再谈拉格朗日函数非唯一性的物理意义：广义规范变换和正则变换的等价性证明

关于力学系统拉格朗日函数非唯一性问题所蕴含的物理意义,各种教学研究期刊都刊发了不少论文进行论述,但仍存在某些争议。本文从拉格朗日函数非唯一性等价于动力学系统广义规范选择的任意性这一基本性质出发,证明无论是拉格朗日方程还是哈密顿正则运动方程都具有这种规范变换的协变性。由此,澄清了近期一些文献和网络上关于文献中规范变换是否可以看作是一种正则变换的争议,供教学参考。     

正则变换与勒让德变换

力学中变换理论占有很重要的地位，利用变换理论我们可以从力学的一种表述形式过渡到另一种表述形式，也可以在某种理论表述形式中寻找使问题易于求解的途径．本文将讨论分析力学中两种重要的变换：勒让德交换和正则变换，讨论它们所应满足的条件和相互影响，特别是将指出正则变换一般将破坏力学理论的拉格朗日表述和哈密顿表述之间的勒让德变换关系，从而澄清某些力学著作在处理这方面问题时的模糊之处．     

高等教育自学考试物理专业理论力学(分析力学部分)课程考试大纲

总说明 (l)分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论.它用更普遍、更一般的方法处理力学体系的运动问题,这不仅深刻揭示出宏观机械运动的统一规律,而且还揭示出力学规律与其他物理规律之间的统一性.在从经典物理向近代物理的过渡中分析力学起了重要作用. 本课程只要求考生对分析力学的基础内容,即虚功原理、拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿原理等有所掌握或了解,从而对力学规律有更深入的认识,并能掌握运用这些理论去处理力学问题的方法,为学习后继理论物理课程提供一个较好的基础. (2)分析力学所揭示的规律具…     

广义经典力学与非完整力学的统一理论

建立广义经典力学与非完整力学的统一理论———广义非完整力学理论,构造其基本框架.提出广义非完整力学的Чeтаeв(Chetaev)定义,建立广义非完整力学系统的Routh方程和正则方程.给出广义非完整力学系统的非等时变分方程,证明由广义非完整力学系统的第一积分可以构造积分不变量.研究广义非完整力学系统作用量的非等时变分,给出系统的Poincar啨Cartan积分变量关系和积分不变量,进而给出等时变分下系统的Poincar啨积分变量关系和通用积分不变量.给出一些推论,表明广义经典力学和一阶至高阶非完整力学的相关结论均为广义非完整力学理论的特款. 关键词： 广义非完整力学 广义Чeтаeв定义 运动方程 积分不变量     

理论力学自学辅导材料(六)——分析力学基础

分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论.它的理论体系和处理问题的方法完全不同于牛顿力学.它代表经典力学的进一步发展,它揭示出支配宏观机械运动的更概括、更普遍的规律,以致能用比较统一的方法处理各种力学体系的运动问题;它还揭示出力学规律与其他物理规律之间的统一性,它的发展为从经典物理向近代物理的过渡起了重要作用.分析力学已成为学习后继理论物理课程的必要基础. 分析力学是在不断探索如何建立力学体系的运动方程和如何求解这些运动方程两个问题中发展起来的,在研究求解问题中往往对运动规律又有新的认…     

线型分子的电子能级之Λ分裂的新解释

认为电子态能级发生Λ分裂虽然是角动量引起的,但不是耦合而是运动牵连作用的结果.从这一认识出发,利用欧拉方程和拉格朗日方程分别得到了包含Λ分裂的分子转动哈密顿函数和哈密顿算符,所得结果与Van.Vleck的著名结论完全一致 关键词： Λ分裂 线型分子 欧拉方程 哈密顿算符     

哈密顿光学理论在变折射率问题中的应用

从理论力学中的哈密顿光学理论入手,将光在变折射率光纤中的传播路径问题类比为在特殊势场中粒子的运动,相较于传统的积分求解方法,提供了简洁直观的思考模式,并对几个具体的模型进行分析,在高中物理竞赛中不乏是—种开阔视野且巧妙的方法.     

