一种结构动力时程分析的积分求微方法

传统采用微分求积(differential quadrature,DQ)法求解动力问题时都是以位移响应作为基本未知量,而将速度响应和加速度响应表示为位移响应的加权和的形式.如此做法需要处理线性方程组或者矩阵方程(Sylvester方程)才能求得动力响应,导出的算法一般为有条件稳定算法.本文利用动力响应的Duhamel积分解,逆用DQ原理,提出了一种计算卷积的高精度显式算法.该算法可以逐时段地求解出动力时程响应,当各时段内DQ节点分布完全一致时,仅须进行一次Vandermonde矩阵求逆计算即可应用于各个时段,一次性获得时段内多个时刻的位移响应值,因而具有计算效率高的优点.通过分析动力方程积分格式,证明本文动力算法传递矩阵的谱半径恒等于1,因而该算法具有无条件稳定特性,且计算过程中不会产生数值耗散. 本文算法的数值精度取决于分析时段内布置的DQ节点数量$N$,具有$N-1$阶代数精度.实际操作时可以取10个甚至更多的DQ节点数,从而获得比较高的数值精度.      

一种结构动力响应分析的快速高阶算法

为了提高基于高阶格式的结构动力响应微分求积分析方法的计算效率,发展了一种求解动力方程的快速算法．利用微分求积原理将结构动力方程转化为标准Sylvester方程的形式,通过对系数矩阵进行矩阵分解,进而将动力响应Sylvester方程化为一系列标准线性方程组,采用相关成熟算法求解这些线性方程组后即可获得结构动力时程响应的全部解答．结构动力响应微分求积分析方法为高阶数值方法,一步计算可以获得多个时点处的动力响应．基于本文快速算法,不必直接对矩阵方程进行求解．数值算例表明,本文快速算法能够准确地计算出结构动力响应,具有数值精度高、收敛性好的优点．     

结构动力方程的增维精细积分法

对线性定常结构动力系统提出的精细积分方法,能够得到在数值上逼近于精确解的结果,但对于非齐次动力方程涉及到矩阵求逆的困难。提出采用增维的办法,将非齐次动力方程转化为齐次动力方程,在实施精细积分过程中不必进行矩阵求逆,这种方法对于程序实现和提高数值稳定性十分有利,而且在大型问题中计算效率较高,从而改进了精细积分方法的应用,数值例题显示了本文方法的有效性。     

A PRECISE INTEGRATION APPROACH FOR THE DYNAMIC-STIFFNESS MATRIX OF STRIP FOOTINGS ON A LAYERED MEDIUM 1）

提出应用精细积分算法计算多层地基的动力刚度问题.精细积分是计算层状介质中波传播的高效而精确的数值方法.利用傅里叶积分变换将层状地基的波动方程转换为频率-波数域内的两点边值问题的常微分方程组,运用精细积分方法求解格林函数,最后再将得到的频率-波数域内地基表面的动力刚度矩阵转换到频率-空间域内,进而得到刚性条带基础频率域的动力柔度或刚度矩阵.所建议的精细积分算法,可以避免一般传递矩阵计算中的指数溢出问题,对各种情况有广泛的适应性,计算稳定,在高频段可以保障收敛性,并能达到较高的计算精度.     

非线性动力方程的增维精细积分法

对线性定常结构的动力系统提出的精细积分法，能得到在数值上逼近于精确解的结果。但是对于非齐次动力方程却涉及到矩阵求逆的困难，而且通常与时间有关的非齐次项不能进入精细积分的细化过程。采用增维的方法，将非齐次动力方程化为齐次方程，在实施精细积分的过程中不必进行矩阵求逆。这种处理方法对于程序实现和提高数值计算的稳定性十分有利，而且在大型问题中可明显提高计算效率，数值算例显示本文方法是有效的。     

多层地基条带基础动力刚度矩阵的精细积分算法

提出应用精细积分算法计算多层地基的动力刚度问题. 精细积分是计算层状介质中波传播的高效而精确的数值方法. 利用傅里叶积分变换将层状地基的波动方程转换为频率-波数域内的两点边值问题的常微分方程组, 运用精细积分方法求解格林函数, 最后再将得到的频率-波数域内地基表面的动力刚度矩阵转换到频率-空间域内, 进而得到刚性条带基础频率域的动力柔度或刚度矩阵. 所建议的精细积分算法, 可以避免一般传递矩阵计算中的指数溢出问题, 对各种情况有广泛的适应性, 计算稳定, 在高频段可以保障收敛性, 并能达到较高的计算精度.      

