知挠曲函数作渐近展开并加以适当摄动,获得了渐近收敛的边界积分方程。采用这一方法计算板边界上的曲率分布,获得了满意的数值结果。     

随机桁架结构几何非线性问题的混合摄动-伽辽金法求解

提出应用混合摄动-伽辽金法求解随机桁架结构的几何非线性问题.将含位移项的随机割线弹性模量以及随机响应表示为幂多项式展开,利用高阶摄动方法确定随机结构几何非线性响应的幂多项式展开的各项系数.将随机响应的各阶摄动项假定为伽辽金试函数,运用伽辽金投影对试函数系数进行求解,从而得到随机桁架结构几何非线性响应的显式表达式.同已有的随机伽辽金法相比,本文所给的试函数由摄动解的线性组合而成,在求解非线性问题时,试函数的获取具有自适应性.数值算例结果表明,对于具有不同概率分布的多随机变量问题,本文方法无需对随机变量的概率分布形式进行转换,避免了转换误差,因而比同阶的广义正交多项式方法 (generalized polynomial chaos, GPC)计算精度高.同时,在结果精度相当时,和GPC方法相比,本文方法得到的试函数系数的非线性方程维度不大,方程的求解工作量小且更易求解.当随机量涨落较大时,混合摄动-伽辽金法计算所得的结构响应的各阶统计矩比高阶摄动法所得结果更逼近于蒙特卡洛模拟结果,显示了该方法对几何非线性随机问题求解的有效性.     

随机桁架结构几何非线性问题的混合摄动-伽辽金法求解

提出应用混合摄动$\!$-$\!$-$\!$伽辽金法求解随机桁架结构的几何非线性问题.将含位移项的随机割线弹性模量以及随机响应表示为幂多项式展开,利用高阶摄动方法确定随机结构几何非线性响应的幂多项式展开的各项系数.将随机响应的各阶摄动项假定为伽辽金试函数,运用伽辽金投影对试函数系数进行求解,从而得到随机桁架结构几何非线性响应的显式表达式.同已有的随机伽辽金法相比,本文所给的试函数由摄动解的线性组合而成,在求解非线性问题时,试函数的获取具有自适应性.数值算例结果表明,对于具有不同概率分布的多随机变量问题,本文方法无需对随机变量的概率分布形式进行转换,避免了转换误差,因而比同阶的广义正交多项式方法(generalizedpolynomial chaos, GPC)计算精度高.同时,在结果精度相当时,和GPC方法相比,本文方法得到的试函数系数的非线性方程维度不大,方程的求解工作量小且更易求解.当随机量涨落较大时,混合摄动$\!$-$\!$-$\!$伽辽金法计算所得的结构响应的各阶统计矩比高阶摄动法所得结果更逼近于蒙特卡洛模拟结果,显示了该方法对几何非线性随机问题求解的有效性.      

增维精细积分法的适用范围研究

对线性定常结构动力系统提出的增维精细积分法,能够将非齐次动力方程转化为齐次动力方程,不用对状态矩阵求逆就能方便高效地求解出结构的动力响应。本文在仔细分析增维精细积分法性质的基础上,提出了其适用条件,进一步拓宽了其应用范围,并给出了将荷载项展开成傅里叶级数时,相应增维精细积分法的表达式。同时,在一个时间步长内,通过对非齐次项作线性化假设,成功地将增维精细积分法应用到了非线性动力分析领域。本文方法计算格式统一,易于编程,具有很高的计算效率。数值算例证明了本文方法的有效性。     

Duhamel项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用

基于Duhamel项的精细积分方法,构造了几种求解非线性微分方程的数值算法。首先将非线性微分方程在形式上划分为线性部分和非线性部分,对非线性部分进行多项式近似,利用Duhamel积分矩阵,导出了非线性方程求解的一般格式。然后结合传统的数值积分技术,例如Adams线性多步法等,构造了基于精细积分方法的相应算法。本文算法利用了精细积分方法对线性部分求解高度精确的优点,大大提高了传统算法的数值精度和稳定性,尤其是对于刚性问题。本文构造的算法不需要对线性系统矩阵求逆,可以方便的考察不同的线性系统矩阵对算法性能的影响。数值算例验证了本文算法的有效性,并表明非线性系统的线性化矩阵作为线性部分是比较合理的选择。     

