带电导体系的电场能量

为清晰、透彻地理解静电学中涉及的各种能量的基本概念,本文从场的观点和电荷的观点分析讨论了该问题,并选择了几个熟悉的例子来说明本文认识的合理性.依照场的观点,真空中两个体积足够小的电荷的静电场能量密度为:1/2ε0E21+1/2ε0E22+ε0E1·E2.其中,1/2ε0E21和1/2ε0E22分别为两个电荷单独存在时的电场能量密度,而交叉项ε0E1·E2则为两个电荷电场的相互作用能量密度;它们的空间积分分别为两个电荷单独存在时的静电场能量和两个电荷电场之间的相互作用能量.而从电荷观点出发,此3个静电场的能量分别为两个电荷的固有能和彼此之间的静电相互作用势能.推广到有限体积的孤立带电导体以及带电导体系的情形,可知孤立带电导体的固有能就是其上所有无限小电荷元间的相互作用势能之和,而带电导体系的电场能也就是体系所包含的所有电荷元间的相互作用势能的总和.     

关于静电体系总能和相互作用能的几点讨论

在阐明静电体系总能和相互作用能的基础上,利用电动力学中得到的静电体系总有量公式W总＝1／2∫ρdV,在电荷体分布的情况下,当电荷分割为n个体电荷元时,可以严格证明：limW互＝W总。     

静电场的格林解式与亥姆霍兹定理一致性的证明

把亥姆霍兹定理用于一个有界区域的静电场问题，可以得到Ｅ（ｒ）的积分表达式．由有界区域的静电场泊松方程的格林解式也可得到Ｅ（ｒ）的积分表达式．上述两式在形式上有一定差异，本文给出这两式是等价的数学证明．     

关于电压、电势和电势差概念的理解

文章讨论了稳定涡旋电场中导体上的电压,并把该情况及似稳条件下导体上的"电势""电势差"与静电场中的电势、电势差作了比较。结果表明:只存在静电场时,空间任一点有电势,两点间有电势差;存在涡旋电场时,在一定条件下(形成稳定电流和似稳电流时)在导体上任一点有"电势",只在由导体连接着的两点间有"电势差"。当电场为只由静止电荷激发的静电场,此时一点的电势值与零点的选择有关,电势差与积分路径无关;当电场为全部电场中的保守场部分时,一点的"电势"值与零点的选择有关,"电势差"也与积分路径无关。两点间电势差是单位正电荷从一点经任意路径移到另一点时外力克服静电力做功而增加的能量,即静电势能的增量;两点间"电势差"是单位正电荷从导体上任一点经导体中的任意路径移到另一点时获得的(净)能量,是外力所做的功除去发热剩余的能量,数值上恰等于静电势能的增量。     

量子系统的Ergodlc定理

在Klein的一篇论文中,他指出了当量子系统的ergodic定理成立时,所有的运动积分R必须满足以下的条件:sumfrom r″to (α′γ″|R|β′γ″=常数δ_α′β′, (1) 式中α′,β′,…等代表我们所研究的系统的态,γ″,ρ″…等代表舆我们的系统共同平衡的外界的态。在这篇短文中,我们指出:Klein的讨论在一点是可以怀疑的,而用了另一个方法来讨论ergodic定理。这样,我们证明了(1)式只是在引入另一个假定——外界各态有同一个几率——后才是充分的,而在一般情形下,我们须要更强的条件,例如(α′ρ″|R|β′γ″)=常数δ_α′β′δ_ρ″γ″。(2)以上相当於没有运动积分的情形。有运动积分的情形也在本文中作了讨论。     

《电磁学》自学辅导材料(二)

第二章静电场中的导体和电介质 在第一章里,建立了静电场的描述,讨论了静电场的基本性质和规律.只要电荷是静止的,电场就是静电场,这些性质和规律都普遍适用。在那里,没有涉及到电荷是如何获得的,而且在空间除了电荷之外.不存在任何物质.在本章将进一步涉及到携带电荷的物质,即考虑空间存在导体和电介质的情形,这就需要进一步考虑电场与导体和电介质的相互作用问题.由于本章仍然限于讨论静电情形,第一章静电场的基本性质和规律都适用,因此本章内容是第一章的深入和发展.此外,这一章还讨论了静电场的能量问题. 下面分三个方面来研究本章的主…     

用费米能量“非汉字符号”_m~0表示“费米积分”的近似值

应用费米一狄拉克统计解决具体问题,常遇到 类型的积分(下文简称“费米积分”)。式中f()为费米一狄拉克分布函数,　　为任意一个满足 = 0, F()=0的连续函数。许多教材[1]已经证明:在 μ》KT的条件下,“费米积分”的近似值但由于(2)式是用费米子的化学势μ、而不是用费米能量　0m来表示。因此,应用(2)式来计算每一问题之后,均要利用μ与　0m之间的关系进行代换,才能得到最后的结果[2]。为了避免这种重复性的计算,本文拟在(2)式的基础上,用费未能量　0m来表示“费米积分”的近似值;并举数例说明所得结果的应用。 一、用费未能量表示“费米积…     

