用球坐标系推求角动量算符的本征方程

一、量子力学的基本原理说明,任意力学量F的可测值F′,满足以该力学量为算符的本征值方程: Fψ=F′ψ(1)其中F为算将,ψ为波函数.确定力学量之一的角动量算符L,尤其是其在采一取定的z方向的投影算符 Lz及角动量平方算符L2的本征方程及本征值,是量子力学教程基本的简单问题之一. 一般教科书[1～2]是通过写出直角坐标至球坐标的变换式,求出相应的偏微商变换式,再得出Lz和L2在球坐标下的表示式,从而确定Lz和L2的本征值方程.实际计算是较繁的.另一些教科书[3～7]则写出坐标变换式(甚至略写)后,直接写出人和产在球坐标下的表示式,实质上仍是…     

氢原子及类氢原子的双波描述

采用双波量子理论对氢原子及类氢原子进行了双波函数描述，讨论了其经典极限。证明了双波函数满足波函数的归一化条件。在双波函数描述下，能量和角动量F的平均值为En和mh。同时求出了r，cosθ,sinθ,cosψ，sinψ和X，Y，Z在双波函数描述的平均值。对力学量f求统计平均值的结果表明，单波函数描述的是氢原子及类氢原子系统的运动状况。只有双波函数描述的是单个粒子的运动状况。     

环形振子与超对称性

采用量子力学中的超对称性和形不变性，讨论环形振子的波函数和能量本征值。     

冷原子在静电势阱中的量子力学效应

用四个点电荷构造一个简单、新颖的静电势阱,并基于含时薛定谔方程和有限差分时间域方法,研究冷原子在该势阱中的量子力学效应.以中性铷原子为例,给出了原子和静电场系统的含时波函数,基态本征能量和本征波函数.结果表明,在这样的静电势阱中,囚禁中性冷原子是完全可能的.所得结果对实验上构造类似的静电势阱捕获中性冷原子有重要指导意义 关键词： 冷原子 静电势阱 量子力学效应     

基态球谐振子的空间“塌陷”

用幂级数方法研究球谐振子定态薛定谔方程解析解，发现波函数球系表示ψ(r,θ，φ)在r～0处可以无界，只要rψ(r,θ，φ)在r～0处有界，就不违背波函数的玻恩统计解释而且基态能量是ω/2, 而不是3ω/2，这是低能量条件下的振动系统空间“塌陷”现象. 关键词： 球谐振子 基态能量 波函数 空间塌陷     

第Ⅲ类三态叠加多模叠加态光场的广义非线性Nj次方H压缩

根据量子力学中态的线性叠加原理,构造了由多模复共轭相干态|{zj{iZj*}>q及多模真空态|{0j}>q线性叠加所组成的第Ⅲ类三态叠加多模叠加态光场|ψ3(3)>q.利用多模压缩态理论,研究了态的广义非线性不等幂次Nj次方H压缩效应.结果表明,仅当各模的压缩次数之和为偶数时,各模初始位相ψj(j=1,2,…,q)与各模压缩次数Nj的乘积Njψj之和及态|ψ3(3)>q中任意两态间初始位相差(θi-θj)(i,j=1,2,3)满足一定的条件下,态|ψ3(3)>q的第一和第二正交相位分量分别可呈现周期性变化的、任意次的广义非线性不等幂次Nj次方H压缩效应.     

一种角动量算符的简便推导方法

在量子力学教本中推导(L)2及(L)z的球坐标表达式一般都采用由直角坐标系到球坐标系的变量代换的方法,运算过程十分复杂,本文利用了球坐标系中坐标变量r、θ、ψ对正交基矢er、eθ、eψ微分性质,采用球坐标系直接进行推导,简化量子力学中关于角动量算符(L)2及(L)z的的推导.     

轻原子和离子的多重态理论计算

本文的目的是探索一种参数比较少而计算结果又比较好的解析波函数来计算轻原子和离子的多重态能量,并与其他方法计算的结果和实验结果相比较。我们选用下列波函数: 1s电子:ψ_1(r):N_1e~(-μar)[1 (μbr)~1] 2s电子:ψ_2(r)=N_2[μr)e~(μr)-Ne~(μar)], 2p电子:ψ_3(r)=N_3(μr)cosθe~(-μr) ψ_4(r)=N_4(μr)sinθe~(1φ-μr) ψ_5(r)=N_5(μr)sinθe~(-1φ-μr) 计算了第二周期元素正常态原子和相应的离子的波函数的最佳参数值和能量值。这套波函数只有三个参数μ,a和b。结果表明理论计算的能量值与实验值符合得很好,误差在百分之一到千分之一的范固内。而且与Morse和Tubis等人过去用四参数波函数算出的结果很接近,有些还要好一些。说明我们选用的这套波函数是比较简单而又比较准确的。     