非线性最优控制系统的时程精细计算研究

针对非线性最优控制问题 ,通过一阶 Taylor级数展开 ,得到线性化的动力学方程 ,进而在方程原变量的基础上 ,引入对偶向量 (Lagrange乘子向量 ) ,将动力学方程从 Lagrange体系引入到了 Hamilton体系 ,在全状态下 ,从一个新的角度对非线性最优控制问题进行了描述 ,进一步基于时程精细积分理论 ,对其方程进行了有效的精细求解 ,并通过算例说明了文中方法的有效性     

On the solution of MHD flow over a nonlinear stretching sheet by an efficient semi‐analytical technique

The problem of magneto‐hydrodynamic fluid flow past a nonlinear stretching sheet in the presence of a transverse magnetic field is analyzed. The governing equations are transformed into a nonlinear ordinary differential equation that is solved using a novel spectral homotopy analysis method and the Matlab in‐built numerical solverttbvp4c. The new technique removes some known limitations of the homotopy analysis method and offers a more systematic way of selecting initial approximations and the optimal auxiliary parameter ?. A comparison with the numerical solution confirms the robustness, the computational efficiency, and the accuracy of the technique. Copyright © 2011 John Wiley & Sons, Ltd.     

高阶谐波平衡方法中非物理解来源分析及改进方法研究

对于周期性非定常问题,高阶谐波平衡（High-order Harmonic Balance, HOHB）方法将非定常方程的解用Fourier 级数展开至一定阶次,从而消除其中的时间导数项,大大降低了计算消耗. 本文以达芬振子方程为例,探讨了HOHB 方法中非物理解的来源,分析结果表明:非物理解出现的原因是在推导过程中非线性项的简化处理导致方程左右两边并不严格相等. 根据非线性项的特点,在其处理过程中扩充子时间层上的时域解,并将非线性项中出现的更高阶谐波截断,使方程左右两边严格相等. 通过对达芬振子方程进行数值模拟发现:改进方法在消除非物理解的同时,也显著减少了计算所需谐波数. 对比参考文献发现,同阶改进方法的精度和原始谐波平衡方法基本相当,证明了本方法的可行性. 最后将本方法应用于具有立方刚度非线性的气动弹性系统中,验证本方法的工程适用性. 但是,当方程中非线性项较多时,本方法所需要的计算消耗会有所增加.      

超越摄动:同伦分析方法基本思想及其应用

介绍一种新的、求解强非线性问题解析近似的一般方法------同伦分析方法.该方法从根本上克服了摄动理论对小参数的过分依赖, 其有效性与所研究的非线性问题是否含有小参数无关, 因此,适用范围广.此外, 不同于所有其他解析近似方法,同伦分析方法提供了一个简单的途径, 确保所得到的级数解收敛, 从而获得足够精确的解析近似.而且, 不同于所有其他解析近似方法, 同伦分析方法(HAM)提供了选取基函数之自由, 从而可以选择较好的基函数, 更有效地逼近问题的解.同伦分析方法为非线性问题的解析近似求解提供了一个全新的思路, 为非线性问题(特别是不含小参数的强非线性问题)的求解开辟了一个全新的途径.简要描述同伦分析方法的基本思想, 其在非线性力学、物理、化学、生物、金融、工程和计算数学等领域的应用举例, 以及与摄动方法、Lyapunov 人工小参数法、$\delta$展开法、Adomian 分解法、同伦摄动方法之区别和联系.      