一种有限元模型动力缩聚移频迭代法

提出了一种基于矩阵广义逆的有限元模型动力缩聚移频迭代方法,该方法首先直接从原系统特征方程出发,导出反映系统主,副自由度之间位移关系的动力缩聚矩阵的控制方程,然后给出了相应的迭代求解方法和收敛准则。为了减少求矩阵广义逆的计算工作量,本文给出了一种替代方法,把对一个高阶满阵求逆转化为对一个同阶高度稀疏矩阵求逆。与已有的动力缩聚迭代法相比,本文提出的方法具有两个显著的优点：其一是迭代收敛速度高,其二是通     

齐次扩容精细算法

钟万勰院士创立的线性定常系统的精细算法HPD具有非常重要的工程实用价值。对于非齐次线性定常系统,钟构造了在一个积分步长内将激励项线性化的处理方法LHPD,Lin^[3]等通过Fourier级数展开和寻找有解析形式的特解的方法,构造了HPD－F算法,这两种算法有一个共同点,即算法的实现需要求解系统矩阵及相关长阵的逆矩阵,数学上,也即隐含要求系统的矩阵及其相关矩阵非奇异,这样,就产生以下两个问题：1．当系统矩阵及其相关矩阵奇异时,如何设计这类动力响应问题的精细格式？2．算法的实现,需要设计高精度的矩阵求逆算法,而矩阵求逆的工作量是奶大的.本文借助齐次扩容技巧,设计了求解非齐次线性定常系统的一类新的精细算法－齐次扩容精细算法HHPD。该算法不涉及矩阵求逆运算,有效地解决 上述两个问题,并且具有设计合理,易于实现等特点,本文最后就几个典型算例,应用齐次扩容精细算法求解,与文献相比,数值结果更为理想。     

层状地基任意形状刚性基础动力响应求解

提出了基于积分变换、对偶方程与精细积分算法求解多层地基任意形状刚性基础的动力刚度问题. 首先在频率波数域内圆柱坐标体系中利用圆形微元的对称与反对称特性建立多层地基中格林影响函数的波动方程,然后将应力和位移关系表示成对偶形式进行精细积分求解以提高计算精度和稳定性. 再将任意形状刚性基础与地基的交界面离散化为一系列圆形微元,利用格林影响函数建立其平动与转动动力刚度的矩阵方程. 该求解方法高效、准确并且计算稳定,适于任意复杂多层地基任意形状基础动力刚度的计算.      

Duhamel项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用

基于Duhamel项的精细积分方法,构造了几种求解非线性微分方程的数值算法。首先将非线性微分方程在形式上划分为线性部分和非线性部分,对非线性部分进行多项式近似,利用Duhamel积分矩阵,导出了非线性方程求解的一般格式。然后结合传统的数值积分技术,例如Adams线性多步法等,构造了基于精细积分方法的相应算法。本文算法利用了精细积分方法对线性部分求解高度精确的优点,大大提高了传统算法的数值精度和稳定性,尤其是对于刚性问题。本文构造的算法不需要对线性系统矩阵求逆,可以方便的考察不同的线性系统矩阵对算法性能的影响。数值算例验证了本文算法的有效性,并表明非线性系统的线性化矩阵作为线性部分是比较合理的选择。     

结构非线性动力方程的精细积分算法

基于线性方程精细积分的思路,对具有惯性、阻尼、刚度非线性的动力方程及参变非线性动力方程提出了一种较高精度线性化精细积分迭代计算算法,算例表明该算法可用较大的步长取得满意的计算精度,并可在较大的线性化区间获得较高的计算精度。     

非线性动力方程的三次样条-增维精细算法

提出一种针对非线性动力方程的改进精细积分方法。该方法是在时间步长内采用分段的三次样条函数拟合非齐次项,保持高精度拟合的同时避免了求导运算和高次多项式插值带来的Runge现象。通过引入4×2个变量将动力方程增加四维转化为齐次方程,并建立相应的通解格式,避免了状态空间下系统矩阵求逆。将指数矩阵分为四个子模块,利用各模块的特点分别进行理论推导及基于精细积分法进行分步、分块计算得到相应的理论解和高精度数值解,无需反复计算整个指数矩阵,提高了解算效率。针对含未知状态量的非齐次项,引入预测-校正的方法进行迭代求解。数值计算结果表明了本文方法的有效性。     

基于位移型Gurtin变分原理计算动力响应的逐步积分法

本文利用位移型Ｇｕｒｔｉｎ变分原理,在时间域上采用三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值函数进行离散,给出了一种计算结构动力响应的逐步积分方法。通过稳定性分析研究了该方法的稳定区情况表明,当１．６４≤θ≤２．０８时,该方法的数值计算精度很高,但是条件稳定积分格式。当θ≥４．１时,该方法是无条件稳定的积分格式,精度较高。     