用初等积分计算圆孔衍射的振幅

从无限远处点光源发出的平行光的平面波,受到半径为a的圆孔限制,因此光波只露出与圆孔相应的一部分波阵面。此圆孔形的平面波阵面在与圆孔屏法线成θ角的无限远或光学系统焦平面上的一点p处所产生的振动,在计算这振动振幅时会遇到这样一个积分: 式中各变量由下图可知,而式中的λ为单色光波的波长,C可视为一常数。 应用贝塞尔函数,可以得p点的振幅为这里提供一个用初等积分进行计算的方法。设　　　　　　　　　,则(1)式可简化为应用幂级数对 cosx展开:代入上式后可得式(2)中各项积分的通项为其中K=0,1,2,3,……式(3)中对P积分后可简化成式…     

赵凯华、陈熙谋编《电磁学》自学考试指导提纲

第一章　　静电场1.1电场强度和静电基本规律: 了解静电基本现象,掌握电场强度概念和静电基本规律:库仑定律和场强叠加原理,并能用之计算已知电荷分布的场强(ξ1和ξ2). ξ1思考题1,习题4,8;ξ2思考题2,习题5,6,12,13,16.1.2高斯定理: 掌握电通量概念;准确理解和掌握高斯定理;并能根据高斯定理计算电荷对称分布时的场强(ξ3). ξ3思考题3,5,7,9;习题3,5,6,8,12.1.3静电场的环路定理: 理解静电场力的功与路径无关;掌握静电场的环路定理和电位概念,并能正确地用场强积分和电位叠加两种方法计算带电系统的电位分布;正确理解电位梯度概念,并能用…     

关于用电象法求解角域内静电场的讨论

用电象法解某些特殊边界条件下的静电场问题,可使问题大大简化,其优越性是人所共知的。 设在图一所示的二导体平面Ⅰ、Ⅱ所围成的角域内某处有一点电荷q0,导体上电位U为零。那么角域内的静电场能否用电象法求解呢?这就要解决如下两个问题: (1)在什么条件下,点电荷q0与导体平面所决定的角域内部的场可由q0及其有限个电象的场来代替? (2)在可以用有限个电象代替时,电象的位置及个数如何? 为此,我们查阅了一些有关的书籍和文献,但没有找到严格、完整的解答。因此我们将对此加以进一步的讨论。 首先分析一下求解这类问题的一般步骤:见图一,先对…     

用非相对论求自旋-轨道耦合能

氢原子或类氢离子中电子的自旋-轨道耦合能在CGS制中可以表示成式中m为电子的质量,c是光的速度,r是电子的径向距离;l、s分别是电子的轨道角动量和自旋角动量,而V表示电子在原子核静电场中的势能.由于V= Ze2(1)式也可以改写成(1)式也可以改写成 (1)式或(2)式的正确推导可以有两个途径. (a)认为电子的自旋是来自相对论原因,因此,(1)式可以通过描写电子运动的狄拉克(Dirac)相对论理论得到[1] (b)如果电子的自旋(或更精确地说电子的内禀磁矩u3作为实验事实被接受[2],则电子的自旋-轨道耦合能基本上可以看作是出于非相对论原因,因此,(1)式也可…     

避开矢量分析推导电场能量密度公式

在讨论静电能问题时,大多数教科书都详细地推导了带电体系的静电能公式,对于能量定域于电场的观点,相比之下显得轻描淡写.究其原因,大概是推导能量密度公式涉及矢量分析.本文介绍一种避开矢量分析推导能量密度公式的方法,意在强化能量定域于电场的观点,强化对静电场基本规律的认识. 我们知道,点电荷系的静电能是一个表面电荷密度为σ、电位为U的带电导体,可以看成无限多个点电荷的带电体系,其静电能是表面电荷密度分别为σ1、σ2、…、σN,电位分别为 U1、U2、…、UN的导体系的总能量则为 按照能量定域于电场的观点,建立带电体系的过程就…     

静电平衡条件下导体表面的电荷分布

在普通物理静电场教学中,一般都要涉及静电平衡条件下导体表面的电荷分布问题。如所周知,带有过剩电荷(净电荷)的孤立导体,当处于静电平衡状态时,共电荷的面分布与导体的几何形状有关。我们注意到,在有些普通物理教本中,与此有关的一些结论未免有欠妥和不足之处。例如有的认为电荷面密度与导体表面的曲率半径有反比关系,而对于导体表面有四孔的情况,则大多未作解释。因此有必要对这一问题加以明确。由于一般情况下的电荷静态平衡分布比较复杂,而作为教学参考,只需就特殊情况进行讨论便可以达到目的。 为了得到导体表面的电荷静态平衡分布情…     