用磁共振方法验证自旋1/2核的旋量性

一、引 言 在空间旋转变换下,变换后的量子系统波函数｜φ'〉与原来波函数｜φ'〉的关系为式中Iz为组成量子系统的粒子自旋在空间转轴。方向的分量算符,θ为绕z轴的转角,可见变换后的波函数与粒子自旋有关.对费密子,当θ=2π时,旋转后的波函数附加相位因子-1,只有再旋转2π时波函数才恢复原值,即费密子具有空间旋转的4π对称性(或称旋量性).对玻色子,当θ=2π时,波函数复原,即具有空间旋转的2π对称性. 费密子的旋量性在理论上早已确立,然而其直接的实验验证直至近几年才完成.旋量性的验证涉及波函数相位的测量,有一类观测量的平均值表式中…     

He-LiH体系束缚态能级的理论计算

在CCSD(T) 势能面的基础上,采用严格的量子力学方法计算得到了He-LiH体系束缚态振转能级和波函数,结果表明该体系存在10个振转束缚态.从波函数的分布图中可以知道,与J=0的第一个能级对应的本征态是靠近Li端较深势阱的一个束缚态;第二个能级为伸展激发振动能级;基本上存在于深势阱内,但H端的浅势阱通过隧道效应,对该能级的几率分布产生了影响.     

原子的解析波函数——Ⅱ.第二周期元素的正常态原子与离子的解析波函数与能量积分的计算

我们在文献[1]中设计了一套五个参数的变分波函数用来计算了周期表中前面十个原子的能量,所得结果比过去一些作者用四参数波函数所算得的结果为好。我们在过去计算经验的基础上,另外找到了一套特别简单的解析波函数,其形式为1s电子:ψ₁(r)=N₁e^-μar,2s电子:ψ₂(r)=N₂[(μr)e^-μr-Ne^-μar],2p电子:ψ₃(r)=N₃(μr)cosθe^-μr,ψ₄(r)=N₄(μr)sinθe^iφ-μr,ψ₅(r)=N₅(μr)sinθe^-iφ-μr,式中的α与μ为变分参数;N₁,N₂,N₃,N₄,N₅为归一化因子;N为正交化系数。μ可用解析法来决定,因而只有一个参数α要由数值法来决定。我们用这样的波函数算出了第二周期元素的正常态原子和离子(共有八十几个原子态)的各电子的各种能量积分值及总能量值,并确定了波函数的最佳参数值。其结果与五参数波函数的计算结果相比,一般相差在万分之一至千分之一的范围内,并比最近有些作者用一种三参数波函数所算的结果还好。根据这些结果,我们还讨论了Slater近似计算法的可靠程度和适用范围。     

关于波函数的测量问题

一、完备测量并不完备 我们知道,在量子力学中,系统的态是由波函数 表征的.如知道系统的哈密顿算符,可以通过求解相应的薛定谔方程,便可得到该系统的波函数.或者根据量子力学的测量理论,通过所谓的完备力学量组的测量来确定波函数[1].例如,对完备组｛A,B,…｝的测量,设其本征函数为｜a>(其中a为本征值指标),而相应的测量几率为 .这样,波函数 可表示为如下形式(为简便起见,只考虑分立谱): 由于现有的测量理论只能确定因而在(1)式中的每个C(a)可以有一个与a有关的相因子。,xp[is(a)]不能确定.因此就允许存在着许多个相因子不同的波函数,例如…     

在s=3/2情形下利用超对称量子力学方法解广义椭球函数

本文利用超对称量子力学的方法研究出广义椭球函数. 首先, 用超对称量子力学方法近似的算出前四阶超势W和相应本征值E, 然后递推出W_n的通式, 并利用数学归纳法来证明W_n通式的正确性, 从而得到了此时的广义椭球函数方程的基态波函数, 这对于它们的应用有很大的意义.     