DYNAMIC PULL-IN INSTABILITY OF DOUBLE-SIDED ACTUATED NANO-TORSIONAL SWITCHES

A nonlinear frequency-amplitude relation is developed to investigate the vibrational amplitude effect on the dynamic pull-in instability of double-sided-actuated nano-torsional switches. The governing equation of a nano-electro-mechanical system pre-deformed by an electric field contains the quintic nonlinear term. The influences of basic parameters on the pull-in instability and natural frequency are investigated using a powerful analytical approach called the homotopy perturbation method. It is demonstrated that two terms in series expansion are sufficient to produce an acceptable solution. The numerical results obtained have verified the soundness of the asymptotic procedure. The phase portraits of the double-sided nano-torsionalactuator exhibit periodic, homoclinic and heteroclinic orbits.     

随机杆系结构几何非线性分析的递推求解方法

建立了随机静力作用下考虑几何非线性的随机杆系结构的随机非线性平衡方程. 将和 位移耦合的随机割线弹性模量以及随机响应量表示为非正交多项式展开式，运用传统的摄动方法获 得了关于非正交多项式展式的待定系数的确定性的递推方程. 在求解了待定系数后，利用非 正交多项式展开式和正交多项式展开式的关系矩阵，可以很方便地得到未知响应量的二阶统计矩. 两杆结构和平面桁架拱的算例结果表明，当随机量涨落较大时，递推随机有限元方法比基于 二阶泰勒展开的摄动随机有限元方法更逼近蒙特卡洛模拟结果，显示了该方法对几何非线性 随机问题求解的有效性.     

HOMOTOPY PERTURBATION SOLUTION AND PERIODICITY ANALYSIS OF NONLINEAR VIBRATION OF THIN RECTANGULAR FUNCTIONALLY GRADED PLATES

In this paper nonlinear analysis of a thin rectangular functionally graded piate is formulated in terms of von-Karman＇s dynamic equations. Functionaily Graded Material （FGM） properties vary through the constant thickness of the plate at ambient temperature. By expansion of the solution as a series of mode functions, we reduce the governing equations of motion to a Duffing＇s equation. The homotopy perturbation solution of generated Duffing＇s equation is also obtained and compared with numerical solutions. The sufficient conditions for the existence of periodic oscillatory behavior of the plate are established by using Green＇s function and Schauder＇s fixed point theorem.     

A coupled immersed boundary‐lattice Boltzmann method with smoothed point interpolation method for fluid‐structure interaction problems

The immersed boundary‐lattice Boltzmann method has been verified to be an effective tool for fluid‐structure interaction simulation associated with thin and flexible bodies. The newly developed smoothed point interpolation method (S‐PIM) can handle the largely deformable solids owing to its softened model stiffness and insensitivity to mesh distortion. In this work, a novel coupled method has been proposed by combining the immersed boundary‐lattice Boltzmann method with the S‐PIM for fluid‐structure interaction problems with large‐displacement solids. The proposed method preserves the simplicity of the lattice Boltzmann method for fluid solvers, utilizes the S‐PIM to establish the realistic constitutive laws for nonlinear solids, and avoids mesh regeneration based on the frame of the immersed boundary method. Both two‐ and three‐dimensional numerical examples have been carried out to validate the accuracy, convergence, and stability of the proposed method in consideration of comparative results with referenced solutions.     

双相介质波动方程孔隙率反演的同伦方法

从材料响应的理论合成应与实际测量数据相拟合这一出发点，将双相介质波劝方程参数的反演问题转化为非线性算子方程的零点求解问题，从而应用一种大范围收敛的同伦方尘土注来解非线性算子方程，并把这种方法用于Simon(1984)给出的具有解析的一维双相介质模型的数值模拟，最后的数值结果表明，给出的算法是十分有效的。     

An efficient numerical method for solving Falkner–Skan boundary layer flows

In this paper a novel computational technique for the solution of nonlinear third‐order boundary value problems is presented. We demonstrate the application of the method by solving the famous Falkner–Skan equation on a semi‐infinite domain. Comparison with the results from other methods such as the homotopy analysis method and numerical methods demonstrates the accuracy, computational efficiency and robustness of this technique. Copyright © 2011 John Wiley & Sons, Ltd.