圆环形线电荷的场

在电磁学中,常用计算圆环形线电荷轴线上的电位(电势)和电场强度来作为静电场的典型例题。但在常见的书刊中都没有给出圆环形线电荷全部场的分布情况。有的文章(注1)给出了电荷环电位的解法,但却使用了较深的数学方法。本文从较简单的数学方法出发,导出圆环形线电荷空间电位及电场强度的分布。 将半径为R,线电荷密度为r的圆环形线电荷置于圆柱坐标系中。空间中任意一点P的电位(由几何对称性可知)仅与变量ρ及z有关(图1)。在圆环上面任取一元线段dl, da则 dq=。dl,由 dq产生的电位dw一百天了, N此P点的电位为: 由图中的几何关系得:代人上式…     

矩形截面有限长螺线管磁场的计算

如果将螺线管的表面电流看成是磁介质的磁化电流,那么螺线管的磁场就与介质的磁场完全相同。于是可以通过计算磁介质的磁场得到螺线管的磁场。根据公式B=μ0(H+M),磁介质的磁场或者磁感应强度可以分为两部分:一部分是磁化强度的贡献,另一部分是磁场强度。对于磁介质来说,由于没有传导电流,所以磁场强度的环路积分是零,而磁场强度对于闭合面的积分不是零。也就是说,这种情况下,磁场强度的方程与静电场电场强度的方程完全相同,因此可以用计算静电场电场强度的方法计算磁场强度,这就是处理磁场的等效的磁荷方法。利用等效的磁荷方法对矩形截面的有限长螺线管的磁场进行了讨论,给出了对称面上精确磁场的解析表达式,磁场的解析表达式中不包含积分和难以求和的级数,同时进行了数值分析。     

静电场及电荷运动的VPython可视化模拟

本文基于库仑定律和场强叠加原理,利用计算机软件VPython模拟不同电荷分布的静电场,并利用Plotly软件分析各点电场强度大小;研究了点电荷和电偶极子在静电场中的运动轨迹及其能量特征,实时三维可视化电偶极子的运动过程,并探究其运动规律.教学实践表明:基于VPython和Plotly的静电场及电荷运动可视化模拟,能使学生更好地理解和灵活运用静电学相关知识,是对传统物理教学的有益补充.     

格林互易定理

格林互易定理在研究静电场的互易性和解决某些静电场问题时是很有用处的.它的内容很简明:在线性介质中,设有一个静电独立的[1]n 1导体系统,0号导体为参考导体,!号(i=1,2,…,n)导体所带电荷为Qi,电势为vi;此同一导体系统的另一种带电方式如果是i号(i=1,2,…,n)导体所带电荷为Qi,电势为Vi,则在这两种带电方式的电荷与电势之间必有关系式存在。它的证明方法比较多,有的从导体系统的两种带电状态的能量之差只与这两种带电状态本身有关,而与由一种带电状态如何过渡到另一种带电状态的具体方式无关进行证明[1],也有的是先证明它对点电荷系统成立…     

卫星上的钟——再谈势场及其零点的选取

 上篇我们以离子键晶体中的库仑势场(静电场)为例,谈了势能零点的相对性--势能的零点可以根据实际情况来规定,系统的两确定状态间的能量差并不因零点的变动而改变.     

对运动电荷在匀强电场中的一点讨论

讨论一电荷沿x轴以初速υ垂直射入一匀强电场E0中(图一中的z方向).取电场E0为s’(x’,y’,z’t’)静止坐标系,观察者站在电荷q(s系)上看,s’系相对于s系以速度(-υ)运动,这时观察者将观测到原来的电场E0不再是E0.由电磁场的变换公式,在o’与o重合,即t=0时刻,在s系测得的电磁场为:式中　但在s’系看:把(2)式中的各分量代入(1)的变换式中变得s系中电磁场的分量这样站在s系看电行q的运动方程应是:但同时电场E0以速度-υ向左匀速运动,它的运动方程为 x=-υt. 于是电荷q相对于E0的等效运动方程是 解之得电荷的轨道方程:是一抛物线,轨道向x轴上…     

电容器并联过程中静电场能损失的具体计算

用下面一个电容并联实例为代表,研究一下并联过程中静电场能的损失。 把带电Q1的电容器C1和带电Q2的电容器C2并联。假定V2>V2由于静电场是保守力场.共场能变化与中间过程无关,只与始末状态有关,所以场能损失为 能量是怎样损失的?答案自然是焦耳熟和电磁辐射。但C1和C2之间是短路连结的,不容易明显地看出焦耳热方面的损失。为了更具体地研究能量损失的过程,我们可以把短路连结用一个热电阻Rh与一个等效辐射电阻Rr来替代。总电阻就是 R=Rh+Rr. 这样,我们的问题就变为求解下图的等效电路。 t时刻,电路方程 以等效焦耳热的方式计算场能损…