原子的解析波函数

我们设计了一套变分波函数,用来计算了周期表中前面十个原子的能量。我们设计的单电子试探波函数具有下列形式:1s:ψ₁(r)=N₁e^-μαr[1+(μbr)²], 2s:ψ₂(r)=N₂[(μr)e^-μr-Ne^-μcr], 2p:ψ₃(r)=N₃(μdr)cosθe^-μdr, ψ₄(r)=N₄(μdr)sinθe^iφ-μdr, ψ₅(r)=N₅(μdr)sinθe^-iφ-μdr。式中的a,b,c,d及μ为五个变分参数。N₁,N₂,N₃,N₄与N₅为归一化因子;N由ψ₁与ψ₂的正交条件来决定。用这种波函数来计算原子的能量,所得的结果比莫尔斯等人(P.M.Morse,L.A.Young and E.S.Haurwitz)用他们设计的四参数波函数所算得的结果为好,更接近实验值,同时也接近于由自洽场所算出的结果。若我们的波函数中固定c等于1不变,这时就变为只有四个参数的波函数,结果仍比莫尔斯等人的好。     

大学物理课程中“波函数薛定谔方程”的教学探讨

由于学时少、内容特点等因素,大学物理课程中"波函数"的教学一直是"教""学"双方的难点;帮助学生理解"波函数和薛定谔方程是量子力学状态描述的手段",是量子力学必须要解决的问题。教学实践表明,从内容结构设计,教学方法选择,问题情境创设3方面构建的课堂模式,可以有效突破教学难点,帮助学生建立完善的知识结构,增强其方法意识,培养其科学思维和创新精神;为"量子物理"部分的教学,在设计上提供一种思路。     

等腰直角三角形腔中的负离子光剥离研究

基于等腰直角三角形势阱中的能量本征值和本征波函数,利用量子力学传统方法计算了氢负离子处于一个横截面为等腰直角三角形腔内的光剥离截面.等腰直角三角形势阱中的能量本征态无法通过分离变量的方法求解,但是该问题是完全可解的.通过计算,得到了光剥离截面随能量变化的解析表达公式.公式表明,振荡与离子的位置和光子的极化有关.公式还给出了剥离截面的阈值行为.进一步研究发现,当氢负离子处在等腰直角三角形的直角顶角附近时,本文中使用量子力学传统方法得到的结果与已有的氢负离子处于直角域内时使用闭合轨道理论的方法得到的结果是一致的.     

非对易量子力学中中性原子在外电磁场中的朗道能级量子化

在非对易量子力学的框架中研究了中性原子在外加电磁场中运动时的朗道能级量子化问题.首先给出了中性原子体系在非对易量子力学中的哈密顿量,然后分别求解了非对易空间和非对易相空间中的薛定谔方程,并得到相应的朗道能级和本征波函数,同时给出了由于空间非对易性引起的能量修正项.     

一般含时线性势的量子解及有关问题

对于一般形式的含时线性势, 通过假设波函数形式的方法得到了Schr?dinger方程的精确和完备解. 同时指出, 用两个波函数φ(t)〉和ψ(t)〉定义的坐标和动量的矩阵元〈φ(t)xψ(t)〉和〈φ(t)pψ(t)〉满足经典形式的运动方程. 按照量子力学的系综理论, 这样的经典形式的运动方程实际上是流体方程. 进一步研究发现, 对于任意形式的线性系统有类似的结论. 关键词： 线性势 Schr?dinger方程 Heisenberg对应原理 经典运动方程     

向量子通信迈出了一大步

量子通信是基于量子力学的非定域效应 .一对粒子处于某种量子力学纠缠态 ,其波函数可以表示为ψ(A ,B)〉=12 (〉A 〉B- 〉A 〉B) ,这里〉A 代表粒子A的自旋“向上” ,以此类推 .单独看粒子A ,它的自旋或的几率各占 5 0 % ;单独看粒子B ,情况也如此 .然而 ,一旦进     

在周期场中类氢原子的1s,2s,2p基态的能级

取1/Z/(me~2)为长度单位,Z~2(me~4/~2)为能量单位,则类氢原子的波函数ψ(r)满足 -1/2ψ-1/rψ=Eψ。 (1)在周期场中,采用Wigner-Seitz近似,以等体积原子球代替原子多面体,则在半径r_0处基态ψ满足边界条件(由ψ的周期性质和对称性质得到) (ψ/r)_r_0=0,对1s,2s; (2) (ψ)_r_0=0,对2p。(3) 根据严格的合流超几何函数的波函数,利用Slater的表和库伦波函数表,可以得到能量与原子球半径r_0的数值关系(见表1)。