计算结构动力方程三次精度的直接积分法

以往计算结构动力方程的无条件稳定积分格式的证明,是在阻尼矩阵满足振型正交条件下得到的,文本给出的三次精度无条件稳定积分格式的证明,可不要求阻尼矩阵满足振型正交条件。此外本文提出的高精度方法和以往的高精度方法相比具有存贮空间小,计算量少的优点,本文方法还具有没超越现象的优点。     

埃尔米特梁单元的分块对角与高阶质量矩阵

埃尔米特梁单元常用的集中质量矩阵,是由挠度自由度对应的一致质量矩阵元素通过行求和或节点积分构造。然而,数值结果表明该集中质量矩阵在求解包含自由端的梁振动问题时,会出现频率精度掉阶现象。本文首先从保障质量矩阵最优收敛性的数值积分精度出发,分别针对三次和五次梁单元,发展了质量矩阵的梯度增强节点积分方案。利用梯度增强节点积分方案,可以得到具有分块对角形式的单元质量矩阵,而其组装的整体质量矩阵除边界节点外仍然呈现对角形式。对于两种单元,其分块对角质量矩阵分别具有4阶最优精度和6阶次优精度。再者,将标准一致质量矩阵和具有同阶精度的梯度增强节点积分质量矩阵进行优化组合,建立了具有超收敛特性的高阶质量矩阵。最后,通过数值算例系统验证了三次和五次单元的分块对角与高阶质量矩阵的频率计算精度。     

结构动力问题的高精度组合差分时程积分法

基于Taylor级数展开得到位移和加速度的中心差分格式,并结合速度的后差分格式,构造了一种求解结构动力问题的组合差分格式的时程积分算法,该算法为自起步的两步高精度算法。通过求解递推格式的传递矩阵及其特征值,对该算法的稳定性和精度进行了理论分析,结果表明,本文提出的算法虽属条件稳定,但其精度极高,具有周期延长率小、没有振幅衰减等优点。数值分析结果也证明本文提出的算法具有较高精度。     

求解三维裂纹前缘SIF分布时间历程的通用权函数法和有限变分法

将三维热权函数法扩展为适用于表面力、体积力和温度载荷的通用权函数法(UWF).推导出以变分型积分方程表达的UWF法基本方程,从变分的角度,将求解三维热权函数法基本方程的多虚拟裂纹扩展法(MVCE)改造为可以适用于一般的变分型积分方程的一类新型数值方法--有限变分法(FVM).在FVM中可以引入无穷多种线性无关的局部变分模式,可以根据计算要求在求解域中插入任意多个计算节点,单一型裂纹问题FVM所得到的最终方程组的系数矩阵总是一个对称的窄带矩阵,而且对角元总是大数,具有良好的数值计算性能.FVM对于SIF沿裂纹前缘急剧变化的复杂情况具有较好的数值模拟能力和较高的计算精度,利用自身一致性,可以求得三维裂纹前缘SIF的高精度解.     

关于插值矩阵的乘法定理及其应用

本文研究了在有限元计算中各种等参数单元的形函数按一定规律所构成的矩阵的性质.提出了关于这种矩阵的乘法定理,大大简化了这种矩阵的求逆方法,使我们可以把单元内一些点上的函数值方便地外插到单元节点上.本文的公式适用于任意维数和节点数的等参数单元,其中包括至今仍广泛应用的由E.Hinton 教授等人提出的光滑矩阵,它是本文公式应用于线性等参数单元的一个特例.     

求解非线性结构动力方程的预估校正-辛时间子域法

提出了求解非线性结构动力方程的预估校正-辛时间子域法。首先,将结构非线性动力方程转换为状态空间方程,在任一时间子域内利用改进的欧拉法对各离散时刻的状态变量值进行预估和校正。然后,将离散的非线性项用Lagrange插值多项式展开并视为外荷载,结合辛时间子域法即可求解非线性动力系统的响应。这种方法不必对状态矩阵求逆,无需计算高阶导数,计算简单,格式统一,易于编程。算例结果表明,本文方法具有较高的计算精度、效率和稳定性,是一种求解非线性结构动力方程的有效方法。     

增维精细积分法的适用范围研究

对线性定常结构动力系统提出的增维精细积分法,能够将非齐次动力方程转化为齐次动力方程,不用对状态矩阵求逆就能方便高效地求解出结构的动力响应。本文在仔细分析增维精细积分法性质的基础上,提出了其适用条件,进一步拓宽了其应用范围,并给出了将荷载项展开成傅里叶级数时,相应增维精细积分法的表达式。同时,在一个时间步长内,通过对非齐次项作线性化假设,成功地将增维精细积分法应用到了非线性动力分析领域。本文方法计算格式统一,易于编程,具有很高的计算效率。数值算例证明了本文方法的有效性。