哈密顿动力学的优越性

偶然拜读了贵刊在2006年第5期中刊登的文章《哈密顿和哈密顿力学》后颇有感触,该文谈及了哈密顿动力学的优越性问题,为了能够让读者更为全面清楚地了解这一问题,本文将哈密顿动力学与拉格朗日动力学进行比较再进一步做一些补充和总结。     

欧拉-拉格朗日方程在一维波动方程中的应用

本文以一维弦上微元的动能和势能为基础,推导出了一维波动方程。文章首先介绍了通过力学分析得到一维波动方程的方法。然后分析了一维自由运动粒子的动能和势能,引入系统的哈密顿量和拉格朗日函数,由最小作用原理得到了欧拉-拉格朗日方程,也就是粒子的运动方程。将这一方法用于分析一维弦上波动,给出微元的拉格朗日密度函数,得到可以描写无穷多自由度系统的欧拉-拉格朗日方程,从而导出了一维波动方程。最后分析了一维弦上波动的拉格朗日密度与弦理论中Polyakov作用量中的拉格朗日密度的关系。     

相对论性力学系统的Birkhoff对称性与守恒量

提出了相对论性力学系统的一种新的对称性,并给出了此对称性导致的守恒量.提出了相对论性力学系统的Birkhoff对称性,即对应于相对论性力学系统的一组Birkhoff动力学函数的运动微分方程的解都满足从另一组Birkhoff动力学函数得到的运动微分方程.证明了与两组Birkhoff动力学函数分别给出的相对论性Birkhoff方程相关联的系数矩阵的各次幂的迹是系统的一个守恒量,从而将Currie和Saletan提出的力学系统的等效Lagrange函数定理拓展到了相对论性Birkhoff动力学系统.给出了两个例子以说明结果的正确性.     

从拉格朗日到哈密顿——浅谈分析力学的发展

分析力学作为理论物理的一个分支,是由法国数学家、物理学家拉格朗日集其大成的,他的巨著《分析力学》的问世,实现了力学理论的巨大飞跃。继拉格朗日之后,英国物理学家和数学家哈密顿将分析力学又向前发展了一步,他于1834—1835年先后发表了《论动力学中的一个普遍方法》和《再论动力学中的普遍方法》两篇论文,使分析力学推向了一个新的高峰,特别是提出了以他的名字命名的极值原理和方程成了分析力学发展的百花园中最鲜艳的花朵,近代著名物理学家薛定谔评价说:“哈密顿的极值原理是近代物理学的基石”这些成就使哈密顿被誉为“大不列颠爱尔兰王国的拉格朗日”。 一、哈密顿小传 在拉格朗日去世的前八年,即1805午8月3日,哈密顿降生于爱尔兰首都都柏林一位律师兼商人的家庭里,少年时代其母亲和父亲相继去世,他是在叔父的精心哺育下成长起来的,从小天资超人,惊人的早熟。三岁就学会了写英文信,到十四岁时就会用拉丁文、希腊文、希伯来文、意大利文、法文……等十种语言会话,赋诗和写文章,成为罕见的掌握多种语言的人才。十六岁时他在研究拉普拉斯的《天体力学》时,发现其中关于力的平行四边形法则证明有误,使得都柏林的天文学教授们大为吃惊。少年时代就才华出众、崭露头角。1823年十八岁的哈密顿以第     

物理中的控制理论教学:端口哈密顿系统

控制理论具有广泛的应用,在物理课堂中教学控制理论具有重要意义.基于哈密顿力学的端口哈密顿系统提供了一种基于物理的控制策略.该方法为物理学科中的控制理论教学提供了重要的手段.本文使用端口哈密顿系统描述若干经典物理系统并介绍了基于物理的控制策略,包括配置能量、耗散以及系统结构.闭环哈密顿量是系统的李雅普诺夫函数,从而保证系统的(渐近)稳定性.本文使用杜芬振子和洛伦兹系统来说明基于物理的控制策略.最后,使用端口哈密顿系统描述了天体力学中的两个例子供读者参考.     

阻尼落体运动的分析力学研究

应用分析力学理论和方法,研究了两种情况下的阻尼落体运动:1)阻力大小与速度成正比;2)阻力大小与速度平方成正比.对两种运动分别给出了等效的Lagrange函数和Hamilton函数,并应用第一积分法、点变换法、正则变换法和Ham-ilton-Jacobi方程法等不同的求解方法进行了求解.     

哈密顿Ermakov系统的形式不变性

把形式不变性的方法用于研究哈密顿Ermakov系统，从哈密顿Ermakov系统的形式不变性出发，运用比较系数法得到与形式不变性相应的点对称变换生成元的表达式及势能所满足的偏微分方程.结果表明，在点对称变换下，只有自治的哈密顿Ermakov系统才具有形式不变性. 关键词： 哈密顿Ermakov系统 拉格朗日函数 点对称变换 形式不变性     

完整有势力学系统的高阶Lagrange方程

首先提出力学系统高阶速度能定理,阐明了系统高阶速度能量的物理意义;然后提出力学系统有势的一般判据.在此基础上,引入高阶Lagrange函数,得出完整有势力学系统的高阶Lagrange方程,并得到系统高阶循环积分和高阶广义能量积分. 关键词： 高阶速度能定理 有势力学系统 高阶Lagrange方程 高阶Lagrange函数     

变质量完整力学系统的高阶运动微分方程

从Мещерский方程出发,建立变质量力学系统的高阶D'Alembert-Lagrange原理,导出变质量完整力学系统的各类高阶运动微分方程.结果表明,它们扩充和优化了完整力学的相关理论. 关键词： 变质量完整力学系统 高阶力变率 高阶D'Alembert-Lagrange原理 高阶运动微分方程     

也谈“哈密顿动力学中的广义动量”

本刊1986年第9期发表的《哈密顿动力学中的广义动量》一文中提到S个或2S个独立变量这样两种可能的观点,本文想指出甚至从拉格朗日方程开始就可以按2S个动力学变量来理解. 对力学系统作动力学描述,仅给出广义坐标值是不够的,还需给出广义速度(或与之直接关联的广义动量)等动力学变量.仍以完整的保守力学系统作为例子,设其几何位形是S维的.在引进S个独立变量q(或广义动量p)的同时要引进S个确定q(或p)的独立方程.这样,2S个方程正好可以确定这2S个独立交量.具体地说[1],拉格朗日方程共S个,现在将q作为描述力学状态的独立变量,则同时要引进S…     

力学、热力学及电磁波导中的正则变换和辛描述

从正则变换入手,讨论经典力学中正则变换的辛描述,得到了正则变换的条件,给出了热力学系统满足正则变换条件的证明,同时给出了在辛体系下电磁波导的正则变换的物理意义.通过正则变换给出在辛体系下力学、热力学、电磁学公式的相似性,在统一理论方面做出有益探讨.     

一般完整系统Mei对称性的逆问题

动力学逆问题是星际航行学、火箭动力学、规划运动学理论的基本问题. Mei对称性是力学系统的动力学函数在群的无限小变换下仍然满足系统原来的运动微分方程的一种新的不变性. 本文研究广义坐标下一般完整系统的Mei对称性以及与Mei对称性相关的动力学逆问题. 首先, 给出系统动力学正问题的提法和解法. 引入时间和广义坐标的无限小单参数变换群, 得到无限小生成元向量及其一次扩展. 讨论由n个广义坐标确定的一般完整力学系统的运动微分方程, 将其Lagrange函数和非势广义力作无限小变换, 给出系统运动微分方程的Mei对称性定义, 在忽略无限小变换的高阶小量的情况下得到Mei对称性的确定方程, 借助规范函数满足的结构方程导出系统Mei对称性导致的Noether守恒量. 其次, 研究系统Mei对称性的逆问题. Mei对称性的逆问题的提法是: 由已知守恒量来求相应的Mei对称性. 采取的方法是将已知积分当作由Mei对称性导致的Noether守恒量, 由Noether逆定理得到无限小变换的生成元, 再由确定方程来判断所得生成元是否为Mei对称性的. 然后, 讨论生成元变化对各种对称性的影响. 结果表明, 生成元变化对Noether和Lie对称性没有影响, 对Mei 对称性有影响, 但在调整规范函数时, 若满足一定条件, 生成元变化对Mei对称性也可以没有影响. 最后, 举例说明结果的应用.     

约束哈密顿系统在相空间中的精确不变量与绝热不变量

研究小干扰力作用下约束哈密顿系统对称性的摄动问题.建立了非保守约束哈密顿系统的正则方程,在增广相空间中研究了系统的对称性与精确不变量.基于力学系统的高阶绝热不变量的概念,给出了系统的各阶绝热不变量的形式及存在条件,并建立了绝热不变量与对称变换之间的对应关系 关键词： 约束哈密顿系统 对称性 摄动 不变量